Конспект урока алгебры в 8 классе
Учебник: «Алгебра-8», автор А.Г. Мордкович
Урок: №50
Тип урока: ОК
Тема: «Функция y=√x. Свойства квадратного корня»
Учитель: Ермоленко В. В.
МОУ средняя школа №52
Ярославль, 2007 г.
Основные цели:
Сформировать способность учащегося к осуществлению контроля.
Продолжить формирование способности учащихся к выявлению причин затруднений собственной деятельности.
Контроль знаний, умений, навыков по теме: «Функция у = √х. Свойства квадратного корня».
Оборудование, демонстрационный материал.
1. Определение квадратного корня.
√а = b, если b2 =a, a≥0, b≥0
|
2. Свойства квадратного корня.
√(ab)= √a√b, a≥0, b≥0
√(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0
√(a2n)=an , a≥0
√a2=│a│
(√a)2 =a
|
3. Формулы сокращенного умножения:
(a-b)(a + b)=a2 -b2 разность квадрата
(a ± b)= a2 ± 2ab + b2 квадрат суммы/разности
|
5. Таблица квадратов двузначных чисел.
|
4. Алгоритм построения графика функции
y = √(x + t)+m
1. Построить вспомогательную систему координат (пунктиром), выбрав за начало координатную точку (-l,m).
2. К новой системе координат привязать график функции y = f(x).
|
6. Освобождение от иррациональности в знаменателе.
а) k = k*√a = k *√a = k*√a
√a √a*√a (√a) 2 a
б) k = k(√a +√b) = k(√a +√b)
√a - √b (√a - √b)*(√a + √b ) a - b
в) k = k(√a -√b) = k(√a -√b)
√a + √b (√a + √b)*(√a - √b ) a - b
|
7. Алгоритм графического способа решения уравнений:
Рассмотреть функции y1 и y2, которые выражаются левой и правой частью уравнения.
В одной системе координат построить графики функций y1 и y2.
Определить координаты точек пересечения графиков
Абсциссы точек пересечения графиков дают корни уравнения.
|
9. Критерии оценивания работы.
№1 а) 1 балл
б) 1 балл
в) 1 балл
г) 1 балл
д) 1 балл
№2 1-3 балла
№3 а) 1-2 балла
б) 1-2 балла
в) 1-2 балла
№4 а) 1 балл
б) 1 балл
№5 1-4 балла
ОЦЕНКА:
«5» - 16-17 баллов
«4» - 14-15 баллов
«3» - 12-13 баллов
Дополнительное задание (оценка ставится отдельно).
«5»- 4 балла
«4» - 3 балла
|
8. Таблица для рефлексии.
Я хорошо усвоил эту тему, все получается
|
Я сделал ошибки, но исправил их самостоятельно (перечисли №)
|
Я не смог исправить ошибки самостоятельно, но исправил по эталону (перечисли №)
|
Я выполнил доп.задание
|
Я допустил ошибки в доп. задании (какие)
|
Мне необходимо повторить ………….
|
Совпала ли оценка, поставленная мною после проверки с ожидаемой
|
Да
|
Нет
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа №3
Тема: «Функция у = √х. Свойства квадратного корня»
Вариант №1
Найдите значения данных выражений:
а) 0,5√0,04 +1/6 √144; б) √(0,25*64); в) √56* √126; г)(√20)/(√5); д) √(36*54)
2. Решить уравнение √(х – 2) = 1 графическим способом.
3. Упростить:
а) 10 √3 - 4 √48 - √27; б) (3 - √5)2; в) (9 – х)/(3 √х – х)
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе.
а) 2/(3 √5); б) 8/(√6 +2)
Дополнительное задание:
5. Упростить выражение:
{(√а +1)/( √а – 1) – (√а – 1)/( √а + 1) +4 √а}*{ √(а/4) – 1/( √(4а)}
Вариант №2
1. Найдите значения данных выражений:
а) 1,5√0,36 -0,5√196; б) √(0,64*25); в) √8*√18; г) (√27)/(√3); д) √(24*56)
2. Решить уравнение √х + 2 = 2х +1 графическим способом.
3. Упростить:
а) 2 √2 + √50 - 3 √18; б) (√3 + 4)2; в) (5 + √5*у)/(5-у2)
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе.
а) 1/(5 √3); б) 3/( √7 – 5)
Дополнительное задание:
5. Упростить выражение:
{(√а)/( √а + √b) +( √b)/( √a - √b) + (2 √(ab))/(a-b)}*{ √a – (√(ab) +b)/( √a + √b)}
Образцы выполнения работы
Вариант №1
|
Вариант №2
|
1. а) 2,1
б) 4
в) 84
г) 2
д) 675
|
1. а) -6,2
б) 4
в) 12
г) 3
д) 500
|
2
у = √(х - 2)
.
у =1
Ответ: х = 3
|
2.
у = √х + 2
у= 2х + 1
Ответ: х = 1
|
3. а)-9√3
б) 14 - 6√5
в) (3√х + х)/х
|
3. а)-2√2
б) 19 + 8√3
в) (√5)/( √5 –у)
|
4. а) 2√5
б) 4(√6 -2)
|
4. а) (√3)/15
Б) –(√7+5)/6
|
5. 2а
|
5. √а +√b
|
Эталоны выполнения заданий
Вариант №1
№1
|
|
а) 0,5√0,04 + 1/6√144 =
=0,5√(4/100) + 1/6√144 = 0,5 √4/√100 + 1/6√144 = 0,5* 2/10 + 1/6*12 =
= (5*2)/(10*10) + (1*12)/(6*1) = 10/100 + 12/6 =
= 0,1 + 2 = 2,1
|
1) применим свойство √(а/b) = √a/√b
2) воспользуемся таблицей квадратов
3) выполнить умножение дробей
4)сложим полученные произведения
|
б) √(0,25*64) = √0,25*√64 =
= √(25/100) * √64 = √25/ √100* √64 =
= 5/10*8 = (5*8)/(10*1) = 40/10 = 4
|
1) применим свойство √(а*b)= √a*√b
2) √(a/b)= √a/√b, a≥0, b>0
3)перемножить результаты
|
в) √56 * √126 = √(56*126) =
= √(28*2*63*2) = √(7*2*2*2*7*3*3*2) =
= √(72*32*24) = √72 * √32 *√24 =
= 7*3*√(22)2 = 7*3*4= 84
|
1) √a* √b = √(a*b)
2) разложить множители на произведение простых чисел
3) √(a*b*c) = √a*√b*√c
4) √a2 = │a│, но т.к а>0 (по условию), то √a2 = а
|
г) √20/√5 = √(20/5) = √4 = 2
|
1) √а/√b = √(a/b)
|
д) √(36*54) = √36*√54 =
= 33 * 52 = 27*25 = 675
|
1) применим свойство √(а*b)= √a*√b
2) √(a2n)=an , a≥0
|
№2
|
|
√(х – 2) = 1
В одной системе координат построй графики функций:
а) у = √(х – 2) и б) у = 1
а) у = √(х – 2), график получаем путем двойного смещения вдоль ось OX на 2 единицы вправо графика функции у = √х.
у = √х
б) у = 1 - линейная функция, графиком является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0,1).
Строим прямоугольную систему координат, перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (2,0), в которой строим график функции у = √х.
у = √(х - 2)
у =1
В первоначальной системе координат строим прямую у =1. Абсцисса точки пересечения графиков х=3 является решением уравнения .
Ответ:3
|
№3
|
|
а) 10 √3 - 4 √48 - √27 =
= 10√3 - 4√(16*3) - √(9*3) = 10√3 – 4*4√3 - 3√3 =
= 10√3 - 16√3 - 3√3 = -9√3
|
1) разложим составные подкоренные числа на множители и вынесем множитель из-под знака корня
|
б) (3 - √5)2 = 32 – 2*3*√5 +(√5) 2 =
= 9 - 6√5 + 5 = 14 - 6√5
|
1) (a ± b)= a2 ± 2ab + b2
2)( √а) 2 = а, т.к а> 0 (по условию)
|
в) (9 – х) = (3-√х)*(3 +√х) = (3 + √х) =
3 √х – х √х*(3-√х) √х
= √х*(3-√х) = √х*(3-√х) = 3 √х + х
√ х*√х х х
|
1) в числителе двучлен разложим по формуле (a - b)= a2 - 2ab + b2 ; в знаменателе вынесем общий множитель за скобки а√х -√х = √х(а - √х)
2) по основному свойству дроби, сократим дробь
3) освободим знаменатель дроби от знака корня
|
№4
|
|
а) 2 = 2√5 = 2√5 = 2√5
3√5 3√5*√5 3*5 15
|
1) по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель дроби на √5.
2) √a*√a = (√a) 2 = a
|
б) 8 = 8 * (√6 – 2) = 8 * (√6 – 2) =8 * (√6 – 2)=
√6 +2 (√6 +2)(√6 -2) (√6) 2 – (2) 2 6 - 4
=8 * (√6 – 2) = 4*(√6 – 2)
2
|
1) числитель и знаменатель дроби домножить на сопряженный множитель знаменателю.
2) в знаменателе применим формулу (a–b)(a+b)=a2-b2
3) сократим дробь на 2.
|
№5 (дополнительное задание)
|
|
  1 3 2
√a + 1 - √a - 1 + 4√a √(a/4) – 1 = 2a
√a -1 √a + 1 √(4a)
1) (√a +1) 2 – (√a-1) 2 + 4√a(a-1) = a + 2√a + 1 – a + 2√a -1 4a√a -4√a = 4a√a
(√a – 1)(√a + 1) a – 1 a – 1
2) √(a/4) – 1 = √a – 1 = a - 1
√(4a) 2 2√a 2√a
3) 4a√a * (a – 1) = 2a
(a-1)* 2√a
|
Вариант №2
№1
|
|
а) 1,5√0,36 – 0,5√196 = 1,5√(36/100) -0,5√196 =
= 1,5*0,6 – 0,5*14 =
=0,8 – 7 = -6,2
|
1) √(a/b)= √a/√b
2) воспользуемся таблицей квадратов
3) выполним действия
|
б) √(0,64*25) =√0,64*√25=
=√(64/100)* √25 = √64/√100*√25=(8*5)/(10*1) = =8/2=4
|
1) √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0
2) √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0
|
в) √8*√18=√(8*18)= √144=12
|
1) √a* √b = √(a*b), a≥0, b≥0
|
г) √27/ √3= √(27/3)= √9=3
|
1) √а/√b = √(a/b), a≥0, b>0
|
д) √(24*56) = √24 * √56 =
=22*53 = 4*125=500
|
1) √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0
2) √(a2n)=an , a≥0
|
№2
|
|
√х + 2 = 2х +1
В одной системе координат построю графики функций:
а) у = √х +2 и б) у = 2х – 1
а) у = √х +2 - график получим путем смещения по оси OY вверх на 2 единицы графика функции у = √х
б) у = 2х + 1 - линейная функция, графиком является прямая
Построим прямоугольную систему координат и перейдем к вспомогательной системе с началом в точке (0,2), в которой построим график у = √х
у = √х + 2
у= 2х + 1
у = 2
Абсцисса точки пересечения этих графиков х=1 является корнем данного уравнения.
Ответ: 1
|
№3
|
|
а) 2√2 + √50 -3√18=2√2 + √(25*2) -3√(9*2) =
= 2√2 +5√2 -9√2 = -2√2
|
1)Разложим на множители подкоренное числа и вынесем множитель из-под знака корня.
2) Приведем подобные слагаемые
|
б) (√3 + 4)2 = (√3) 2 +2√3*4 + 42 =
= 3 + 8√3 + 16= 19 +8√3
|
1) Воспользуемся формулой квадрата суммы: (a + b)= a2 + 2ab + b2
2) (√а)2 =а
|
в) 5 + √ 5у = √5 *(√5 + у) =
5 - у2 (√5 - у) (√5 + у)
= √5
√5 - у
|
1)В числителе вынести общий множитель : (k + √kx) = √k(√k +x). В знаменателе разложить на множители по формуле разности квадратов: k – x2=(√k – x)( √k+x).
|
№4
|
|
а) 1 = 1*√3 =
5√3 5√3*√3
= √3 = √3
5*3 15
|
1) числитель и знаменатель домножить на √3 ( по основному свойству дроби).
2) √a*√a = (√a) 2 = a
|
б) 3 = 3 *(√7 + 5) =
√7 – 5 (√7 - 5)*(√7 + 5)
= 3 *(√7 + 5) =
(√7)2 - (√5)2
= 3 *(√7 + 5) = - 3 *(√7 + 5) =
7 – 25 18
= -(√7 + 5)
6
|
1) Применим основное свойство дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель.
2)В знаменателе применить формулу разности квадратов (a-b)(a + b)=a2 - b2
3) (√а)2 =а, a≥0
4) Сократим дробь на 3
|
№5 (дополнительное задание)
|
|
1 3 2
 
√а + √b + 2√(ab) √a - √(ab) + b = √a +√b
√a +√b √a -√b a – b √a +√b
1) √a(√a -√b) + √b(√a +√b) +2√(ab) = a - √(ab) + √(ab) + b + 2√ab = a + 2√(ab) +b =
a – b a – b a –b
= (√a +√b)2 = √a +√b
(√a -√b)(√a +√b) √a - √b
2) √a - √(ab) + b = a +√(ab) - √(ab) – b = a – b = (√a -√b)(√a +√b) = √a -√b
√a + √b √a + √b √a + √b √a + √b
3) (√a + √b) * (√a - √b) = √a +√b
√a - √b
|
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
Цель: включить учащегося в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
|
Учитель
|
Ученики
|
- Здравствуйте ребята.
- Чему был посвящен наш прошлый урок?
- По какой теме?
- Как мы построим наш урок?
- Что вам поможет объективно оценить свою работу.
|
- Мы готовились к контрольной работе.
- Функция у = √х. Свойства квадратного корня.
- Вспомним свойства квадратного корня, алгоритм построения графиков функций
у = √(х±t) ± m, алгоритм графического способа решений уравнений, способ избавления от иррациональности в знаменателе. Напишем контрольную работу, проверим по образцу и оценим свою работу.
- Критерии оценивания работы.
|
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Цель: актуализировать знания о свойствах квадратного корня, вычисления квадратных корней, о графическом способе решения уравнений, о способе избавления от иррациональности в знаменателе; выполнить контрольную работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение, провести самооценку в соответствии с критериями.
|
- Какие свойства вы используете при нахождении значений выражений, содержащих квадратный корень, упрощение этих выражений.
1) Вычислить устно:
А) √(16*25)
Б) √(9/49)
В) √2*√18
Г) √(72/98)
Д) √(612 – 602 )
Е) √0,09
Ж) √1-√16
З) √(-36)
|
-Определение квадратного корня
- свойства квадратного корня
- вынесение множителя из-под знака корня
- формулы сокращенного умножения
- приведение подобных слагаемых
- избавление от иррациональности в знаменателе
(по мере названия правил - формулы правил вывешиваются на дополнительную доску)
А) по свойству √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0
√(16*25) = √16*√25 = 4*5=20
Б) по свойству √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0
√(9/49) = √9/√49 = 3/7
В) по свойству √a√b=√(ab), a≥0, b≥0
√2*√18=√(2*18) = √36 = 6
Г) по основному свойству дроби:
√(72/98)= √((36*2)/(49*2))= √(36/49)
По свойству корней √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0
√(36/49) = 6/7
Д) по формуле разности квадратов
(a-b)(a + b)=a2 -b2
√(612–602 )= √((61-60)(61+60)) = √(1*121)=11
Е) по свойству √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0
√0,09=√(0,01*9) = √0,01*√9 = 0,1*3 =0,3
Ж) Т.к √1=1, √16=4, то
√1-√16= 1-4=-3
З) Т.к по определению квадратного корня a≥0, то выражение √(-36) не имеет смысла (-36<0)
|
Ответы: а) 20, б)3/7, в) 6, г) 6/7, д) 11, е) 0,3, ж)-3, з) нет смысла
|
2) Упростить:
А) 5√х + 8√х -9√х
Б) √(9у) -√(25у) + 2√(4у)
В) (2+√3)(2-√3)
Г) (√3 +√6)2
|
А) Т.к у всех слагаемых одинаковая буквенная часть, то эти слагаемые подобные, следовательно:
5√х + 8√х -9√х = (5+8-9) √х = 4√х
Б) Т.к. √(9у) = √9*√у = 3√у
√(25у) = √25*√у= 5√у
2√(4у) = 2√4*√у = 2*2√у = 4√у, то
√(9у) -√(25у) + 2√(4у) = 3√у -5√у + 4√у =
(получим подобные слагаемые, следовательно)
=(3-5+4) √у = 2√у
В) По формуле разности квадратов
(a-b)(a + b)=a2 -b2
(2+√3)(2-√3)=22 – (√3)2 = 4-3=1, т.к (√а)2 =а , то
(√3)2 = 3
Г) по формуле квадрата суммы
(a + b)= a2 + 2ab + b2 и свойству квадратного корня (√а)2 =а, имеем :
(√3 +√6)2 = (√3)2 + 2√(3*6) + (√6)2=3+2√18+6=
= 9+2√(9*2)=9+2*3√2 = 9+6√2
|
Ответы: а) 4√у, б) 2√у, в) 1, г) 9+6√2
|
3) На какой множитель надо умножить дробь, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе?
А) у
√3
Б) 3
√х -2
|
А) По алгоритму избавления от иррациональности в знаменателе:
а = а √b = a*√b = a*√b
√b √b*√b (√b) 2 b
Имеем:
у √3 = у √3, следовательно надо домножить на √3 √3*√3 3
б) по алгоритму :
а = а(√х - у)
√х + у (√х + y)*(√x- y )
(домножаем на сопряженный множитель).
3 = 3(√х +2)
√х -2 (√х -2)* (√х +2)
Следовательно, надо домножить на (√х + 2)
|
Ответы: а) √3, б) √х +2
|
|
4
у=2
у=√(х+1)
) Как можно прочитать график?
|
Так как график функции у=2 и у=√(х+1) пересекаются в точке с абсциссой х=3, то можно составить уравнение: √(х+1)=2, корнем которого является число 3.
|
-Ребята, пришло время контрольной работы. Откройте задания. Внимательно прочтите текст заданий. Все понятно? Сделайте прогноз по поводу своей будущей оценки. Карандашом поставьте ее на полях тетради. После выполнения работы и самопроверки вы оцените свою работу по заданному критерию и сравните поставленную оценку с прогнозом.
Желаю успехов!
|
|
(Выполняется контрольная работа)
|
3) Самоконтроль.
Цель: сопоставить работы с образцом и зафиксировать результаты
|
- Контрольная работа окончена. Откройте образец и сравните ответы. Карандашом напротив совпавших ответов ставим ”+”, напротив не совпавших ”- ”. Оцените свою работу.
|
|
4) Самооценка
Цель: провести самооценку по заранее обоснованному критерию
|
- Поставьте оценку
|
Дети проверяют свои работы, ставят ”+” или ”?”, оценивают работу по критерию.
|
5) Рефлексия
Цель: организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности, организовать оценивание собственной деятельности на уроке; обсуждение и запись домашнего задания
|
-Ребята, поднимите руку, у кого ожидаемая оценка совпала с полученной.
-Какую цель вы ставили перед контрольной работой? Достигли ли вы этой цели? Если нет, то почему?
-Какую цель вы ставили перед собой в начале урока и достигли ли вы ее?
-Проанализируйте свою деятельность и знания по теме «Функция у = √х. Свойства квадратного корня». Результат занесите в таблицу «Рефлексия»(раздается с помощью ассистентов).
-Домашнее задание:
«5» - №758(а), № 756(а)
«4» - №681(а), №682(а), №692(а), № 693 (а)
«3» - №636-642(а), №594(в,г)
- Если вы с контрольной работой не справились – взять соседний вариант.
|
-Хорошо справиться с заданиями в контрольной работе. Если цели не достигли, то могут быть варианты ответов:
А) не правильно применил правила и алгоритмы
Б) вычислительная ошибка
В) невнимательность
- Проконтролировать свои знания и умения по данной теме; закрепить навыки самоконтроля и самооценки. Цель достигнута.
|
6)Согласование оценок
Цель: познакомить с проверенной работой; организовать выражение учеником собственного мнения
|
-Прошу сдать тетради для проверки. На консультации вы сможете ознакомиться с моей проверкой, выяснить вопросы и высказать свое мнение по поводу соответствия моей оценки и вашей.
-До свидания, желаю удачи!
|
|
