План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18




Скачать 205.67 Kb.
НазваниеПлан Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18
страница1/3
Дата13.03.2013
Размер205.67 Kb.
ТипКурсовая
  1   2   3


План

Введение 3

1. Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5

2. Дифференциальные уравнения первого порядка 13

3. Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18

Заключение 24

Список используемой литературы 26

Приложения 27


Введение


В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Дело в том, что математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений. Этим и объясняется актуальность темы курсовой работы.

Целью курсовой работы является определение понятия дифференциального уравнения и рассмотрение дифференциальных уравнений первого порядка.

Для достижения поставленной цели мною были определены следующие задачи:

1. Дать понятие дифференциального уравнения и исследовать общие сведения о нем.

2. Рассмотреть дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Изучить методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Выявить проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка, подвести итоги курсовой работы и сделать соответствующие выводы.

Практическая значимость изучения дифференциальных уравнений первого порядка заключается в том, что изучении теории дифференциальных уравнений целесообразно начинать с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи, основную проблему при решении которых представляет составление самих дифференциальных уравнений.

Объектом курсовой работы являются дифференциальные уравнения первого порядка.

Предметом исследования являются методы решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.


1. Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем


Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение (соотношение), связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у’, у,…, у, т.е. уравнение вида:

F(x,y,y’,…, у) = 0.

Далее я буду рассматривать только уравнения такого общего вида, часто называя их просто дифференциальные уравнения (опуская слово обыкновенное).

Порядок дифференциального уравнения определяется как порядок n самой старшей производной у, входящей в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции в заданное дифференциальное уравнение F(x,y,y’,…, у) = 0 обращает его в тождество , справедливое при всех . В этом случае говорят также о частном решении дифференциального уравнения.

Операцию (процесс нахождения) решений дифференциального уравнения называют еще интегрированием этого уравнения.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой данного уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,yy,…, у) = 0 определяется как задача нахождения решения у(х) этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:





Решение задачи Коши существует не для всех дифференциальных уравнений и несколько ниже я опишу некоторые из них, для которых такое решение возможно.

Если дифференциальное уравнение определяется соотношением:

F(x,y,y’y,…, у) = 0,

которое удается разрешить относительно старшей производной у, то я прихожу к уравнению:



называемому дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Именно такого вида дифференциальные уравнения я и буду рассматривать в дальнейшем.

ТЕОРЕМА существования и единственности решения задачи Коши.

Если в дифференциальном уравнении



функция непрерывна по совокупности своих аргументов в некоторой области их изменения D и имеет в этой области непрерывные частные производные , то для любой точки найдется интервал , на котором существует единственное решение данного дифференциального уравнения. удовлетворяющего условиям:





Алгоритм решения задачи Коши.

При его практической реализации необходимо сначала найти общее решение дифференциального уравнения, определение которого относится к основным понятиям дифференциальных уравнений и состоит в следующем.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется семейство функций:



зависящее от n вещественных параметров произвольно фиксированном наборе постоянных , такое, что при каждом функция является на (a,b) решением данного дифференциального уравнения и, если заданы какие-либо начальные условия



то найдутся такие значения постоянных , что функция является решением данной задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.

Если общее решение дифференциального уравнения n-го порядка определяется неявно соотношением



то это соотношение называют общим интегралом данного уравнения.

Пояснительные примеры, приводящие к дифференциальным уравнениям.

1. Процесс охлаждения жидкости.

Если некая емкость с жидкостью помещена в холодильную камеру. то, предполагая, что скорость охлаждения жидкости в течение всего времени пропорциональна разности температур камеры и жидкости, сам процесс охлаждения жидкости может быть описан посредством дифференциального уравнения следующим образом.

Пусть и = означают изменяющиеся со временем t температуры холодильной камеры и жидкости, соответственно. При этом температура Т(t) предполагается известной функцией (например, она может быть постоянной), а температуру мне предстоит найти.

Поскольку скорость охлаждения жидкости представляет собой производную , то, согласно условию, прихожу к соотношению:



или кратко

,

где k – некоторый числовой коэффициент пропорциональности.

Данное соотношение является дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции .

2. Расчет численности населения.

Пусть N(t) означает численность населения (страны, города и т.п.) в данный момент времени t. Предполагая, что за отрезок времени средняя скорость изменения численности населения пропорциональна этой численности, прихожу к равенству:

,

где - заданный коэффициент пропорциональности.

Устремляя здесь , получу дифференциальное уравнение:



для определения неизвестной функции N(t).

3. Движение фондов.

Пусть К – величина фондов, определенная, например, в стоимостном выражении. К фондам, в частности, относятся станки, производственные площади и т.п.

С течением времени t фонды изнашиваются, стареют, ломаются, так что величина фондов есть функция К = К(t).

Скорость выбытия фондов за единицу времени обычно считают пропорциональной величине фондов с заданным коэффициентом пропорциональности 0 1 (называемым еще коэффициентом выбытия и отражающим тот факт, что через 1/ лет фонды должны обновиться полностью).

Это означает, что начиная с момента t, в течение времени фонды К = К(t) уменьшатся на величину , т.е.

.

Чтобы предприятие не потеряло со временем свои фонды полностью, в него вкладываются ежегодные постоянные инвестиции I, которые за год увеличивают фонды на величину , где 0 1 – заданная доля инвестиций на восполнение фондов.

Поскольку за отрезок времени инвестиции дадут увеличение фондов на величину , то, учитывая сказанное выше, имею равенство:



откуда



и, устремляя , прихожу к дифференциальному уравнению:



относительно неизвестной функции K(t).

4. Модель Эванса расчета цены товара.

На рынке одного товара рассмотрю функции спроса d = d(t), предложения S = S(t) и цены P = P(t) этого товара в момент времени t.

Предполагая, что скорость изменения цены за промежуток времени пропорциональна (с коэффициентом у > 0) разности между спросом и предложением, прихожу к равенству:



или короче



Устремляя здесь , получаю дифференциальное соотношение:



связывающее цену, спрос и предложение товара в момент времени t.

В качестве первого приближения обычно считают, что спрос d и предложение S являются линейными функциями цены P, а именно:

и

где все числовые параметры положительны.

Учитывая такое предположение, мое дифференциальное соотношение преобразуется к виду:



представляющему собой дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции цены P = P(t).

Еще не решая этого уравнения, можно сказать, что цена P(t) имеет стационарную точку, когда , и значение цены P в этой точке называют равновесной ценой, обозначая ее символом P*. Значение P*, очевидно, равно:



Обращу внимание, что в случае равновесной цены P* спрос и предложение совпадают, т.е. d(P*) = S(P*).

Действительно,



откуда d(P*) = S(P*), что и требовалось.

Таким образом, дифференциальным уравнением называется уравнение (соотношение), связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у’, у,…, у, т.е. уравнение вида F(x,y,y’,…, у) = 0. В первой главе были рассмотрены теорема существования и единственности решения задачи Коша, алгоритм решения задачи Коши. Рассмотренные пояснительные примеры, приводящие к дифференциальным уравнениям, показали практическую значимость дифференциальных уравнений во многих сферах экономики.

  1   2   3

Похожие:

План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconРешением для студентов I курса фвм по теме: «Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэфициентом»
Для нахождения частного решения необходимо найти общее решение дифференциального уравнения. Составим характеристическое уравнение:...
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconЛабораторная работа №3. Моделирование хаотических динамических систем Исследовать динамическую систему, представленную в виде дифференциальных уравнений (систем дифференциальных уравнений)
Преобразовать исходные дифференциальные уравнения к виду системы дифференциальных уравнений первого порядка
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconКонтрольная работа по теме: «Дифференциальные уравнения»
Найти общее решение дифференциального уравнения n-го порядка, допускающего понижение порядка производной
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconДифференциальные уравнения
...
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 icon1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных
Коши для волнового уравнения, смешанная задача для уравнения гиперболического и параболического типов. Рассматриваются интегральные...
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconРешение однородного уравнения, в этом случае, можно представить суммой
Прежде, чем перейти к изучению управления и управляемости, нам необходимо вспомнить основные правила построения решения линейных...
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconВступительного экзамена в аспирантуру по специальности
Доказательство существования решения дифференциального уравнения первого порядка. Единственность решения
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconДифференциальные уравнения с последействием
Классификация уравнений с отклоняющимся аргументом. Основная начальная задача для дифференциальных уравнений с запаздыванием
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconВосстановление неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в форме коши
Дана матрица-столбец, элементами которой являются квазиполиномы. Требуется построить нормальную систему уравнений в форме Коши [1]:...
План Введение 3 Понятие дифференциального уравнения и общие сведения о нем 5 > Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка 18 iconАмелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях
Приемы составления дифференциальных уравнений, а также некоторые методы их качественного исследования иллюстрируются задачами, возникающими...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница