Главное управление высших учебных заведений при комиссии




НазваниеГлавное управление высших учебных заведений при комиссии
страница3/4
Дата26.09.2012
Размер0.75 Mb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4
§ 1-9; [3] № 683. 685. 700, 701;

|2] гл. VII § 1—13; [3] № 716, 734, 736, 768, 744, 747, 782, 789;

[2] гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

  1.  б) 

в) г)


Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .


Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель(x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при :




б) При выражение дает неопределенность вида Для ее устранения умножим и разделим
это выражение на 

=

=

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и  при Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела





г) При выражение  является неопределенностью вида 1 . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:



Тогда имеем:



Пусть 2х+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и  при Переходя к переменной у, получим:






Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию 

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

РИСУНОК № 4.

интервалах (—; 1) и (1;) и, следовательно, она непре­рывна на этих интервалах. В точке x=1 функция имеет раз­рыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конеч­ные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.


Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте определение понятия функции.

  2. Что называется областью определения функции? об­ластью изменения функции?

  3. Перечислите основные элементарные функции. Назо­вите их основные свойства.

  4. Какие функции называются элементарными? Приве­дите примеры.

  5. Что называется пределом числовой последователь­ности?

  6. Сформулируйте определение предела функции.

  7. Назовите основные свойства пределов функций.

  8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

  9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

  10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

  11. Какие логарифмы называются натуральными?

  12. Дайте определения односторонних пределов функция в точке.

  13. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

  14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

  15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.



УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 2

Тема 5. Производная и дифференциал

[2] гл. IX, § 1—5; [3] № 907, 908, 910;

[2] гл. X; [3] № 850, 857, 875, 888, 945, 956;

[2] гл. XII; [3] № 1067, 1075, 1077.

Разберите решение задачи 8 данного пособия.


Задача 8. Найдите производные функции:

а) б) 

в) 

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

у'= = ´= 




б) 








в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной x обе части уравнения, считая при этом у функцией от x, а затем полученное урав­нение разрешить относительно у':







Из последнего уравнения находим y´:






Вопросы для самопроверки

  1. Что называется производной функции?

  2. Каков геометрический, физический смысл производ­ной?

  3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

  4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

  5. Напишите формулы дифференцирования основных эле­ментарных функции.

  6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

  7. Что называется дифференциалом функции?

  8. Каков геометрический смысл дифференциала функ­ции.

  9. Перечислите основные свойства дифференциала функ­ции.

  10. Напишите формулу, позволяющую находить прибли­женное значение функции при помощи ее дифференциала.

  11. Как найти производную второго, третьего, n-го поряд­ков?

  12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

Тема 6. Приложения производной

[2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] 1162, 1167, 1201, 1222, 1229.

Разберите решение задач 9, 10 данного пособия.

Задача 9. Исследовать функцию  и построить

ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме:

  1. Найдем область определения функции.

  2. Исследуем функцию на непрерывность.

  3. Установим, является ли данная функции четной, нечетной.

  4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

  5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и
    точки ее перегиба.

  6. Найдем асимптоты кривой.



Реализуем указанную схему:

  1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

  2. Данная функция является элементарной, поэтому она
    непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

  3. Для установления четности или нечетности функции
    проверим выполнимость равенств (тогда 
    четная функция) или (для нечетной функции)
    для любых х и —х из области определения функции:



Следовательно, то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:



у' = 0 при х=0 и y´— не существует при x=1. Тем самым имеем две критические точки: x1 = 0, х2 =1. Но точка х2 =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис.5):


В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале— положительна н данная функция возрастает. При переходе через точку x = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:. Значит, A(0; —1) — точка мини­мума


РИСУНОК № 5.

На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками — возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

  1. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:



у"=0 при x =  и у" — не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); ; 1), (1;. На первом интервале вторая производная у" отрицательна и дуга исследуемой кривой выпуклая; на вто­ром и третьем интервалах у">0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку 

у" меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В— точка перегиба графика функции.

РИСУНОК № 6.


6. х =1—точка разрыва функции, причем 


Поэтому прямая х =1 является вертикальной асимптотой -графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у = kх+b воспользуемся формулами:




Тогда







При вычислений последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямая у =0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.


РИСУНОК № 7.

1   2   3   4

Похожие:

Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТиповая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория журналистики Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТиповая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconВысшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по естественнонаучному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconЛитература типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности: 1-23 01 10 «Литературная работа (по направлениям)»
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТопография с основами геодезии типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория русской литературы (XХ век) Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория русской литературы (XIX век) Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconУчебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений
Допущено Государственным комитетом СССР по на-родному образованию в качестве учебника для студен-тов высших учебных заведений, обучающихся...
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconУчебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений и. И. Кочиш, М. Г. Петраш, С. Б. Смирнов птицеводство
Допущено Министерством сельского хозяйства Российс­кой Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений по специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница