Аналитическая геометрия на плоскости

Скачать 137.77 Kb.

Название	Аналитическая геометрия на плоскости
Дата	16.10.2012
Размер	137.77 Kb.
Тип	Программа курса

Министерство науки и образования Российской Федерации

Горно-Алтайский государственный университет

________________________________________________________

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Горно-Алтайск

2004

Разработчик программы: к. п. н., доцент кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики ГАГУ	Темербекова А.А.
Заведующий обеспечивающей кафедры: к. ф.-м. н., доцент ГАГУ	Деев М.Е.
Факультет	Физико-математический
Обеспечивающая кафедра	Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики
Курс	I
Семестр	1

Объяснительная записка

Программа курса «Аналитическая геометрия на плоскости» (1 семестр) предусматривает: лекций - 36 ч ,практических занятий - 36 ч.

Программа содержит основные темы по аналитической геометрии на плоскости.

В разделе «Элементы векторной алгебры рассматриваются основные понятия, связанные с понятием вектора, признаки коллинеарности, компланарности векторов, операции над векторами. Здесь вводится понятие ортонормированного базиса. Присутствуют задачи на вычисление длины вектора, угла между векторами и др.

Метод координат на плоскости представлен вторым разделом. Элементы векторной алгебры рассматриваются с геометрической точки зрения: длина, деление отрезка в заданном отношении, метрические задачи на вычисление сторон геометрических фигур.

Изучая прямую линию, рассматриваются различные способы задания и уравнения линий, взаимное расположение прямых на плоскости, относительно системы координат.

Кривые второго порядка представлены основными кривыми (эллипс, гипербола, парабола и др.). Рассматриваются алгоритм приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

В разделе отображения и преобразование плоскости проводится классификация движений плоскости, рассматриваются аффинные преобразования.

Учебная программа

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Векторы. Операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Длина вектора.

2. Линейная зависимость векторов. Коллинеарность и компланарность векторов. Признаки коллинеарности и компланарности векторов.

Базис. Координаты вектора в базисе. Ортонормированный базис. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Применение векторов к решению задач.

II. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

4. Аффинная система координат. Преобразование аффинной системы координат. Деление отрезка в данном отношении.

5. Ориентация плоскости. Ориентированный угол на плоскости. Прямоугольная декартова система координат. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат.

6. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Полярные координаты. Обобщенные полярные координаты. Уравнение линии в полярных координатах.

III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

7. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания и виды уравнений прямой. Общее уравнение прямой. Пучок прямых. Особенности расположения прямой относительно системы координат.

8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Алгоритм исследования взаимного расположения двух прямых. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.

IV. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

9. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Геометрические свойства. Построение.

10. Парабола. Геометрические свойства параболы. Построение параболы. Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах.

11. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Асимптоты. Центр и диаметр кривой второго порядка.

12. Касательная к линии второго порядка. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления. Главные направления. Главные диаметры.

13. Классификация линий второго порядка. Приведение линии второго порядка к каноническому виду.

V. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

14. Отображение и преобразование множеств. Группа преобразований множества и ее подгруппы.

15. Движения плоскости. Два вида движений. Аналитическое выражение движения. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы.

16. Аффинные преобразования. Перспективно-аффинное преобразование. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.

Учебно-дидактический материал к курсу

Самостоятельная работа № 1

Тема: Элементы векторной алгебры в пространстве.

Метод координат на плоскости.

Вариант 1

Составьте формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R’, где R=(A,e₁=,e₂=), R’=(O,e’₁=, e’₂=), где М - середина стороны АВ треугольника АВС, точка О - точка пересечения медиан треугольника.

2. Найдите координаты вектора p = m - n + 3k , если m = ( -1;2), n = (0;1), k = (1;2).

3. Постройте в полярной системе координат точки А(-5;/2); B(8;5/6); С(3;7/6). Вычислите расстояния АВ, ВС, АС. Проверьте, правильный ли треугольник ?

4. Точка К делит медиану АМ треугольника АВС в отношении 3:1, считая от вершины. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС ?

Вариант 2

1. Составьте формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R’, где R=(A, e₁=

, e₂=

), R’={O,e’₁=

, e’₂=

), где О - середина стороны АВ треугольника АВС, точка К - точка пересечения медиан треугольника.

Найдите координаты вектора s = 4m + s + 3l, если m = (2; -1), s = (1; 0), l = (-1; 3).

3. Постройте в полярной системе координат точки А(5;-/6); В(5/2;2/3); С(-3;/4). Вычислите расстояния АВ, ВС, АС. Проверьте, правильный ли треугольник ?

4. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Найдите отношение площади треугольника с вершинами в этих точках к площади исходного треугольника.

Контрольная работа № 1

Тема: Прямая линия на плоскости.

Вариант 1

1. Дан треугольник АВС с вершинами А(1,-2), В(3,2), С(-1, 4). Составьте уравнение высоты BH, медианы СМ, биссектрисы AL, прямой k // АС, проходящей через вершину В.

2. Составьте уравнение окружности, вписанной в квадрат со стороной 3x + y = 0 и вершинами А(3,5) и С(1, -3).

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и составляющей с прямой 3x + y + 5 = 0 угол 45⁰.

4. В квадрате АСВD известны уравнения двух сторон x - 2 = 0, x + y + 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей P(4, 5). Найдите уравнения двух других сторон квадрата и диагоналей.

Вариант 2

1. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент k =

; б) проходящей через точку А(2,1) и имеющей угловой коэффициент k = 3; в) отсекающей на оси ординат отрезок b = 2 и имеющей k =

Составьте уравнение окружности радиуса r = 5, касающейся прямых, заданных уравнениями 3x + 4y - 10 = 0, 5x - 12y + 26 = 0.
Дана прямая 2x - y + 1 = 0. Напишите уравнение прямой, симметричной этой прямой относительно начала координат.
Высота BD равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию, лежит на прямой, заданной уравнением 3x - y + 5 = 0. Напишите уравнения прямых АВ и ВС, если А(4,3), В(-1,2).

Контрольная работа № 2

Тема: Эллипс, гипербола, парабола. Касательные кривых

второго порядка. Асимптоты. Директрисы.

Вариант 1

Составьте уравнение эллипса, зная, что длина его большей оси равна 3, а фокусами являются точки F₁(-,0) и F₂(,0).
Составьте каноническое уравнение параболы, если известно, что расстояние от фокуса, лежащего на оси Ox до вершины равно 4.
Составьте каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10.
Составьте уравнения касательных к гиперболе x² - y² = 16, проведенных из точки А(-1,-7).
Напишите уравнения касательных к кривой 3x² - y² = 3 в точке с абсциссой x₀= 2.
Составьте каноническое уравнение гиперболы, если гипербола имеет асимптоты и директрисы .

Вариант 2

Составьте каноническое уравнение параболы, если ее фокус имеет координаты (8,0).
Составьте каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет , а длина малой полуоси равна 2.
Составьте каноническое уравнение гиперболы, если гипербола проходит через точки А(4,0), В().
Дан эллипс . Вычислите расстояние от концов большой оси до одной из директрис.
Составьте уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот и одну из ее точек М(12,).
Напишите уравнения касательных к эллипсу x²+ 2y² = 8, проведенных из точки М(0,6).

Вопросы к экзамену

1. Понятие вектора. Различные подходы к понятию вектора. Длина вектора. Признак равенства векторов.

2. Сложение векторов. Определение, свойства сложения векторов.

3. Вычитание векторов. Определение. Свойства.

4. Умножение вектора на число. Свойства.

5. Коллинеарные векторы. Признак коллинеарности векторов.

6. Компланарные векторы. Линейная зависимость векторов. Признак линейной зависимости системы векторов.

7. Базис векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Свойства координат векторов.

8. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Ортонормированный базис.

9. Аффинная система координат на плоскости. Координаты точек на плоскости. Прямоугольная система координат.

10. Преобразование координат точек при переходе от одной системы координат к другой.

11. Деление отрезка в данном отношении.

12. Ориентация плоскости. Угол между векторами на ориентированной плоскости.

13. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами.

14. Полярная система координат. Расстояние между точками. Уравнение линии в полярной системе координат.

15. Прямая линия. Пучок прямых.

16. Уравнение прямой на плоскости. Аналитическая запись и геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой.

17. Общее уравнение прямой. Особенности расположения прямой относительно системы координат.

18. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

19. Расстояние от точки до прямой (вывод формулы).

20. Угол между двумя прямыми.

21. Эллипс. Определение. Геометрические свойства. Каноническое уравнение. Построение эллипса.

22. Гипербола. Определение. Геометрические свойства. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы.

23. Парабола. Определение. Геометрические свойства. Каноническое уравнение. Построение параболы.

24. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

25. Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах.

26. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

27. Асимптотические направления и асимптоты кривых второго порядка.

28. Центр линии второго порядка. Теорема о центре линии второго порядка.

29. Исследование кривых второго порядка на существование центра. Центральные и нецентральные линии.

30. Касательная к линии второго порядка. Свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе.

31. Геометрические свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе. Построение касательных.

32. Теорема о касательной к линии второго порядка.

33. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные диаметры. Главные диаметры.

34. Классификация линий второго порядка.

35. Отображение и преобразование множеств. Примеры.

36. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований.

37. Движения плоскости. Свойства. Примеры. Ориентация плоскости. Два вида движений.

38. Движения плоскости. Теорема о задании движения парой реперов.

39. Аналитическое задание движения. Свойства движений. Канонические формулы движений.

40. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы.

Литература

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. - Ч. I.- Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1986. - 336 с.: ил.
Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. I. - М.: Просвещение, 1974. - 351 с.: ил.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I. - М.: Просвещение, 1973.- 256 с.
Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия: Учеб. пособие. - Мн.: Выш. шк., 1989. - 288 с.: ил.
Задачник - практикум по геометрии / Б.И.Аргунов, И.В.Парнасский, О.Е.Парнасская, М.М.Цаленко. Под ред. О.А.Павлович. - Ч. II. МГЗПИ. - М.: Просвещение, 1978. - 93 с.: ил.
Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.Т.Базылев, К.И.Дуничев, В.П.Иваницкая и др.; Под ред. В.Т.Базылева. - М.: Просвещение, 1980. - 238 с.:ил.
Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А.А. Бурдун, Е.А. Мурашко, М.М. Толкачев, А.С. Феденко; Под ред. А.С. Феденко. - Минск.: Изд-во Университетское, 1989. - 286 с.: ил.
Юхтина Т.И., Темербекова А.А. Геометрический практикум по аналитической геометрии в пространстве. Ч. I. - Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 1995. - 73 с.
Деев М.Е. Методические рекомендации и варианты домашних заданий по геометрии - Горно-Алтайск: Изд-во ГАГУ, 1988. - 39 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1964. - 872 с.: ил.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1978. - 208 с.: ил.
Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. Краткий курс аналитической геометрии. - Томск: Изд-во ТГУ. - 1964. - 381 с.: ил.
Силаев Е.В., Тимошенко В.В. Практические занятия по геометрии / Под ред. Л.С.Атанасяна. - М.: МГПИ им. В.И.Ленина. - 1988. - 150 с.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учеб. пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.: ил.
Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В.Н. Задачник-практикум по геометрии. - Ч. I. - М.: Изд-во МГЗПИ - 1979. - 127 с.: ил.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч. I. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. - СПб.: «Специальная литература», 1997. - 352 с.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч. II. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. - СПб.: «Специальная литература», 1997. - 320 с.

	Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «Компьютерная геометрия и графика» Математика: Алгебра: основные алгебраические структуры, векторные пространства и линейные отображения, булевы алгебры. Геометрия:...		Курс, 1 семестр На самостоятельное изучение по дисциплине «Аналитическая геометрия» выносятся следующие темы: Тема №1 Тема № Аффинное n-мерное пространство. Аффинная система координат на плоскости и в 3-х-мерном аффинном пространстве
	Программа дисциплины аналитическая геометрия Цикл ен. Ф. Специальность : 010400 Физика Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия" предназначена для студентов 1 курса		Программа проведения аттестационных испытаний при поступлении на второй и последующие курсы по специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)» Алгебра и геометрия: алгебраические структуры, векторные пространства, линейные отображения; аналитическая геометрия, многомерная...
	Программа дисциплины аналитическая геометрия и линейная алгебра Цикл ен. Ф специальность: 013800 Радиофизика и электроника (вечернее отделение) Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса		План Проективная геометрия Аксиоматика Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии...
	Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Профиль подготовки: аналитическая химия, неорганическая химия, органическая и биоорганическая химия		Тики ● Вся элементарная математика Средняя математическая Интернет-школа. Темы: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и...
	Точные и Естественные науки Математическая физика, Алгебра. Теория чисел, Геометрия. Теория групп. Группы и алгебры Ли. Топология, Классические труды по математике,...		Аналитическая геометрия ...

Аналитическая геометрия на плоскости

Похожие: