Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика»




Скачать 162.51 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика»
Дата20.03.2013
Размер162.51 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации


Государственный университет -

Высшая школа экономики




Факультет Экономики




Программа дисциплины



ДИСКРЕТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ


для направления 080100.62 – «Экономика» подготовки бакалавра


Автор программы д.т.н., профессор Ф.Т.Алескеров


Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и статистические кафедры высшей математики


методы в экономике на факультете экономики
Председатель Зав. кафедрой

__________А.С.Шведов __________Ф.Т.Алескеров

“___” __________ 200_ г. “___” _____ _____ 200_ г.


Утверждена УС факультета

экономики


Ученый секретарь

________________________

“___” __________ 200_ г.


Москва


Требования к студентам: Изучение курса "Дискретные математические модели" не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы и курса «Линейная алгебра» (1-й, 2-й модуль 1-го курса).

Аннотация курса:

В последние десятилетия стала очевидна необходимость использования для практического анализа и изучения вопросов, связанных с социально-экономической и общественно-политической жизнью современного общества, довольно широкого класса дискретных математических моделей. Прежде всего, это модели, относящиеся к теории коллективных решений, одним из классических результатов которой является теорема о невозможности К.Эрроу об агрегировании индивидуальных предпочтений в коллективное. Сюда же относятся результаты, впервые полученные Д.Гейлом и Л.Шепли, об обобщенных паросочетаниях. Еще одни типом моделей описывается распределение влияния между участниками в выборных органа. Другой тип дискретных моделей связан с анализом сбалансированности выборных органов. И, наконец, последний тип моделей, активно разрабатываемых и используемых в последнее время, относится к задаче справедливого дележа.

Курс «Дискретные математические модели» содержит основные современные математические подходы к описанию дискретных математических объектов, к построению и изучению прикладных дискретных математических моделей, адекватных реалиям и потребностям социально-экономической и общественно-политической жизни современного общества и рассматривается как необходимый компонент фундаментальной подготовки современных экономистов. Курс не имеет аналогов не только в российской практике обучения, но и в мировой. Изучаемые здесь на доступном для студентов 1-го года обучения (1-ый цикл обучения) уровне вопросы представлены в отдельных западных университетах в качестве тем спецкурсов для магистров и аспирантов.

Курс обильно иллюстрирован примерами из современной российской и зарубежной социально-экономической и общественно-политической жизни. Например, рассматриваются оценки влияния групп и фракций в российском парламенте и Совете Министров Евросоюза, сбалансированность выборного органа на примере Государственной Думы РФ, анализ сбалансированности пьесы У.Шекспира «Макбет» и др

Учебные задачи курса.

В результате изучения курса «Дискретные математические модели» студенты должны

  • иметь представление о теоретических основах современных дискретных моделей и об областях их практического приложения;

  • знать и уметь применять основные положения теории графов, теории бинарных отношений, теории паросочетаний, комбинаторики и т.д.;

  • демонстрировать знание и понимание основных определений, теорем, алгоритмов и методов решения задач;

  • уметь строить логически выверенные рассуждения;

  • уметь пользоваться методами дискретного моделирования (в частности, теории бинарных отношений, теории графов, методами комбинаторики) для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономического содержания;

  • обладать навыками самостоятельной работы и умением находить и перерабатывать дополнительную информацию в данной предметной области.



Тематический план учебной дисциплины






Название темы



Всего


Аудиторные часы

Самост. работа







часов

Лекции

Семинары

1.

Справедливый дележ

10

2

2

6

2.

Элементы теории множеств

10

2

2

6

3.

Графы. Паросочетания

10

2

2

6

4.

Обобщенные паросочетания

10

2

2

6

5.

Бинарные отношения и функции выбора

17

3

4

10

6.

Задача голосования. Коллективные решения на графе

13

3

2

8

7.

Коалиции и влияние групп в парламенте

10

2

2

6

8.

Знаковые графы.

10

2

2

6

9.

Игровые модели

18

4

4

10



Итого


108

22

22

64



Содержание программы

Тема 1. Справедливый дележ.

Историческая постановка задачи. Процедура «дели и выбирай». Манипулирование при дележе. Критерии справедливости дележа. Процедура «подстраивающийся победитель» и ее свойства. Разрешение трудовых споров. Слияние фирм. Раздел имущества. Дележ при числе участников больше двух.

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.8).

  2. Дополнительная литература: [3], [7], [11] (гл.1-5).

Тема 2. Элементы теории множеств.

Множества, подмножества. Множество всех подмножеств. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение. Диаграммы Эйлера-Венна. Число элементов конечного множества. Алгебраические законы операций над множествами. Принцип двойственности.

Литература:

  1. Дополнительная литература: [14], [15] (гл.1), [21].
Тема 3. Графы. Паросочетания.

Графы. Двудольные графы. Задача о распределении работ. Задача о свадьбах. Паросочетания. Совершенные и максимальные паросочетания. Условие Холла. Чередующиеся цепи. Трансверсали семейства множеств.

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.1).

  2. Дополнительная литература: [19] (гл.4).



Тема 4. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников.

Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли). Манипулирование предпочтениями. Примеры обобщенных паросочетаний: распределение студентов по комнатам общежития, распределение работников по фирмам и др.

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.2).

  2. Дополнительная литература: [33], [34] (гл.1-3).


Тема 5. Бинарные отношения и функции выбора.

Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств. Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений.

Выбор по отношению предпочтения. Свойства функций выбора.

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.3).

  2. Дополнительная литература: [2] (гл.1-2), [18] (гл.1-3), [29] (гл.1-2).


Тема 6. Задача голосования. Коллективные решения на графе.

Правило простого большинства. Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые нелокальные правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу.

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.4-5), [4] (гл.1-3) .

  2. Дополнительная литература: [9] (гл. 5), [18] (гл.1-2), [20] (гл.7), [28] (гл.1).



Тема 7. Коалиции и влияние групп в парламенте.

Голосование с квотой. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе Российской Федерации. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза. [Примеры других индексов влияния: индекс Шепли-Шубика, индекс Джонсона, индекс Дигена-Пакела, индекс Холера-Пакела].

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.6).

  2. Дополнительная литература: [5], [6], [20] (гл.6), [34] (гл.1-4).


Тема 8. Знаковые графы.

Знаковые графы. Сбалансированность малых групп. Критерий сбалансированности полного графа. Мера сбалансированности. Сбалансированность выборного органа на примере Государственной Думы Российской Федерации. Применение меры сбалансированности для анализа литературных произведений (на примере пьесы У.Шекспира «Макбет»).

Литература:

  1. Базовый учебник: [1] (гл.7).

  2. Дополнительная литература: [6], [20] .



Тема 9. Игровые модели.

Игры 2х2: стратегии, выигрыши, платежная матрица. Доминантные стратегии. Понятие равновесия игры по Нэшу. Примеры игр 2х2: дилемма заключенного и др. Примеры игр, имеющих равновесие по Нэшу, не имеющих его, а также имеющих бесконечно много равновесий.

Вероятность события и ожидаемый выигрыш. Смешанные стратегии. Теорема о существовании равновесия Нэша в смешанных стратегиях для любой игры 2х2. Фокальные равновесия.

Литература:

  1. Базовый учебник: [28] (с.173-198).



Литература


Базовый учебник


  1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и

коллективные решения. – М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006.

Дополнительная литература




  1. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. «Выбор вариантов (основы теории)», М., Наука, 1990

  2. Алескеров Ф.Т. «Слияние фирм: анализ трех ключевых проблем», Финансовый бизнес, №6, 2002, 3-7

  3. Алескеров Ф.Т., Ортешук П. «Выборы. Голосование. Партии», М., Академия, 1995

  4. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова А.В., Якуба В.И. "Оценка влияния групп и фракций в российском парламенте (1994 - 2003 гг.)", препринт ГУ Высшая Школа Экономики, WP7/2003/01, Москва, 2003

  5. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Константинов М.Л., Сатаров Г.А., Якуба В.И."О сбалансированности Государственной Думы Российской Федерации (1994-2003 гг.)", препринт ГУ Высшая Школа Экономики, WP7/2003/02, Москва, 2003

  6. Алескеров Ф.Т., Яновская Ю.М. «Применение теории справедливых решений к

трудовым спорам», Управление персоналом, №1, 2003, 59-61

  1. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети, М.: Наука,1974

  2. Берж К. Теория графов и ее приложения, М.:, ИЛ,1962

  3. Биркгоф Г. Теория решеток, М.: Наука, 1984

  4. Брамс С., Тейлор А. Делим по справедливости. М., СИНТЕГ, 2003

  5. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику, Москва, Наука, 1975

  6. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера, М.: Энергия, 1980

  7. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств, М.: Мир

  8. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, М.: Наука, 1975

  9. Линдон Р. Заметки по логике, М.: Мир,1968

  10. Мендельсон Э. В. Ведение в математическую логику, М.: Наука, 1976

  11. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М., Наука, 1974

  12. О.Оре Теория графов. М., Наука, 1968

  13. Робертс Ф. Дискретные математические модели. М., Наука, 1986

  14. Столл Р. Множество, логика, аксиоматические теории, М.: Просвещение, 1968

  15. Харари Ф.Теория графов, М.: Мир, 1973

  16. Хаусдорф Ф. Теория множеств, М.: ОНТИ, 1937

  17. Черч А. Введение в математическую логику, М.: Изд-во иностр.лит., 1961

  18. Шиханович Ю.А. Ведение в современную математику, М.: Наука, 1965

  19. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок, М.: Наука, 1971

  20. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М.: Наука, 19

  21. «Исследование операций в экономике» / под ред. Н.Ш. Кремера, М., Банки и биржи, 1997.

  22. Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models, Kluwer Academic Publishers, Dordercht, 1999

  23. Aleskerov F., Monjardet B. Utility Maximization, Choice and Preference, Springer-Verlag, Berlin, 2002

  24. Alkan, Ahmet. 1986. Nonexistence of stable threesome matchings Mathematical Social Sciences. 16, 207-9. (2)

  25. Biggs N.L. Discrete Mathematics, Oxford University Press, London, 2003

  26. Gale, David, and Lloyd Shapley. 1962. College admissions and the stability of marriage. American Mathematical Monthly, 69, 9-15. 12. 51

  27. Roth A., Sotomayor M.O. Two-sided matching, Cambridge University Press, 1990, Cambridge

  28. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова А.В., Якуба В.И. Влияние и структурная устойчивость в Российском парламенте (1905—1917 и 1993—2005 гг.) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.—312 с.



Формы контроля. Формирование итоговой оценки


- текущий контроль: аудиторная контрольная работа;

- итоговый контроль: письменный зачёт в конце 5-го модуля.


Итоговая оценка по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма:



оценок за работу на семинарских занятиях , за контрольную работу и зачёт с последующим округлением до целого числа баллов.

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:


Оценка по 10-балльной шкале

Оценка по 5-балльной шкале

1


незачет

2

3

4



зачет

5

6

7

8

9

10



Типовой вариант контрольной работы

(темы 1 – 5 программы)

  1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.




Пункты переговоров

Фирма

А

В

Название фирмы

10

20

Местонахождение штаб-квартиры

30

30

Назначение президента

10

20

Назначение исполнительного директора

20

10

Увольнение персонала

30

20


Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся победитель».

  1. Докажите, что .

  2. Пусть , где , и . Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь алгоритмом его построения.

  3. Пусть , а семейство L состоит из множеств , , , . Найдите трансверсаль для L.

  4. Пусть , и предпочтения участников имеют вид:

; ;

; ;

; ;

; .

Является ли устойчивым паросочетание

?

Ответ обоснуйте.

6. Пусть , и предпочтения участников имеют вид:

; ;

; ;

; ;

; .

;

Постройте паросочетания и .

7. Пусть А – непустое конечное множество, на котором задана функция полезности - множество неотрицательных действительных чисел. Бинарное отношение Р определим так, что , где - фиксированное положительное число. Какими свойствами обладает бинарное отношение Р?


8. Докажите, что бинарное отношение Р транзитивно, если и только если .

9. Приведите пример, показывающий, что отношение несравнимости для антирефлексивного связного полутранзитивного отношения не всегда удовлетворяет условию связности.

10. Пусть С – функция выбора, рационализируемая линейным порядком Р. Докажите, что С является функцией однозначного выбора,


Типовой вариант зачетной работы

(темы 6 – 9 программы)


  1. Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве относительно кандидатов из множества :

;

;

;

.

Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.

  1. Пусть семья из трех человек, т.е. , собирается купить автомобиль. В качестве альтернатив рассматриваются элементы множества А={«фольксваген» (W), «рено» (R), «пежо» (Р)}. Предпочтения членов семьи выглядят следующим образом:







W

P

R

P

W

R

R

W

P

Пусть коллективное решение, которое строится по локальному правилу, имеет вид:

W

R

P.

Каким будет коллективное решение, если исключить из рассмотрения альтернативу W?

  1. Найдите максимальные внутренне устойчивые множества для слабого порядка. Как определить его число внутренней устойчивости?

4. Компания из трех человек выбирает вариант совместного проведения вечернего досуга. Ими рассматриваются четыре альтернативы: поход на дискотеку (D), поход в кино (С), поход в театр (Т), поход на модное фотобиеннале (F). Предпочтения участников имеют вид:







D

C

F

T

C

D

F

T

T

F

C

D


Какое коллективное решение будет получено, если применить максиминную процедуру? Какой результат даст применение минимаксной процедуры?

5. Найдите выигрывающие коалиции в голосовании с квотой (5; 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) и подсчитайте для каждого из участников индекс Банцафа.

6. Совет директоров банка состоит из пяти человек P, A, B, C, D. Президент банка Р имеет три голоса, остальные члены совета директоров – по одному. Правило принятия решения – минимум пять голосов «за». Известно, что Р и вице-президенты А и В в силу определенных причин никогда не голосуют все вместе за одно решение. Найдите индексы влияния Банцафа для каждого члена совета директоров.

7. Совет директоров фирмы состоит из четырех человек. Глава совета А обладает при голосовании тремя голосами, члены В и С – двумя голосами каждый, а член совета D – одним голосом. Для принятия решения необходимо набрать не менее шести голосов. При этом члены совета А, В и С имеют давние дружеские отношения, А и D высоко оценивают профессиональные качества друг друга и поэтому всегда поддерживают друг друга, но В и С не долюбливают D за излишнее служебное рвение, D также отвечает им недоверием. Определите, насколько сбалансирован совет директоров этой фирмы.

8. Пусть две фирмы «Лакомка» и «Сладкоежка» производят шоколад. Количество покупателей этого шоколада делится примерно поровну.

Если компании не рекламируют свой товар, то прибыли фирм равны и составляют по 100 тыс. руб.

На рекламу может быть потрачено 20 тыс. руб., причем, если обе фирмы тратятся на рекламу, их доходы увеличиваются на10 тыс. руб., соответственно, прибыль составляет 90 тыс. руб.

Если одна фирма тратится на рекламу, а другая – нет, то прибыль первой фирмы составит 140 тыс. руб., а второй – только 60 тыс. руб.

Составьте платежную матрицу данной игры. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Будут ли они Парето-оптимальными?

9. Найдите равновесия Нэша как в чистых, так и в смешанных стратегиях, в игре заданной следующей матрицей выигрышей:

(3, 1)

(0, 1)

(1, 1)

(2, 2)


Базовый учебник [1] содержит более 100 задач, которые могут быть использованы для проверки качества усвоения курса студентами.


Автор программы: Ф.Т. Алескеров


Ф.Т.Алескеров

Похожие:

Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Модели финансовых рынков для направления 080100. 62- экономика подготовки бакалавров Автор программы
Программа «Модели финансовых рынков» предназначена для студентов 4 курса бакалавриата специализации «математические методы анализа...
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Модели экономического роста, развития и перехода  для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину по учебной магистерской программе «Математические методы анализа...
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Финансовая эконометрика  для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Экономика миграций» для направления/ специальности 080100. 62 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Модели финансовых рынков для направления 080100. 62- экономика подготовки бакалавров Автор : А. С. Шведов, д ф. м н., профессор Рекомендовано секцией умс «Математические и статистические методы в экономике»
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Анализ и моделирование демографических процессов для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма учебной дисциплины «Математические модели финансовых рынков»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 специальности...
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Международная система экономического регулирования» для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 68 «Экономика»...
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины динамические модели хеджирования для направления 080100. 68 «экономика» подготовки магистра Автор: А. Г. Шоломицкий()
Курс «Динамические модели хеджирования» рассчитан на один семестр и читается студентам второго курса магистратуры направления Экономика,...
Программа дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Стратегический анализ деятельности предприятия для направления 080100. 68 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница