Программа элективного курса по математике




Скачать 148.88 Kb.
НазваниеПрограмма элективного курса по математике
Дата27.11.2012
Размер148.88 Kb.
ТипПрограмма
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Уренгойская средняя общеобразовательная школа № 2»


Программа элективного курса по математике


СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТИ.


Составила Надежда Владимировна Кузяева,

учитель математики


п. Уренгой

2008-2009 учебный год


Пояснительная записка


По вопросам реформирования и модернизации нынешнего школьного математического образования существует множество весьма различных мнений. При этом среди вопросов о содержании школьной математики никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире.

Учащиеся познакомятся с комбинаторным правилом умножения, которое получает применение при выводе формулы числа перестановок, размещений, сочетаний. В курсе вводятся начальные понятия теории вероятностей: формируется представление о случайных, достоверных и невозможных событиях.

Каждая тема ограничена тем минимумом, который достаточен для формирования основных комбинаторных и вероятностных представлений об окружающем мире, что позволит усвоить его каждому ученику. Этот материал образует своего рода фундамент, опираясь на который, можно в дальнейшем выстраивать всю стохастическую линию в преподавании математики в школе.


Цели курса:

  • познакомить учащихся с элементами теории вероятности;

  • научить решать простейшие комбинаторные и вероятностные задачи.

  • способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН



Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

семинар

Простейшие комбинаторные задачи.

1

Правило умножения

1

0,5

0,5







2

Дерево вариантов

1

0,5

0,5







3

Перестановки

1

0,5

0,5







4

Закрепление изученного

1







1

Сам. работа

Выбор нескольких элементов. Сочетания

5

Выбор двух элементов

1

0,5

0,5







6

Числа Сkn

1

0,5

0,5







7

Выбор трех и более элементов

1

0,5

0,5







8

Закрепление изученного

1







1

Сам. работа

Случайные события и их вероятности

9

События достовер-ные, невозможные и случайные

1

0,5

0,5







10

Классическое опре-деление вероятности

1

0,5

0,5







11

Вероятность противоположного события

1

0,5

0,5







12

Вероятность суммы несовместных событий

1

0,5

0,5







13

Закрепление изученного

1










Контр. работа

Итого 13 ч


При изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, но предполагается, что учащиеся, проявляющие интерес к математике будут уметь решать простейшие комбинаторные и вероятностные задачи.


Содержание программы


Тема 1. Простейшие комбинаторные задачи (4 часа)

На примере простых задач учащиеся знакомятся с новыми понятиями; вводится правило умножения для двух и трех независимых испытаний, его геометрическая модель – дерево возможных вариантов; вводится понятие факториала; формулируется теорема о перестановках.

Метод обучения: лекция, беседа, выполнение тренировочных задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания (4 часа)

Рассматриваются задачи с выбором двух и более элементов без учета их порядка и с учетом порядка; дается определение числу сочетаний из п элементов по k; рассматривается треугольник Паскаля.

Метод обучения: лекция, беседа, выполнение тренировочных задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 3. Случайные события и их вероятности (4 часа)

Рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события, количество исходов случайных событий; дается классическое определение вероятности и правило нахождения вероятности события при проведении некоторого опыта; вводится понятие противоположного события, правило нахождения вероятности наступления противоположного события; рассматривается теорема о вероятности наступления хотя бы одного из двух несовместных событий.

Метод обучения: лекция, беседа, выполнение тренировочных задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Заключительное занятие (1 час)

Контрольная работа.


Методические рекомендации

Тема 1. Комбинаторным задачам подсчета предшествуют или идут параллельно им перечислительные задачи, т.е. при решении задач используют перечисление комбинаций различного вида. Для этих целей применяют деревья, обсуждается логика перебора. Чтобы перечисление не было стихийным (а в этом случае есть риск упустить какие-то комбинации), предлагается вести на комбинациях отношение порядка.

В качестве рабочего инструмента предлагается следующая схема решения переборных задач:

1. Придумать обозначения элементов, участвующих в комбинациях (если это не числа или буквы).

2. Выписать первую комбинацию и несколько следующих за ней.

3. Выписать последнюю комбинацию и несколько предшествующих ей.

4. Выписать произвольную комбинацию. Найти непосредственно ей предшествующую и следующую за ней.

5. Сформулировать правило, по которому ищется следующая комбинация.

Третий шаг в этой схеме интересно организовать в форме коллективного соревнования: кто быстрее найдет следующую комбинацию. Ответы, которые предлагают ученики, либо сразу отбрасываются (комбинация оказывается меньше заданной), либо остаются в качестве претендента на ответ – пока не будет найден правильный ответ. Четвертый шаг наиболее сложный и требует от учащихся достаточно высокой математической и алгоритмической культуры.

Умение перебирать комбинации и находить их число с помощью правил умножения и сложения – основа комбинаторной культуры школьника и залог успешного решения большинства комбинаторных задач.

С перестановок, как правило, начинается знакомство с основными типами комбинаций. Подсчет числа перестановок не вызывает затруднений у школьников и является прекрасной иллюстрацией правила умножения.

Гораздо сложнее оказывается задача перебора всех перестановок. Замечательно, если учащиеся смогут самостоятельно сформулировать общее правило перебора перестановок.

При подсчете перестановок школьники впервые сталкиваются с факториалом. Самое время уделить ему здесь немного внимания, поговорить о его замечательных свойствах. Обязательно нужно показать учащимся, как быстро растут значения N!, вычислив несколько первых значений и оценив их величину при больших N.


Тема 2. Здесь в рассмотрение можно ввести еще два комбинаторных правила – вычитания и деления: правило вычитания следует применять, когда легче посчитать комбинации, которые не обладают заданным свойством, а правило деления – когда при умножении одна и та же комбинация считается многократно (но при этом каждая комбинация – одно и то же число раз).

Далее вводятся сочетания – пожалуй, самый важный для вероятностных задач тип комбинаций. Если без формул для числа перестановок можно обойтись – достаточно знать правило умножения, - то без формулы для числа сочетаний решить многие вероятностные задачи будет весьма затруднительно. На сочетаниях строится схема с одновременным выбором предметов: из М объектов одновременно вынимают наугад N объектов. Каждый исход такого опыта – сочетание из М по N.


Тема 3. Первоначальное знакомство с понятиями этой темы происходит на нематематическом языке, поэтому главной задачей учителя является разъяснение их существенных признаков. Ученик должен научиться различать случайные и неслучайные опыты, отличать элементарные исходы от неэлементарных. Особое внимание следует уделить обсуждению «элементарности» исходов, поскольку непонимание этого признака повлечет неизбежные ошибки при вычислении вероятностей.

То что вероятность любого события может быть найдена как сумма вероятностей благоприятных исходов, автоматически приводит нас к вопросу – а как вычислить вероятности самих исходов? Можно ли это сделать , минуя опыт?

Несколько знакомых примеров – монета, кубик – наведут учеников на идею опыта с равновозможными исходами. После этого они вполне способны самостоятельно открыть формулу Лапласа: Р(А)=m/n. Именно с этой формулы начинается решение по настоящему интересных задач. Здесь только нужно помнить, что опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов. Именно с этого следует начинать решение любой задачи, связанной с использованием данной формулы чрезвычайно полезными в этом случае оказываются примеры, в которых исходы опыта либо неравновозможны по своей сути (кнопка, пуговица, кубик со смещенным центром тяжести и др.), либо в качестве исходов ошибочно рассматриваются неравновозможные события

Предлагается следующая схема решения задач на классическую вероятность:

  1. Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечисление (полное или частичное).

  2. Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опыте; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и др.).

  3. Подсчет общего числа исходов опыта n (на первом этапе – прямой подсчет; позже – использование комбинаторных правил и формул).

  4. описание благоприятных для события А исходов, их перечисление. Если все исходы уже выписаны, то можно просто отметить среди них благоприятные для А.

  5. Подсчет числа благоприятных для события А исходов m.

  6. Вычисление вероятности по формуле Лапласа.

При введении определения противоположного события можно использовать диаграммы Эйлера.

Понятие несовместности можно рассматривать с двух точек зрения: это события, которые не могут произойти одновременно; это непересекающиеся множества. В любом случае говорить о несовместности событий можно только в рамках одного и того же эксперимента. При теоретико-множественном подходе это будет представлено более очевидно.

С несовместными событиями связано важнейшее свойство вероятности – свойство аддитивности. Коротко его можно сформулировать так: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.


Возможные критерии оценок

Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся усвоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями продемонстрировал умение работать самостоятельно.

Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.


Литература

        1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: пособие для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2005.

        2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5-9 кл.: электронное учебное пособие для основной школы. – М.: Дрофа, 2002.

        3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

  1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 -9 кл. общеобразоват. учреждений. 3-е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 78 с.

  2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 112 с.

  3. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для учащихся 7 -9 кл. общеобразоват. учреждений. 2-е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 112 с.



ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Занятие 1

Знакомство с новыми для вас понятиями начнем с двух простых задач.

Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0, то в таблице будет пять строк. на втором месте в искомом числе должна стоять четная цифра, значит, будет три столбца.

0 2 4

1

2

4

5

6

10

12

14

20

22

24

40

42

44

50

52

54

90

92

94


Клетки таблицы заполняются следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца. По строкам и столбцам мы перечислили все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, т.е. 5 · 3 = 15.

Ответ: 15.

Здесь был осуществлен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Пример 2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение. Составим таблицу:


плюшка бутерброд пряник кекс

кофе

КП

КБ

КПР

КК

сок

СП

СБ

СПР

СК

кефир

КЕП

КЕБ

КЕПР

КЕК


В ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Решения данных примеров совершенно одинаковые. Они основаны на общем правиле умножения.

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.


УПРАЖНЕНИЯ

  1. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? (Ответ: 25)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5? (Ответ: 5)

в) Сколько среди них чисел, кратных 11? (Ответ: 5)

г) Сколько среди них чисел, кратных 3? (Ответ: 8)

2. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику? (Ответ: 24)

б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой? (Ответ: 6)

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой? (Ответ: 6)

г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом? (Ответ: 12)

3. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире? (Ответ: 25)

б) Сколько команд играли в зеленых футболках? (Ответ: 5)

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета? (Ответ: 20)

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные? (Ответ: 16)

4. В контрольной работе будет пять задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы; (Ответ: 100 000)

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач; (Ответ: 32 768)

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи; (Ответ: 32)

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой. (Ответ: 8 192)

5. В клетки квадратной таблицы 2 на 2 произвольно ставят крестики и нолики.

а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? (Ответ: 16)

б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик? (Ответ: 8)

в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки? (Ответ: 8)

г) Решить задачи пунктов а), б), в) для таблицы 3 на 3. (Ответ: 512, 256, 256).

Похожие:

Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике
Программа элективного курса по математике " в стране квадратных уравнений", 9-й класс
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике «подготовка к сдаче егэ по математике»
Программа элективного курса своим содержанием может привлечь внимание учащихся 10 11 классов, которые заинтересованы в том, чтобы...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике
Программа элективного курса «Задачи с параметрами» рассчитана на 34 часа (1 час в неделю)
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике
Данный курс составлен с использованием программы факультативных курсов по математике
Программа элективного курса по математике iconЭлективный курс по математике для учащихся 11-ых классов
Программа элективного курса оставлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса «Что ты знаешь о своей наследственности»
Программа курса предназначена для подготовки учащихся 9 классов. Рассчитана на 18 часов (1 час в неделю). Вид элективного курса:...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике
Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по математике
Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса по теме: «Элементарная математика и её приложения»
Программа предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10-11 классов к итоговой аттестации по математике за курс...
Программа элективного курса по математике iconПрограмма элективного курса для предпрофильной подготовки «Золотое сечение» в математике и искусстве»
Предлагаемый курс «Золотое сечение» в математике и искусстве» направлен на реализацию следующих задач
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница