Решение нестандартных задач в среднем звене




Скачать 263.53 Kb.
НазваниеРешение нестандартных задач в среднем звене
страница1/3
Дата31.08.2012
Размер263.53 Kb.
ТипРешение
  1   2   3
Решение нестандартных задач в среднем звене

Салимгариева Ирина Галиахматовна, учитель математики

МОУ «Деменёвская средняя общеобразовательная школа»


Обучение математике – это, в итоге, обучение решению задач. Задачи школьного курса можно условно разделить на два вида: стандартные и нестандартные. Большинство школьных задач стандартные: для их решения требуется лишь умение работать “по образцу”, то есть знание определенного алгоритма, с помощью которого можно решить данный тип задач. Трудности, возникающие при решении таких задач, носят чисто технический характер; методика их преодоления хорошо известна – это тренировка в решении однотипных упражнений.

Но не все задачи стандартные, некоторые из них трудно отнести к какому-либо определенному типу. Встречая такие задачи на математических олимпиадах или на вступительных экзаменах в вузы, ученики не знают что делать, объясняя это тем, что “таких задач они в школе не решали”.

Нестандартные задачи – это такие, для решения которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

  1. сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;

  2. разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера нестандартной задачи используется либо одна из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции приходится использовать многократно.

Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет и нет каких-то точных правил использования операций по сведению решения нестандартных задач к решению стандартных, однако многие выдающиеся математики нашли ряд общих указаний-рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими правилами или, короче, эвристиками.

В отличие от математических правил эвристики носят характер не обязательных рекомендаций, советов, следование которым может привести (а может и не привести) к решению задачи.

Некоторые наиболее общие и часто используемые эвристические правила рассмотрены в данной работе. На примерах решения некорректных задач сделаны попытки показать некоторые методические приемы решения. Еще Ньютон говорил, что “при изучении наук задачи полезнее правил”. Поэтому чем больше приемов будет разъяснено учащимся на примерах решения конкретных задач, тем лучше учащиеся будут подготовлены к решению разного рода нестандартных задач, а через эту деятельность будут развиваться их творческие способности.


1.Перебор

Используя перебор при решении задач, ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты на основании частных выводов, делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально- практический опыт.

При решении задач методом перебора нужно рассмотреть все возможные случаи, выделить те, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может. В связи с этим при решении упражнений обычно должна быть определенная система перебора, которая давала бы полную уверенность в том, что рассмотрены все случаи. В этом состоят особенности и трудности предлагаемых задач для учащихся.

Существуют два вида полного перебора: рассмотрение каждого случая в отдельности и групповой анализ возможных решений.

Первым видом перебора удобно пользоваться, когда число возможных вариантов решения невелико и разбор всех случаев практически осуществим.

  1. В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число.

Выпишем все такие двузначные цифры: 12,24, 36, 48. Найдем сумму каждого из них с числом 36.

12+36=48, 24+36=60, 36+36=72, 48+36=84.

Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только число 48.

Ниже приведена задача, для решения которой используется прием полного перебора в виде группового анализа возможных случаев решения.

  1. Можно ли число 1234 представить в виде разности квадратов двух целых чисел?

Допустим, что 1234= а2 +b2 , где а и b – целые числа. Тогда 1234 = (а+ b)(а- b).

Рассмотрим четыре случая: а) а – четное, b – четное; б) а- четное, b –нечетное; в) а – нечетное, b – четное; г) а –нечетное, b – нечетное.

В случаях б) и в) числа (а+ b) и (а- b) нечетны, значит, их произведение нечетно и не может равняться четному числу 1234.

В случаях а) и г) числа (а+ b) и (а- b) четны, значит, их произведение делится на 4 и не может равняться числу 1234, на 4 не делящемуся.

Следовательно, число 1234 нельзя представить в виде разности квадратов двух целых чисел.

Еще одной разновидностью приема перебора является так называемый сокращенный перебор. Им пользуются в тех случаях, когда анализ всей совокупности возможных решений невозможен или слишком затруднителен.

  1. Какими цифрами можно заполнить “кроссворд”

С О Н

О К О

Н О С,

Если по всем горизонталям и вертикалям стоят точные квадраты?

Идея решения этой задачи основана на том факте, что среди трехзначных чисел, являющихся точными квадратами, есть только три с одинаковыми цифрами единиц и сотен: 121, 484, 676, причем в качестве числа ОКО подходит лишь 676. В свою очередь, точных квадратов с цифрой 6 в середине всего два – это 169 и 961. Отсюда следует, что “кроссворд” можно заполнить двумя способами:


169 961

676 и 676

961 169.

  1. Восстановить запись

(***)3=12******3.


Эта задача решается путем последовательного сужения области поиска возможных вариантов трехзначного числа, возводящегося в куб. Сначала выясняется, что это число может оканчиваться только цифрой 7, так как из цифр от 0 до 9 только 7 при возведении в куб дает последнюю цифру 3, а затем, что среди сотен девятизначными могут быть только кубы чисел, не меньших 500, и лишь 500 3 начинается с 12. Проверяя числа, близкие к 500, и оканчивающиеся на 7, получаем, что данная в условии запись есть 4973=122763473.

Ниже приведена подборка задач, способствующих формированию умения осуществлять перебор всех возможных случаев.



  1. В числе 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее семизначное число. Ответ: 2 854 106.



6. На плоскости даны 6 точек, расположенных в виде прямоугольника так, как указано на рис. 1. Сколько существует треугольников, у которых одна вершина находится в точке А, а две другие – в каких-либо остальных точках? Сколько существует таких треугольников, у которых одна вершина находится в точке F?


Рис.1. Рис.2.


Ответ: девять способов.

Указание. Обозначив буквами все остальные точки (рис.2.), нетрудно указать все треугольники: ABF, ABE, ACD, ACF, ACE, ADF, AEF.

Во втором случае также 9 способов.



  1. Задачи на нахождение цифры

Одним из принципов отбора и систематизации творческих задач является принцип “наведения на открытие”. Он обусловлен сущностью и особенностями творческого процесса. Навести учащихся на открытие того или иного математического факта посредством решения творческих задач – это значит предложить им последовательно выполнить такие идейно родственные задачи, которые вначале выступают как конкретизация и уточнение основной проблемы, а затем как поиск и составление общего способа ее решения.

  1. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается: а) на 3, б)на 8?

А) 13·23·33·…·93

3·3·3·…·3=39=(33)3=273=343

Б) 18·28·38·…·98

89=(83) 3 =5123, 23=8


89 оканчивается цифрой 8.

Цель этого задания – ввести учащихся в проблему нахождения последней цифры степени и, в частности, показать, что существует такие степени (в данном случае - девятая), которые оканчиваются той же цифрой, что и их основание.

  1. Укажите среди чисел вида 4K – 4 какие-нибудь три, кратные 10 (k – натуральное число).

4 3-4=64-4=60

4 4-4=256-4

4 5-4=1024-4=1020

4 6-4=4096-4

4 7-4=16384-4=16380.

В ходе выполнения этого задания учащиеся должны заметить тот факт, что нечетные натуральные степени числа 4, оканчивающиеся цифрой 4, а четные – цифрой 6.

  1. Найти последнюю цифру числа: а) 320, б) 2748, в) 50863.

а) 320=(35)4=2434 б) 2748=(274)12 в) 50863 863=(83)21 83=512

34=81 112=1 274 оканчивается цифрой 1 221=(27)3=1283

Это задание способствует обострению потребности в поиске более удобного способа нахождения последней цифры степени.

  1. Объясните, почему 2,6·(26n -1) – целое число при любом натуральном n.

Эта задача вызовет определенные трудности у семиклассников, так как для ее решения необходимо применить, по крайней мере, две эвристики:

А) догадаться, что число 26n всегда оканчивается на 6, а поэтому 26n -1 оканчивается на 5;

Б) заметить, что при умножении 2,6, на целое число, оканчивающееся на 5, получается целое число.

В итоге решения задачи в качестве устных дополнительных упражнений можно рекомендовать следующие:

1. Целое число m оканчивается цифрой 6. Какой цифрой будет заканчиваться число m2+1, m8-4, m112+25?

2. Назовите такие числа, любая натуральная степень которых оканчивается той же цифрой, что и само число. (Числа, имеющие в конце цифру 5 или 6).

3. Найдите какое-нибудь значение P, при котором число P 2+1 делится без остатка на 5. (Числа, имеющие в конце цифру 2 или 8).

  1. Верно ли утверждение:

А) квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

Б) куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

В) четвертая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр: 0, 1, 5, 6;

Г) пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число?

Цель этого задания – подготовить учащихся к выводу о том, что последние цифры в записи степеней целого числа периодически (с периодом 4) повторяются.

Для удобства записи решение целесообразно составить таблицу:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

n2

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

n3

1

8

7

4

5

6

3

2

9

0

n4

1

6

1

6

5

6

1

6

1

0

n5

1

4

3

4

5

6

7

8

9

0

В первой строке этой таблицы написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во второй строке – цифры, которыми заканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и так далее.

Заполнив пятую строку и сравнив результаты с соответствующими цифрами первой строки, убеждаемся, что пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень этого числа, то есть само число. Следовательно, результаты в таблице будут повторяться через каждые четыре строчки.

  1. Какими цифрами оканчиваются числа вида: а) 74k+1;б) 84k+3, где k – натуральное число?

А) 4k кратно 4; 4k+1 при делении на 4 дает остаток 1. Значит, ответ находим в первой строке таблицы для степени с основанием 7:7

Б) 4k+3 при делении на 4 дает остаток 3. 84k+3, числа этого вида оканчиваются цифрой 2.

13.Какой цифрой оканчивается число: а) 743; б) 12109?

А) 43 при делении на 4 дает остаток 3. Число 743 оканчивается цифрой 3.

Б) 12109; 109 при делении на 4 дает остаток 1. Ответ находим в первой строке таблицы для степени с основанием 2:2.

В итоге работы над задачами этой группы составляем алгоритм нахождения последней цифры степени целого числа:

1) найти остаток от деления показателя степени на 4;

2) если остаток равен

А) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

Б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

В) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

Г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

  1   2   3

Похожие:

Решение нестандартных задач в среднем звене iconПрограмма дисциплины Решение нестандартных задач по физике
Подготовка студентов по курсу решение нестандартных задач в соответствии с требованиями «Государственного образовательного стандарта...
Решение нестандартных задач в среднем звене icon«Адаптация учащихся 5-х классов к условиям обучения в среднем звене школы»
Цель: учёт индивидуальных особенностей и личностных качеств учащихся в адаптации школьников к условиям обучения в среднем звене,...
Решение нестандартных задач в среднем звене iconРешение разных типов задач
«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости...
Решение нестандартных задач в среднем звене iconРешение нестандартных задач
Предложенный курс обеспечивает усиление, практической направленности при решении задач, создает условия для развития познавательных...
Решение нестандартных задач в среднем звене icon«Решение комбинированных и нестандартных задач по химии. 7-11 класс»
Вузы соответствующего профиля: химический факультет игу, медицинский университет и др
Решение нестандартных задач в среднем звене iconПрограмма «Решение комбинированных и нестандартных расчетных задач по химии»
Комитет по образованию Администрации Санкт-Петербурга Государственное образовательное учреждение
Решение нестандартных задач в среднем звене iconРасписание звонков начального звена
Продолжительность урока в среднем и старшем звене – 45 минут (шестидневная рабочая неделя)
Решение нестандартных задач в среднем звене iconПрограмма дополнительного образования по математике "Решение нестандартных задач"
...
Решение нестандартных задач в среднем звене iconНазвание программы курса. Предмет Класс Предмет Учитель
«Решение нестандартных задач по физике. Электростатика» «Анализ текста. Особенности структуры текста»
Решение нестандартных задач в среднем звене iconПрограмма элективного курса для учащихся 11 классов «Решение нестандартных задач по физике»
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница