Конспект урока алгебры в 8 классе Учебник: «Алгебра-8», автор А.Г. Мордкович Урок: №50 Тип урока: ОК Тема: «Функция y=√x. Свойства квадратного корня»
Учитель: Ермоленко В. В. МОУ средняя школа №52
Ярославль, 2007 г.
Основные цели: Сформировать способность учащегося к осуществлению контроля. Продолжить формирование способности учащихся к выявлению причин затруднений собственной деятельности. Контроль знаний, умений, навыков по теме: «Функция у = √х. Свойства квадратного корня».
Оборудование, демонстрационный материал. 1. Определение квадратного корня. √а = b, если b2 =a, a≥0, b≥0
| 2. Свойства квадратного корня. √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0 √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0 √(a2n)=an , a≥0 √a2=│a│ (√a)2 =a | 3. Формулы сокращенного умножения: (a-b)(a + b)=a2 -b2 разность квадрата (a ± b)= a2 ± 2ab + b2 квадрат суммы/разности | 5. Таблица квадратов двузначных чисел. | 4. Алгоритм построения графика функции y = √(x + t)+m 1. Построить вспомогательную систему координат (пунктиром), выбрав за начало координатную точку (-l,m). 2. К новой системе координат привязать график функции y = f(x).
| 6. Освобождение от иррациональности в знаменателе. а) k = k*√a = k *√a = k*√a √a √a*√a (√a) 2 a б) k = k(√a +√b) = k(√a +√b) √a - √b (√a - √b)*(√a + √b ) a - b в) k = k(√a -√b) = k(√a -√b) √a + √b (√a + √b)*(√a - √b ) a - b
| 7. Алгоритм графического способа решения уравнений: Рассмотреть функции y1 и y2, которые выражаются левой и правой частью уравнения. В одной системе координат построить графики функций y1 и y2. Определить координаты точек пересечения графиков Абсциссы точек пересечения графиков дают корни уравнения.
| 9. Критерии оценивания работы. №1 а) 1 балл б) 1 балл в) 1 балл г) 1 балл д) 1 балл №2 1-3 балла №3 а) 1-2 балла б) 1-2 балла в) 1-2 балла №4 а) 1 балл б) 1 балл №5 1-4 балла ОЦЕНКА: «5» - 16-17 баллов «4» - 14-15 баллов «3» - 12-13 баллов Дополнительное задание (оценка ставится отдельно). «5»- 4 балла «4» - 3 балла | 8. Таблица для рефлексии.
Я хорошо усвоил эту тему, все получается | Я сделал ошибки, но исправил их самостоятельно (перечисли №) | Я не смог исправить ошибки самостоятельно, но исправил по эталону (перечисли №) | Я выполнил доп.задание | Я допустил ошибки в доп. задании (какие) | Мне необходимо повторить …………. | Совпала ли оценка, поставленная мною после проверки с ожидаемой | Да | Нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа №3 Тема: «Функция у = √х. Свойства квадратного корня»
Вариант №1
Найдите значения данных выражений: а) 0,5√0,04 +1/6 √144; б) √(0,25*64); в) √56* √126; г)(√20)/(√5); д) √(36*54) 2. Решить уравнение √(х – 2) = 1 графическим способом. 3. Упростить: а) 10 √3 - 4 √48 - √27; б) (3 - √5)2; в) (9 – х)/(3 √х – х) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе. а) 2/(3 √5); б) 8/(√6 +2) Дополнительное задание: 5. Упростить выражение: {(√а +1)/( √а – 1) – (√а – 1)/( √а + 1) +4 √а}*{ √(а/4) – 1/( √(4а)}
Вариант №2
1. Найдите значения данных выражений: а) 1,5√0,36 -0,5√196; б) √(0,64*25); в) √8*√18; г) (√27)/(√3); д) √(24*56) 2. Решить уравнение √х + 2 = 2х +1 графическим способом. 3. Упростить: а) 2 √2 + √50 - 3 √18; б) (√3 + 4)2; в) (5 + √5*у)/(5-у2) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе. а) 1/(5 √3); б) 3/( √7 – 5) Дополнительное задание: 5. Упростить выражение: {(√а)/( √а + √b) +( √b)/( √a - √b) + (2 √(ab))/(a-b)}*{ √a – (√(ab) +b)/( √a + √b)}
Образцы выполнения работы
Вариант №1 | Вариант №2 | 1. а) 2,1 б) 4 в) 84 г) 2 д) 675 | 1. а) -6,2 б) 4 в) 12 г) 3 д) 500 | 2 у = √(х - 2) .

у =1
Ответ: х = 3 | 2.

у = √х + 2 у= 2х + 1
Ответ: х = 1
| 3. а)-9√3 б) 14 - 6√5 в) (3√х + х)/х | 3. а)-2√2 б) 19 + 8√3 в) (√5)/( √5 –у) | 4. а) 2√5 б) 4(√6 -2) | 4. а) (√3)/15 Б) –(√7+5)/6 | 5. 2а | 5. √а +√b |
Эталоны выполнения заданий
Вариант №1 №1 |
| а) 0,5√0,04 + 1/6√144 = =0,5√(4/100) + 1/6√144 = 0,5 √4/√100 + 1/6√144 = 0,5* 2/10 + 1/6*12 = = (5*2)/(10*10) + (1*12)/(6*1) = 10/100 + 12/6 = = 0,1 + 2 = 2,1 | 1) применим свойство √(а/b) = √a/√b 2) воспользуемся таблицей квадратов 3) выполнить умножение дробей 4)сложим полученные произведения | б) √(0,25*64) = √0,25*√64 = = √(25/100) * √64 = √25/ √100* √64 = = 5/10*8 = (5*8)/(10*1) = 40/10 = 4 | 1) применим свойство √(а*b)= √a*√b 2) √(a/b)= √a/√b, a≥0, b>0 3)перемножить результаты | в) √56 * √126 = √(56*126) = = √(28*2*63*2) = √(7*2*2*2*7*3*3*2) =
= √(72*32*24) = √72 * √32 *√24 = = 7*3*√(22)2 = 7*3*4= 84 | 1) √a* √b = √(a*b) 2) разложить множители на произведение простых чисел 3) √(a*b*c) = √a*√b*√c 4) √a2 = │a│, но т.к а>0 (по условию), то √a2 = а | г) √20/√5 = √(20/5) = √4 = 2 | 1) √а/√b = √(a/b) | д) √(36*54) = √36*√54 = = 33 * 52 = 27*25 = 675 | 1) применим свойство √(а*b)= √a*√b 2) √(a2n)=an , a≥0 | №2 |
| √(х – 2) = 1 В одной системе координат построй графики функций: а) у = √(х – 2) и б) у = 1 а) у = √(х – 2), график получаем путем двойного смещения вдоль ось OX на 2 единицы вправо графика функции у = √х. у = √х б) у = 1 - линейная функция, графиком является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0,1). Строим прямоугольную систему координат, перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (2,0), в которой строим график функции у = √х. у = √(х - 2) у =1
В первоначальной системе координат строим прямую у =1. Абсцисса точки пересечения графиков х=3 является решением уравнения . Ответ:3
| №3 |
| а) 10 √3 - 4 √48 - √27 = = 10√3 - 4√(16*3) - √(9*3) = 10√3 – 4*4√3 - 3√3 = = 10√3 - 16√3 - 3√3 = -9√3 | 1) разложим составные подкоренные числа на множители и вынесем множитель из-под знака корня | б) (3 - √5)2 = 32 – 2*3*√5 +(√5) 2 = = 9 - 6√5 + 5 = 14 - 6√5 | 1) (a ± b)= a2 ± 2ab + b2 2)( √а) 2 = а, т.к а> 0 (по условию) | в) (9 – х) = (3-√х)*(3 +√х) = (3 + √х) = 3 √х – х √х*(3-√х) √х = √х*(3-√х) = √х*(3-√х) = 3 √х + х √ х*√х х х
| 1) в числителе двучлен разложим по формуле (a - b)= a2 - 2ab + b2 ; в знаменателе вынесем общий множитель за скобки а√х -√х = √х(а - √х) 2) по основному свойству дроби, сократим дробь 3) освободим знаменатель дроби от знака корня | №4 |
| а) 2 = 2√5 = 2√5 = 2√5 3√5 3√5*√5 3*5 15 | 1) по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель дроби на √5. 2) √a*√a = (√a) 2 = a | б) 8 = 8 * (√6 – 2) = 8 * (√6 – 2) =8 * (√6 – 2)= √6 +2 (√6 +2)(√6 -2) (√6) 2 – (2) 2 6 - 4
=8 * (√6 – 2) = 4*(√6 – 2) 2
| 1) числитель и знаменатель дроби домножить на сопряженный множитель знаменателю. 2) в знаменателе применим формулу (a–b)(a+b)=a2-b2 3) сократим дробь на 2.
| №5 (дополнительное задание) |
|
 1 3 2 √a + 1 - √a - 1 + 4√a √(a/4) – 1 = 2a √a -1 √a + 1 √(4a)
1) (√a +1) 2 – (√a-1) 2 + 4√a(a-1) = a + 2√a + 1 – a + 2√a -1 4a√a -4√a = 4a√a (√a – 1)(√a + 1) a – 1 a – 1 2) √(a/4) – 1 = √a – 1 = a - 1 √(4a) 2 2√a 2√a 3) 4a√a * (a – 1) = 2a (a-1)* 2√a
|
Вариант №2 №1 |
| а) 1,5√0,36 – 0,5√196 = 1,5√(36/100) -0,5√196 = = 1,5*0,6 – 0,5*14 = =0,8 – 7 = -6,2 | 1) √(a/b)= √a/√b 2) воспользуемся таблицей квадратов 3) выполним действия | б) √(0,64*25) =√0,64*√25= =√(64/100)* √25 = √64/√100*√25=(8*5)/(10*1) = =8/2=4 | 1) √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0 2) √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0 | в) √8*√18=√(8*18)= √144=12 | 1) √a* √b = √(a*b), a≥0, b≥0 | г) √27/ √3= √(27/3)= √9=3 | 1) √а/√b = √(a/b), a≥0, b>0 | д) √(24*56) = √24 * √56 = =22*53 = 4*125=500 | 1) √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0 2) √(a2n)=an , a≥0 | №2 |
| √х + 2 = 2х +1 В одной системе координат построю графики функций: а) у = √х +2 и б) у = 2х – 1 а) у = √х +2 - график получим путем смещения по оси OY вверх на 2 единицы графика функции у = √х б) у = 2х + 1 - линейная функция, графиком является прямая Построим прямоугольную систему координат и перейдем к вспомогательной системе с началом в точке (0,2), в которой построим график у = √х у = √х + 2 у= 2х + 1 у = 2 Абсцисса точки пересечения этих графиков х=1 является корнем данного уравнения. Ответ: 1
| №3 |
| а) 2√2 + √50 -3√18=2√2 + √(25*2) -3√(9*2) = = 2√2 +5√2 -9√2 = -2√2 | 1)Разложим на множители подкоренное числа и вынесем множитель из-под знака корня. 2) Приведем подобные слагаемые | б) (√3 + 4)2 = (√3) 2 +2√3*4 + 42 = = 3 + 8√3 + 16= 19 +8√3 | 1) Воспользуемся формулой квадрата суммы: (a + b)= a2 + 2ab + b2 2) (√а)2 =а | в) 5 + √ 5у = √5 *(√5 + у) = 5 - у2 (√5 - у) (√5 + у) = √5 √5 - у | 1)В числителе вынести общий множитель : (k + √kx) = √k(√k +x). В знаменателе разложить на множители по формуле разности квадратов: k – x2=(√k – x)( √k+x).
| №4 |
| а) 1 = 1*√3 = 5√3 5√3*√3 = √3 = √3 5*3 15 | 1) числитель и знаменатель домножить на √3 ( по основному свойству дроби). 2) √a*√a = (√a) 2 = a | б) 3 = 3 *(√7 + 5) = √7 – 5 (√7 - 5)*(√7 + 5) = 3 *(√7 + 5) = (√7)2 - (√5)2 = 3 *(√7 + 5) = - 3 *(√7 + 5) = 7 – 25 18 = -(√7 + 5) 6 | 1) Применим основное свойство дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель. 2)В знаменателе применить формулу разности квадратов (a-b)(a + b)=a2 - b2 3) (√а)2 =а, a≥0 4) Сократим дробь на 3 | №5 (дополнительное задание) |
| 1 3 2
  √а + √b + 2√(ab) √a - √(ab) + b = √a +√b √a +√b √a -√b a – b √a +√b
1) √a(√a -√b) + √b(√a +√b) +2√(ab) = a - √(ab) + √(ab) + b + 2√ab = a + 2√(ab) +b = a – b a – b a –b = (√a +√b)2 = √a +√b (√a -√b)(√a +√b) √a - √b 2) √a - √(ab) + b = a +√(ab) - √(ab) – b = a – b = (√a -√b)(√a +√b) = √a -√b √a + √b √a + √b √a + √b √a + √b 3) (√a + √b) * (√a - √b) = √a +√b √a - √b |
Ход урока 1. Мотивация к учебной деятельности. Цель: включить учащегося в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока. | Учитель | Ученики | - Здравствуйте ребята. - Чему был посвящен наш прошлый урок? - По какой теме?
- Как мы построим наш урок?
- Что вам поможет объективно оценить свою работу. |
- Мы готовились к контрольной работе. - Функция у = √х. Свойства квадратного корня. - Вспомним свойства квадратного корня, алгоритм построения графиков функций у = √(х±t) ± m, алгоритм графического способа решений уравнений, способ избавления от иррациональности в знаменателе. Напишем контрольную работу, проверим по образцу и оценим свою работу. - Критерии оценивания работы. | 2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности. Цель: актуализировать знания о свойствах квадратного корня, вычисления квадратных корней, о графическом способе решения уравнений, о способе избавления от иррациональности в знаменателе; выполнить контрольную работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение, провести самооценку в соответствии с критериями. | - Какие свойства вы используете при нахождении значений выражений, содержащих квадратный корень, упрощение этих выражений.
1) Вычислить устно: А) √(16*25)
Б) √(9/49)
В) √2*√18
Г) √(72/98)
Д) √(612 – 602 )
Е) √0,09
Ж) √1-√16
З) √(-36) | -Определение квадратного корня - свойства квадратного корня - вынесение множителя из-под знака корня - формулы сокращенного умножения - приведение подобных слагаемых - избавление от иррациональности в знаменателе (по мере названия правил - формулы правил вывешиваются на дополнительную доску)
А) по свойству √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0 √(16*25) = √16*√25 = 4*5=20 Б) по свойству √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0 √(9/49) = √9/√49 = 3/7 В) по свойству √a√b=√(ab), a≥0, b≥0 √2*√18=√(2*18) = √36 = 6 Г) по основному свойству дроби: √(72/98)= √((36*2)/(49*2))= √(36/49) По свойству корней √(a/b)= √a/ √b, a≥0, b>0 √(36/49) = 6/7 Д) по формуле разности квадратов (a-b)(a + b)=a2 -b2 √(612–602 )= √((61-60)(61+60)) = √(1*121)=11 Е) по свойству √(ab)= √a√b, a≥0, b≥0 √0,09=√(0,01*9) = √0,01*√9 = 0,1*3 =0,3 Ж) Т.к √1=1, √16=4, то √1-√16= 1-4=-3 З) Т.к по определению квадратного корня a≥0, то выражение √(-36) не имеет смысла (-36<0) | Ответы: а) 20, б)3/7, в) 6, г) 6/7, д) 11, е) 0,3, ж)-3, з) нет смысла | 2) Упростить: А) 5√х + 8√х -9√х
Б) √(9у) -√(25у) + 2√(4у)
В) (2+√3)(2-√3)
Г) (√3 +√6)2 |
А) Т.к у всех слагаемых одинаковая буквенная часть, то эти слагаемые подобные, следовательно: 5√х + 8√х -9√х = (5+8-9) √х = 4√х Б) Т.к. √(9у) = √9*√у = 3√у √(25у) = √25*√у= 5√у 2√(4у) = 2√4*√у = 2*2√у = 4√у, то √(9у) -√(25у) + 2√(4у) = 3√у -5√у + 4√у = (получим подобные слагаемые, следовательно) =(3-5+4) √у = 2√у В) По формуле разности квадратов (a-b)(a + b)=a2 -b2 (2+√3)(2-√3)=22 – (√3)2 = 4-3=1, т.к (√а)2 =а , то (√3)2 = 3 Г) по формуле квадрата суммы (a + b)= a2 + 2ab + b2 и свойству квадратного корня (√а)2 =а, имеем : (√3 +√6)2 = (√3)2 + 2√(3*6) + (√6)2=3+2√18+6= = 9+2√(9*2)=9+2*3√2 = 9+6√2 | Ответы: а) 4√у, б) 2√у, в) 1, г) 9+6√2 | 3) На какой множитель надо умножить дробь, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе? А) у √3
Б) 3 √х -2
|
А) По алгоритму избавления от иррациональности в знаменателе: а = а √b = a*√b = a*√b √b √b*√b (√b) 2 b Имеем: у √3 = у √3, следовательно надо домножить на √3 √3*√3 3 б) по алгоритму : а = а(√х - у) √х + у (√х + y)*(√x- y ) (домножаем на сопряженный множитель). 3 = 3(√х +2) √х -2 (√х -2)* (√х +2) Следовательно, надо домножить на (√х + 2) | Ответы: а) √3, б) √х +2 |
| 4 у=2 у=√(х+1) ) Как можно прочитать график? | Так как график функции у=2 и у=√(х+1) пересекаются в точке с абсциссой х=3, то можно составить уравнение: √(х+1)=2, корнем которого является число 3.
| -Ребята, пришло время контрольной работы. Откройте задания. Внимательно прочтите текст заданий. Все понятно? Сделайте прогноз по поводу своей будущей оценки. Карандашом поставьте ее на полях тетради. После выполнения работы и самопроверки вы оцените свою работу по заданному критерию и сравните поставленную оценку с прогнозом. Желаю успехов! |
| (Выполняется контрольная работа) | 3) Самоконтроль. Цель: сопоставить работы с образцом и зафиксировать результаты | - Контрольная работа окончена. Откройте образец и сравните ответы. Карандашом напротив совпавших ответов ставим ”+”, напротив не совпавших ”- ”. Оцените свою работу. |
| 4) Самооценка Цель: провести самооценку по заранее обоснованному критерию | - Поставьте оценку | Дети проверяют свои работы, ставят ”+” или ”?”, оценивают работу по критерию. | 5) Рефлексия Цель: организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности, организовать оценивание собственной деятельности на уроке; обсуждение и запись домашнего задания | -Ребята, поднимите руку, у кого ожидаемая оценка совпала с полученной. -Какую цель вы ставили перед контрольной работой? Достигли ли вы этой цели? Если нет, то почему?
-Какую цель вы ставили перед собой в начале урока и достигли ли вы ее?
-Проанализируйте свою деятельность и знания по теме «Функция у = √х. Свойства квадратного корня». Результат занесите в таблицу «Рефлексия»(раздается с помощью ассистентов). -Домашнее задание: «5» - №758(а), № 756(а) «4» - №681(а), №682(а), №692(а), № 693 (а) «3» - №636-642(а), №594(в,г) - Если вы с контрольной работой не справились – взять соседний вариант. |
-Хорошо справиться с заданиями в контрольной работе. Если цели не достигли, то могут быть варианты ответов: А) не правильно применил правила и алгоритмы Б) вычислительная ошибка В) невнимательность - Проконтролировать свои знания и умения по данной теме; закрепить навыки самоконтроля и самооценки. Цель достигнута.
| 6)Согласование оценок Цель: познакомить с проверенной работой; организовать выражение учеником собственного мнения | -Прошу сдать тетради для проверки. На консультации вы сможете ознакомиться с моей проверкой, выяснить вопросы и высказать свое мнение по поводу соответствия моей оценки и вашей. -До свидания, желаю удачи! |
|