Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования




Скачать 177.75 Kb.
НазваниеРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Дата10.03.2013
Размер177.75 Kb.
ТипМетодические указания


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования


«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»


ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ


Методические указания к курсу

«Гидроупругость»

Раздел 2


для студентов дневного отделения

механико-математического факультета


Ростов-на-Дону

2006

Методические указания разработаны профессором кафедры теории упругости и пластичности МГУ В.М.Александровым и доцентом кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ Б.И.Сметаниным.


Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической

гидроаэромханики РГУ, протокол № 10 от 3 июня 2006 г.


В первой части методических указаний «Задачи гидроупругости» [1] рассмотрена плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости, а также осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидкостью. Данные методические указания содержат исследования двух задач: плоской задачи о вынужденных колебаниях тонкой упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости и осесимметричной задачи о собственных колебаниях упругой круглой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости. Все указанные задачи рассмотрены в линейной постановке. При построении решений этих задач применен метод интегральных преобразований. При интегрировании дифференциального уравнения изгибных колебаний пластинки использован разработанный авторами метод ортогональных многочленов.

Плоская задача о вынужденных колебаниях упругой


пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости



Пусть тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины находится в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Невозмущенная скорость потока равна . Будем считать заданными перемещение и угол поворота элемента срединной плоскости пластинки для точек ее передней кромки, при , в виде

, (1)

где функция определяет прогиб срединной плоскости пластинки, - время, - круговая частота колебаний, - мнимая единица; . В линейной теории изгиба пластинок считается, что

(2)

Вынужденные колебания передней кромки пластинки по закону (1) приводят к периодическому изгибу пластинки, имеющему характер бегущей в направлении потока волны. В результате взаимодействия колеблющейся пластинки с жидкостью возникает сила тяги (упор), направленная против потока.

Уравнение, которому должна удовлетворять функция , имеет вид [2]

(3)



Здесь - жесткость пластинки при изгибе, - модуль Юнга, -коэффициент Пуассона, - плотность пластинки, - толщина пластинки - гидродинамическое давление.

К граничным условиям (1) следует добавить условия равенства нулю изгибающего момента и поперечной силы на задней кромке пластинки, то-есть при :

(4)

Движение жидкости будем считать потенциальным. Обозначим через потенциал скоростей возмущенного движения жидкости. Тогда компоненты вектора скорости точек жидкости будут определяться формулами

(5)

Функция должна удовлетворять уравнению Лапласа

(6)

Возмущения основного потока, вносимые пластинкой, считаются малыми величинами. Отсюда следует, что

(7)

Условия (7) позволяют линеаризовать интеграл Лагранжа-Коши [3], который принимает вид

(8)

Здесь - давление на бесконечности.

Условие безотрывного обтекания жидкостью пластинки с учетом (7) имеет вид

(9)

На вихревой пелене, при , должны выполняться условия непрерывности гидродинамического давления и нормальной скорости

(10)

При должно выполняться условие отсутствия возмущений перед пластинкой:

(11)

а при - условие затухания возмущений скоростей точек жидкости

(12)

Функции и представим в виде

(13)

Из (1) – (13) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций и

(14)



(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Решение уравнения (15) целесообразно строить отдельно в верхней и нижней полуплоскостях. Используя обобщенное интегральное преобразование Фурье с учетом (21), будем иметь [4]

(22)

(23)

В этих формулах и - достаточно произвольные функции, контур интегрирования в плоскости комплексной переменной необходимо выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие (20). Из условия непрерывности давления и нормальных скоростей при с учетом (17) - (19) вытекают следующие граничные условия для функций и

(24)

(25)

(26)

Из (22) – (26) с использованием свойств интегрального преобразования Фурье может быть получена следующая система уравнений, связывающая функции и

(27)

где функция дается формулой

(28)

Решение системы уравнений (27) имеет вид

(29)

Из (23), (28) и (29) найдем

(30)

Аналогичное представление может быть получено и для функции . Из (30) определим

(31)

(32)

Контур интегрирования в (32) выберем следующим образом: будем считать, что при он совпадает с действительной осью, а при он проходит по полуокружности радиуса , лежащей в верхней полуплоскости . Учитывая, что при

,

получим следующее представление функции



Здесь интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Использование формул 3.722 (1,3,5,7) [5] позволяет выразить через интегральную показательную функцию в виде



Интегральная показательная функция связана с интегральным синусом и интегральным косинусом формулой 8.233(1) [5]



Отсюда, с учетом свойств функций и 8.235 [5], легко убедиться, что при , что свидетельствует о правильном выборе контура интегрирования в (32).

Из (31) и граничного условия (24) получим следующее интегральное уравнение

(33)

Таким образом, для определения функций и получена система дифференциального (14) и интегрального (33) уравнений. В этих уравнениях перейдем к безразмерным величинам по формулам

(34)

Уравнения (14), (33) и граничные условия (16) с использованием формул (34) примут вид

(35)



(36)

В формулах (35), (36) и далее при исследовании данной задачи знаки «штрих» и «волна» опущены.

Вторую производную от функции будем искать в следующей форме

, (37)

где - многочлены Якоби, - подлежащие определению коэффициенты. Легко видеть, что

, (38)

и, следовательно, граничные условия (36) для при будут выполняться при любых значениях коэффициентов . Из (37) найдем

(39)

Постоянные и определим из условий

(40)

Удовлетворение указанным условиям приводит к следующим значениям этих постоянных



В этом случае граничные условия (36) при также будут выполняться.

Многочлены удовлетворяют условию



где - символы Кронекера. Это условие следует из условия ортогональности многочленов Якоби 7.391(1) [5]



Интегральное уравнение (35) с учетом представления (39) запишем в виде



Тогда в силу линейности рассматриваемого уравнения его решение можно искать в форме ряда с коэффициентами

(41)

Функции должны при этом определяться из интегральных уравнений

(42)


Для решения интегральных уравнений (42) применен метод ортогональных многочленов [6]. Решение каждого уравнения будем искать в виде

, (43)

где - подлежащие определению коэффициенты, - многочлены Чебышева первого рода. В представлении (43) учтено условие Жуковского-Чаплыгина ограниченности решения при [3].

Внося в форме (43) в (42), найдем

(44)

()

Здесь - многочлены Чебышева второго рода. При получении уравнения (44) использовано значение интеграла



которое следует из формулы 7.344(1) [5]



Умножим соотношение (44) почленно на и проинтегрируем затем по от -1 до 1. В результате получим

(45)

В (45) введены обозначения





После решения системы (45) функции становятся определенными. Дифференциальное уравнение (35) с использованием разложений (39) и (41) запишем в виде

(46)

Уравнение (46) умножим почленно на и проинтегрируем затем по от -1 до 1. В результате получим бесконечную линейную алгебраическую систему уравнений относительно

(47)

Здесь обозначено



Суммарное давление жидкости на пластинку после нахождения функции может быть определено по формуле



Сила тяги, возникающая при взаимодействии пластинки с жидкостью, имеет две составляющие. Первая из них, , определяется проекцией сил давления на ось . Формула для определения этой составляющей, осредненной за период колебаний , имеет вид



Знак «черта» над функцией означает сопряженное значение этой функции. Вторая составляющая, , подсасывающая сила, направлена против потока. Она обусловлена большой скоростью жидкости вблизи передней кромки пластинки и, как следствие, разрежением жидкости. Величина этой составляющей, осредненная за период колебаний, дается формулой [7]



Решение систем (45) и (47) целесообразно строить методом индукции. При этом, как показывают исследования, эффективность рассматриваемого алгоритма тем выше, чем меньше параметр . Так, при , достаточно ограничиться решением урезанных систем, составленных из шести уравнений.


Собственные колебания круглой упругой пластинки

в идеальной несжимаемой жидкости


Пусть тонкая круглая упругая пластинка радиуса постоянной толщины находится в идеальной несжимаемой жидкости.. Оси цилиндрической системы координат расположим так, чтобы координаты точек срединной плоскости пластинки в недеформированном состоянии удовлетворяли условиям: . Пластинка при скреплена с тонким жестким кольцом радиуса . Осесимметричная задача о взаимодействии пластинки с жидкостью в линейной постановке сводится к решению следующих уравнений.

(48)

Здесь - прогиб срединной плоскости пластинки, жесткость пластинки при изгибе определяется формулой (3), - плотность пластинки, - время, - гидродинамическое давление,

(49)

Силами, влияющими на изгиб пластинки, являются силы инерции и давление жидкости на пластинку . Граничные условия, обусловленные наличием жесткого кольца, имеют вид

(50)

Движение жидкости считается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости функция удовлетворяет уравнению Лапласа

(51)

Интеграл Коши-Лагранжа будем брать в линеаризованной форме

, (52)

где - плотность жидкости, - давление на бесконечности.

Условие безотрывного обтекания жидкостью пластинки имеет вид

(53)

С удалением от пластинки скорость точек жидкости должна исчезать. Следовательно

(54)

Функции и представим в виде

(55)

Здесь, как и в случае формул (13), - круговая частота, - мнимая единица.

Из (48) – (55) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций и

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

Решение уравнения (58) будем строить отдельно в верхнем и нижнем полупространствах. Используя интегральное преобразование Ханкеля с учетом (60), будем иметь [8]

(61)

(62)

В этих формулах и - достаточно произвольные функции, - функция Бесселя. Из условия непрерывности давления и нормальных скоростей вытекают следующие граничные условия для функций и при

(63)

Соотношения (61) - (63) позволяют получить систему уравнений для нахождения функций и

(64)

где функция дается формулой

(65)

Решение системы (64) имеет вид

(66)

Функция после нахождения с учетом (65) принимает форму (67)

Аналогичный вид имеет также и функция . Из (59) и (67) может быть получено следующее интегро-дифференциальное уравнение, связывающее функции и ,

(68)

Формула обращения уравнения (68) имеет вид [6]

(69)

Полученное соотношение (69) позволяет исключить из рассмотрения функцию и привести задачу к решению одного интегро-дифференциального однородного уравнения относительно функции

(70)



В уравнении (70) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам



Уравнение (70) и граничные условия (57) в этом случае преобразуются к виду

(71)

(72)

В (71), (72) и ниже знаки «штрих» и «волна» опущены.

Решение уравнения (71) будем искать в следующем виде

, (73)

где - подлежащие определению коэффициенты,



- многочлены Якоби. Граничные условия (72) в этом случае будут удовлетворяться при любых значениях коэффициентов . Можно показать, что для многочленов Якоби справедлива формула

(74)



В этом случае

(75)

Из (75) и условия ортогональности многочленов Якоби (формула 7.391(1) [5]) следует



(76)

Здесь - символы Кронекера. Функцию в форме (73) внесем в (71), в результате найдем следующее уравнение

(77)

Уравнение (77) умножим почленно на и проинтегрируем по в пределах от 0 до 1, в результате получим бесконечную линейную систему алгебраических уравнений относительно

, (78)

,

При получении системы уравнений (78) использовано значение интеграла (76). Нетривиальное решение однородной системы (78) существует, если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю:

(79)

Условие (79) является уравнением для определения собственных частот колебаний пластинки. При реализации рассмотренного алгоритма целесообразно использовать метод редукции.

В таблицах 1 – 3 даны значения приведенной частоты , полученные с использованием программы Maple для урезанной системы (78). Эта программа

для конечного порядка системы точно вычисляет ее коэффициенты и определитель, а корни уравнения (79) находит с заданной точностью.

Таблица 1 Значения приведенной частоты при












3

10.22

39.92

109.6

-

4

10.22

39.77

91.16

228.7

5

10.22

39.77

89.20

169.3

6

10.22

39.77

89.11

159.3

50

10.22

39.77

89.10

158.2


Рис. 1

В [9] приведены значения первых трех собственных частот для рассматриваемой задачи при Некоторое расхождение этих результатов с приведенными в таблице 1 свидетельствует о том, что полученные в [9] результаты являются менее точными.

Таблица 2 Значения приведенной частоты при












2

2.129

13.34

-

-

3

2.129

12.55

41.56

-

4

2.129

12.52

35.10

99.72

5

2.129

12.52

34.49

74.23

6

2.129

12.52

34.46

70.24


Рис. 2


Таблица 3 Значения приведенной частоты при











2

1.522

9.674

-

-

3

1.522

9.108

30.54

-

4

1.522

9.087

25.81

74.21

5

1.522

9.087

25.37

55.26

6

1.522

9.087

25.35

52.31


Рис. 3

Приведенные результаты численных расчетов показывают, что в рассмотренном диапазоне изменения параметра для получения первых трех (наименьших по величине) собственных частот с достаточной для практического использования точностью можно ограничиться решением урезанной системы (78), составленной из шести уравнений. Собственные частоты колебаний пластинки в вакууме () больше соответствующих собственных частот колебаний пластинки, помещенной в жидкость. Увеличение плотности жидкости ведет к уменьшению собственных частот колебаний пластинки.

Приводим программу вычисления собственных частот по формуле (79) для использования в пакете Maple

> restart:

> with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected


> M:=6:

> beta:=60:

> with(orthopoly):

> H:=(n)->sqrt(2*(2*n+3))/(2*n+2)/(2*n+4):

> Q:=(n,r)->(1-r^2)^2*H(n)*P(n,2,0,2*r^2-1):

> b:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*Q(n,r),r=0..1):

> delta:=(m,n)->if(m=n) then 1 else 0 end:

> f1:=(n,xi)->int(x*Q(n,x)/sqrt(xi^2-x^2),x=0..xi):

> f2:=(n,r)->int(f1(n,xi)/sqrt(xi^2-r^2),xi=r..1):

> k:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*f2(n,r),r=0..1):

> F:=(m,n)->delta(m,n)-omega^2*b(m-1,n-1)-beta*omega^2*k(m-1,n-1):

> A:=matrix(M,M,F):

> fsolve(det(A),omega,omega=0..60);





Упражнение 1 Вывести формулы (8) и (52) из интеграла Лагранжа-Коши [3]

, (80)

использовав представленные компоненты вектора скорости (5) и условие (7). В (80) - функция, подлежащая определению.

Упражнение 2 Вывести формулу (9), исходя из граничного условия при



и используя соотношения (5) и (7).

Упражнение 3 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (22) и (23), используя обобщенное интегральное преобразование Фурье.

Упражнение 4 Показать, что если контур интегрирования в интеграле (32) будет обходить полюс снизу, в полуплоскости , то условие (20) выполняться не будет.

Упражнение 5 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (61) и (62), используя интегральное преобразование Ханкеля.

Упражнение 6 Используя свойства многочленов Якоби , доказать соотношение (74).


Литература

  1. Александров В.М., Сметанин Б.И. Задачи гидроупругости. Методические указания для студентов механико-математического факультета.- Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. - 18 с.

2 Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Физматгиз, 1963. – 636 с.

  1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973. - 848 с.

  2. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 280 с.

  3. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.

  4. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. – М.: Наука, 1993. – 224 с.

  5. Беляев В.В., Грунтфест Р.А. Волновой движитель как пропульсивная система. Известия СКНЦ ВШ, сер. естественных наук, 1974, № 4, с. 18-23.

  6. Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. – 660 с.

  7. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле.-М.: Наука, 1967. - 444 с.


Похожие:

Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской федерации федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный...
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство образования и науки российской федерации федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М....
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М....
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М....
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
...
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
...
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
...
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный Национальный исследовательский...
Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Секционные заседания – с 21 по 28 апреля, в соответствии с программами факультетов и института
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница