Растяжения наноцепочек




Скачать 53.35 Kb.
НазваниеРастяжения наноцепочек
Дата21.03.2013
Размер53.35 Kb.
ТипДокументы


ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССА

РАСТЯЖЕНИЯ НАНОЦЕПОЧЕК


Стружанов В.В.

Екатеринбург, Россия


1. Рассмотрим систему их трёх расположенных на одной прямой атомов (атомы рис.1).

Атом закреплён, на атом действует монотонно возрастающая сила (мягкое нагружение), либо этому атому задаётся монотонно возрастающее перемещение (жёсткое нагружение). Силы взаимодействия между атомами заданы, соответственно, функциями (между и ) и (между и ). Здесь − величина перемещения атома , равная удлинению расстояния между атомами и , а − удлинение расстояния между атомами и . Графики обозначенных функций имеют восходящую и ниспадающую до нуля ветви.

Состояние системы при мягком нагружении описывает потенциальная функция [1]



Здесь перемещения и играют роль параметров состояния системы, а сила − параметра управления. Критические точки этой однопараметрической функции, которые отвечают равновесным состояниям системы (устойчивым или неустойчивым), определяются решениями уравнений [2]

(1)

Известно [2], что смена типа равновесия происходит в вырожденных критических точках, которые находятся из совместного решения уравнений (1) и уравнения, получающегося приравниваем к нулю детерминанта матрицы Гессе функции , т.е.

(2)

Здесь



где . Ясно, что функции и определяют касательные к кривым и .

Таким образом, вырождение гессиана функции (равенство нулю его детерминанта) является критерием смены типа равновесия. Так как в начальный момент растяжения система находится в устойчивом положении равновесия, то выполнение равенства (2) определяет момент перехода системы в неустойчивое состояние и, следовательно, служит критерием потери устойчивости процесса растяжения системы.

В фазовом пространстве решения уравнения (2) задают две прямые, а именно и (рис. 2 а).

Эти прямые делят фазовую плоскость на область устойчивости (зоны I на рис. 2 а) и область неустойчивости (зоны II на рис. 2 а). В начале нагружения изображающая процесс растяжения точка расположена в зоне I в первом квадранте (). В ходе квазистатического процесса она медленно перемещается в этой области, приближаясь к одной из разделяющих плоскость прямых (либо к прямой , либо к прямой ), в момент пересечения одной из этих прямых система теряет устойчивость и скачкообразно переходит в новое положение равновесия.

В случае жёсткого нагружения состояние системы характеризует потенциальная энергия



где − параметр состояния, а − параметр управления. Гессиан этой функции равен . Отсюда условие потери устойчивости определяется уравнением

. (3)

На фазовой плоскости уравнение (3) задаёт прямую , которая делит плоскость на области устойчивости (зона I на рис. 2, б) и неустойчивости (зона II на рис. 2, б). В начале процесса растяжения изображающая точка также находится в первом квадранте фазовой плоскости. В ходе процесса растяжения она приближается к прямой , после пересечения которой происходит потеря устойчивости процесса. Отметим случай, когда . Тогда прямые, разделяющие области устойчивости и неустойчивости заданы соотношениями (мягкое нагружение) и (жёсткое нагружение). Справа от этих прямых расположены области устойчивости, слева – области неустойчивости.

2. Перейдём к ряду из четырёх атомов (рис. 3). Сила взаимодействия между атомами и задана функцией , между атомами и задана функцией , между атомами и задана функцией , где .

Потенциальная функция при мягком нагружении имеет вид



где − параметры состояния, а − параметр управления. Гессиан функции равен

.

Здесь − функция, определяющая касательную к графику функции . Гессиан вырожден, если

. (4)

В фазовом пространстве решения уравнения (4) задают три координатные плоскости, а именно , , . Области устойчивости располагаются в трёх октантах, где произведение , что обеспечивает положительную определённость матрицы Гессе. Это первый, третий, шестой и восьмой октанты. В начале процесса изображающая точка находится в первом октанте и движется по направлению к одной из координатных плоскостей, после пересечения которой происходит потеря устойчивости процесса растяжения.

При жёстком нагружении потенциальная функция системы состоит из первых трёх слагаемых функции . Параметры состояния теперь и , а параметр управления − . Матрица Гессе функции имеет вид



Она вырождается, если

. (5)

Уравнение (5) определяет коническую поверхность в фазовом пространстве (дискриминантный конус).

Внутри конуса положение равновесия системы устойчиво (матрица Гессе положительно определена), вне конуса – неустойчивое. Движение изображающей точки начинается из той части конуса, где . Потеря устойчивости происходит после пересечения конической поверхности.

3. Рассмотрим наконец цепочку из атомов. Условия потери устойчивости процесса растяжения, т.е. вырождение гессианов соответствующих потенциальной функций, которые строятся по аналогии с изложенным выше, заданы уравнениями

(6)

для мягкого растяжения и

(7)

для жёсткого нагружения. В выражении (7) принято условие, что , и .

Равенство (6) Удовлетворяется, если хотя бы одно из значений обращается в нуль. Условия , , …, определяют в фазовом пространстве многообразия размерности . Отметим, что многообразия включают в себя и многообразия меньших размерностей, отвечающих обращению в нуль двух и более параметров . Многообразия делят фазовое пространство на мерные многообразия, где выполняется одно из неравенств (либо − многообразие устойчивости, либо − многообразие неустойчивости). Изображающая точка в начале процесса растяжения находится в многообразии, в котором справедливо неравенство для устойчивости . Потеря устойчивости происходит тогда, когда изображающая точка попадёт в одно из многообразий .

Уравнение (условие потери устойчивости) (7) определяет в пространстве многообразие размерности , которое по аналогии можно назвать - мерной конической поверхностью. Таким образом, уравнение (7) является уравнением дискриминантного конуса в мерном пространстве. Изображающая точка в начале процесса находится внутри дискриминантного конуса в той его части, где . Потеря устойчивости происходит тогда, когда изображающая точка попадает в многообразие (пересекает коническую поверхность).

Работа выполнена по Программе Президиума Российской академии наук № 22 (проект № 09-П-1-1008).


Литература (Times New Roman, 10, курсив, по центру)


1. В.В. Стружанов, В.И. Миронов. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 192 с.

2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.

Похожие:

Растяжения наноцепочек iconТеоретическая часть Установка по снятию диаграммы растяжения проволоки
Установка по снятию диаграммы растяжения создаётся для проведения лабораторных работ по выяснению зависимости механического напряжения...
Растяжения наноцепочек iconУстойчивость трехосного растяжения элементарного куба в специальном устройстве. Мягкое и жесткое нагружение. Бурмашева Н. В., Стружанов В. В. Екатеринбург, Россия
Устойчивость трехосного растяжения элементарного куба в специальном устройстве. Мягкое и жесткое нагружение
Растяжения наноцепочек iconЧто такое деформация твердого тела?
Диаграмма растяжения, пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности
Растяжения наноцепочек iconИтерационная схема для компьютерного анализа устойчивости трехосного растяжения кубического элемента в специальном устройстве при жестком нагружении

Растяжения наноцепочек iconРасчет на долговечность
Контактное напряжение H = F/A = сила / площадь. Напряжение сжатия/растяжения определяется как СМ=F/A =  [], a = F/[]
Растяжения наноцепочек icon11. Благородные металлы и алмазы 11. 1 Благородные металлы
Пространственное положение орогенных золотых месторождений связано с глубинными разломами в тылу вулканической дуги, как ведущего...
Растяжения наноцепочек iconПравила оказания первой доврачебной помощи при характерных травмах и повреждениях. Ушибы, растяжения
При ударе о твердый предмет или падении может произойти повреждение мягких тканей, растяжение связок. Проявляется это в виде припухлости...
Растяжения наноцепочек iconВопросы для подготовки к аттестационному собеседованию абитуриентов, имеющих образовательно-квалификационный уровень «Младший специалист», поступающих на образовательно-квалификационный уровень «Бакалавр»
Основные механические характеристики определения при растяжениях материалов. Характерные точки диаграммы растяжения малоуглеродистой...
Растяжения наноцепочек iconОбщая методика решения задач динамики с лагранжевым описанием движения
Рекомендуемая методика проиллюстрирована на примерах растяжения стержня под действием собственного веса, однородного кручения с одновременным...
Растяжения наноцепочек iconЭффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел
«20» февраля 2007 г в 15 00 часов на заседании диссертационного совета д 212. 208. 06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница