Решение. В зависимости от направления обхода




Скачать 47.69 Kb.
НазваниеРешение. В зависимости от направления обхода
Дата30.09.2012
Размер47.69 Kb.
ТипРешение
1. Можно ли расставить 5 целых чисел по кругу так, чтобы для любого числа от 1 до 5 среди расставленных чисел нашлись бы три последовательных числа, сумма которых равна ?

Ответ. Да, например так:





2. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1.

(Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы. – М.: МЦНМО, 2006)

Ответ. АВ = 7 или АВ = 9.
Решение.

В зависимости от направления обхода А-В-С (по часовой стрелки или против часовой) получаем два решения задачи (см. рисунок).

Т.к. ВН и ВР – биссектрисы треугольников АВК и МВС

соответственно, то по катету и прилежащему

острому углу равны прямоугольные треугольники

АВН и КВН (ВН – общая сторона,),

а также прямоугольные треугольники

МВР и СВР (ВР – общая сторона,

). Откуда получаем, что

АН = НК и МР = РС. Таким образом, в

треугольниках АВК и МВС ВН и ВР соответственно являются медианой, биссектрисой и высотой, значит, треугольники АВК и МВС являются равнобедренными и ВА = ВК, ВМ = ВС.

В первом случае ВС = ВМ = 8, откуда получаем, что ВА = ВК = ВСКС = 7.

Во второму случае ВС = ВМ = 8, откуда получаем, что ВА = ВК = ВС + СК = 9.


3. На доске записано 2005 натуральных чисел. Доказать, что можно стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?

(Т.П.Бахтина. Раз задачка, два задачка…)

Решение.

Если все числе имеют одинаковый характер четности, то можно стереть любое из них. Если среди них есть и четные, и нечетные, то их количества обязательно имеют разный характер четности (2005 не может быть суммой чисел одинаковой четности). Если количество нечетных чисел нечетно, то можно стереть любое из них. Если же их количество четно, то стираем четное число, а такое хотя бы одно найдется.

Для 2006 чисел утверждение неверно. Если, например, все числа нечетны, то после стирания любого из них сумма оставшихся 2005 будет нечетной.


4. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

(А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи «Как решают нестандартные задачи»)

Ответ. 15 мальчиков, 12 девочек.

Решение.

Пусть - число мальчиков, - число девочек. Найдем общее количество «дружб» двумя способами. Поскольку каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, это число равно . С другой стороны, каждая девочка дружит с пятью мальчиками, значит это число равно . Получаем уравнение 4m=5d. Поскольку по условию, то . Подставим это выражение в первое уравнение: , , , . Значит, .


5. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6×6 из чисел +1, –1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможет ли Буратино составить такой чудесный квадрат?

(Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. – М.: МЦНМО, 2008.)

Ответ. Не сможет.

Решение.

Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться в пределах от –6 до +6. Всего 13 значений. Строк в квадрате 6, столбов 6, диагоналей 2. Получаем 14 различных сумм. Противоречие, значит составить такой квадрат невозможно.


6. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали, исходящим из одной вершины.

(Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы. – М.: МЦНМО, 2006)

Решение.

Пусть известны длины сторон АВ и АD и диагонали АС.

Зная, что у параллелограмма противоположные стороны

равны, делаем вывод, что АВ = CD и AD = ВС. Таким

образом, зная длины сторон АВ, ВС и АС, можем

построить треугольник АВС по трём сторонам. Затем,

построим две окружности: 1) с центром в точке А

радиусом AD; 2) с центром в точке С радиусом АВ.

Далее находим точки пересечения окружностей – одна

из них и будет являться точкой D.

Докажем, что АВСD – параллелограмм. По построению

АВ = СD и ВС = АD. Четырёхугольник, у которого

противоположные стороны попарно равны является

параллелограммом.


7. Докажите, что прямоугольник  нельзя разбить на уголки из 3 клеток. (Абрамян Левон, 10 класс)

Решение.






































































































Покрасим клетки прямоугольника так, как показано на рисунке. Тогда покрашенных клеток будет , а уголков чтобы замостить прямоугольник  нужно . Заметим, что в одном уголке содержится не более одной покрашенной клетки, следовательно, количество уголков не менее . Противоречие.


8. Есть несколько карточек: одна с номером 1, две с номером 2, 3 с номером 3, четыре карточки с номером 4 и пять карточек с номером 5. Двое играют в следующую игру: по очереди забирают карточки, причем если игрок взял своим ходом карточек, то среди них должна быть карточка с номером . Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу?

(Кто-то из мэтров)

Ответ. Первый игрок.

Решение.

Покажем, что выигрывает первый игрок. Первым ходом он должен взять следующие карточки: 1, 2, 2, 3, 5. Тогда остаются по четыре карточки с номерами 4 и 5 и две карточки с номером 3, всего десять карточек.

Второй игрок не может взять одну или две карточки.

Если второй игрок своим первым ходом берет четыре или три карточки, останется хотя бы одна карточка с номером 5. Взяв 5 карточек, первый оставит максимум две карточки и выиграет.

Если второй игрок своим первым ходом возьмет 5 карточек, то первый выигрывает, взяв 4 или 5 карточек.

Похожие:

Решение. В зависимости от направления обхода iconсистема интеллектуального обхода web-сайтов
«скрытый веб». Метод основан на классификации web-форм при помощи дерева решений. Предложена модификация стандартной схемы обхода...
Решение. В зависимости от направления обхода iconОбход неизвестного ориентированного графа конечным роботом
Это аналогично задаче обхода лабиринта роботом, находящимся внутри него и не имеющем плана лабиринта. Если робот – это «компьютер...
Решение. В зависимости от направления обхода iconНеизбыточные алгоритмы обхода ориентированных графов. Детерминированный случай
Необходимой, а иногда и достаточной, частью такого тестирования является обход графа состояний автомата. Основное внимание уделяется,...
Решение. В зависимости от направления обхода iconРешение улан-удэнского городского совета депутатов
...
Решение. В зависимости от направления обхода iconПрограмма развития муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №3»
Стратегические направления развития школы, задачи и направления деятельности, обеспечивающие их решение 24
Решение. В зависимости от направления обхода iconРешение задач с параметрами (11кл.) Решение задач с модулем (11 кл.) Химия для всех (8 кл.) Компьютерная графика (11 кл.) «Право»
Основные направления развития образовательной системы Муниципального общеобразовательного учреждения Кичигинской средней общеобразовательной...
Решение. В зависимости от направления обхода iconКурс «Основы кибернетики» для студентов специализации 01. 02. 09. 01 (математическое и программное обеспечение вычислительных машин) и бакалавров направления 510200
Курс является обязательным для всех студентов, обучающихся по специальности 01. 02 – прикладная математика и информатика, а также...
Решение. В зависимости от направления обхода iconРекомендации родителям по профилактике компьютерной зависимости подростков
...
Решение. В зависимости от направления обхода iconЛекция по предмету «Информационные технологии»
В зависимости от поставленной цели будут меняться функциональные элементы и отношения между ними. Это значит, что мы можем выделить...
Решение. В зависимости от направления обхода iconТесты-опросники на выявление ранних признаков компьютерной зависимости у несовершеннолетних
Тесты позволяют определить уровень компьютерной зависимости учащихся образовательных учреждений разной возрастной категории
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница