Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики




Скачать 171.51 Kb.
НазваниеПрименение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики
страница1/4
Дата30.09.2012
Размер171.51 Kb.
ТипЛитература
  1   2   3   4


РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Ордена Ленина Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша


М.П. Галанин, Е.В. Грищенко, Е.Б. Савенков, С.А. Токарева


Применение RKDG метода для численного решения

задач газовой динамики


Москва - 2006


Аннотация


Работа посвящена тестированию RKDG метода для численного решения задач газовой динамики, а также его сравнению с другими известными схемами. Сравнительный анализ проведен между различными вариантами RKDG метода, а также с конечно-объемными схемами годуновского типа (методы Лакса - Фридрихса, КИР, HLL и HLLC). Проведенные расчеты позволяют оценить качество различных схем. RKDG метод имеет более высокий порядок аппроксимации, за счет чего обеспечивается лучшее качество решения.


M.P. Galanin, E.V. Grishenko, E.B. Savenkov, S.A. Tokareva

Application of Runge - Kutta Discontinuous Galerkin Method for the Numerical Solution of Gas Dynamics Problems

Abstract


The paper is dedicated to the testing of RKDG method for gas dynamics and to the comparison of this method with other well-known methods. The comparative analysis was carried out between different variants of RKDG method as well as finite-volume Godunov type schemes (Lax - Friedrichs, CIR, HLL and HLLC). The computations allow to estimate the quality of different schemes. RKDG method has a higher order of approximation, which leads to better quality of the solution.


Содержание



Введение 3

§ 1. RKDG метод для многомерных систем уравнений 3

§ 2. Система уравнений газовой динамики 8

§ 3. Тестовая задача 1: течение газа в канале со ступенькой 10

§ 4. Образование вихрей 19

§ 5. Тестовая задача 2: распространение ударной волны в канале клинообразной формы 23

Заключение 30

Литература 31

Введение



В настоящей работе исследовано применение RKDG [1, 2] метода для решения задач газовой динамики, проведен сравнительный анализ метода с другими известными методами такими, как метод Куранта - Изаксона - Риса (КИР), метод Лакса - Фридрихса и методы типа Хартена - Лакса - ван Лира (HLL и HLLC) [3]. Одним из главных требований, предъявляемых к качеству применяемых к решению задач газовой динамики методов, является правильность воспроизведения решения в областях, где оно претерпевает сильные изменения во времени и пространстве. Решения такого типа и использованы в данной работе для проверки методов.

Авторы выражают искреннюю благодарность Н.И. Сидняеву за интерес, внимание и помощь в работе.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ № 06-01-00421).

§ 1. RKDG метод для многомерных систем уравнений



Рассмотрим схему RKDG (Runge - Kutta Discontinuous Galerkin) метода [1, 2] для многомерной системы уравнений

(1.1)

с соответствующими граничными условиями.

Так как RKDG метод для систем применяется покомпонентно к каждому уравнению системы, то достаточно рассмотреть схему метода для случая скалярной функции .

Пусть – правильное разбиение области . Введем конечномерное пространство . Умножим уравнения (1.1) на произвольную функцию и проинтегрируем по элементу из разбиения . Точное решение заменяем приближенным . После интегрирования по частям получим



где – внешняя единичная нормаль к ребру . Заметим, что величина , вообще говоря, может быть разрывна при . Поэтому, как и в одномерном случае, эту величину следует заменить функцией , зависящей от значений приближенного решения по обе стороны ребра, где – произвольная функция монотонного численного потока, соответствующая . В качестве численного потока может быть использован поток HLLC, Лакса - Фридрихса и другие [3]. Они определяются из приближенного решения задачи Римана (если используемый численный поток – годуновского типа) или каким либо другим способом [4].

Таким образом получаем



Интегралы в последнем уравнении заменяем квадратурными формулами нужного порядка.

Рассмотрим далее двумерную задачу. Введем в области треугольную сетку. Рассмотрим на каждом из треугольников систему базисных функций. В простейшем случае кусочно-линейных базисных функций (и, соответственно, методе второго порядка аппроксимации) они строятся следующим образом. Пусть – центр -го ребра треугольника. Тогда базисная функция – линейная функция, принимающая значение 1 в центре -го ребра и значение 0 в центрах двух оставшихся ребер.

Тогда приближенное решение в треугольнике ищем в виде разложения по базису , т.е.

,

где равно значению численного решения в центре -го ребра.

Матрица Грама системы является диагональной:

,

что позволяет получить явную схему для определения коэффициентов .

В случае линейной аппроксимации для вычисления интегралов следует воспользоваться квадратурными формулами:



Окончательно система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно записывается следующим образом:



Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений в виде



Пусть – разбиение отрезка , . Для решения системы дифференциальных уравнений используем явный метод Рунге - Кутты порядка . На каждом промежуточном шаге метода Рунге - Кутты необходимо применять специальный лимитер, что обеспечивает монотонность схемы. Тогда RKDG метод записывается следующим образом:

1.;

2. ;

1) ;

2) ;

3) .

Перейдем к описанию лимитера [1]. Лимитер для кусочно-линейных функций должен удовлетворять следующим условиям:

1. Точность: если – линейная функция, то .

2. Сохранение «массы»: для любого элемента



3. Ограничение наклона: на каждом элементе градиент не больше, чем градиент .

Построим лимитер на треугольных элементах (см. рис. 1.1).




Рис. 1.1. Построение лимитера

Обозначим через центр масс треугольника , .

Так как



для некоторых неотрицательных коэффициентов , которые зависят только от геометрии сетки, то для любой линейной функции справедливо

.

Так как

,

то

.

Введем обозначения:



Теперь рассмотрим кусочно-линейную функцию . Пусть – центры ребер треугольника . Тогда для можно записать (в фикси-рованный момент времени ):

.

Для определения вычислим величины



где , а – функция «TVB minmod» (в случае TVB лимитера):



– заданная константа, – характерный размер сетки.

Если вместо функции используется функция



то получим TVD лимитер.

Далее, если , то полагаем



Иначе, если , то вычисляем



и полагаем



Определим величину



Тогда окончательно получим



Легко видеть, что представленный лимитер удовлетворяет перечис-ленным выше требованиям.

В случае систем уравнений процедура монотонизации проводится для локальных характеристических переменных. При этом, чтобы определить величину , нужно использовать матрицу Якоби


  1   2   3   4

Похожие:

Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconАлгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) —
«Алгоритм — это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconПрограмма поспецкурс у "газовая динамика"
Основные части и разделы газовой динамики. Области применения. Характерные черты газовой динамики. Качественные и оценочные данные...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconМинистерство образования Российской Федерации
Цель изучения дисциплины: Применение неравновесной кинетики и термодинамики при постановке и решении задач газовой динамики
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconRussian national committee on theoretical and applied mechanics
Алгоритмы рапараллеливания решения нестационарных уравнений газовой динамики на примерах расчета конкретных задач
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconПрименение сочетания метода шагов и расширения фазового пространства для численного решения
В качестве примеров исследованы переходные процессы, моделирующие явления из различных областей науки и техники. Численно-аналитические...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconМатематическое моделирование форсунки канала плазматрона в двумерном приближении
Разработан программный комплекс для решения задач неидеальной газовой динамики в областях сложной геометрической формы. На базе выбранного...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconОсновы кейс-метода когда возник кейс-метод и как развивался
Как специфический метод обучения, применяется для решения свойственных ему образовательных задач. Основными проблемами кейс-метода...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconРабочая программа учебной дисциплины компьютерные технологии
Получение студентами знаний, умений и навыков использования компьютерных систем для постановки, анализа, и численного решения задач...
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconМатематическое моделирование течения газа в вихревых камерах с тангенциальным вдувом
Разработан программный комплекс для решения задач неидеальной трехмерной газовой динамики в областях сложной геометрической формы....
Применение rkdg метода для численного решения задач газовой динамики iconАппаратное ускорение алгоритмов решения уравнений газовой динамики с применением графических процессоров

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница