Главное управление высших учебных заведений при комиссии




НазваниеГлавное управление высших учебных заведений при комиссии
страница2/4
Дата26.09.2012
Размер0.75 Mb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ВЫСШИХ

УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ


Рабочая программа составлена на основе программы кур­са «Высшая математика» для высших учебных заведений по экономическим специальностям, утвержденной Главным учеб­но-методическим управлением Государственного комитета СССР по народному образованию 7 июля 1988 г.

Рабочая программа рассчитана на 500 учебных часов, со­держит перечисление тем, которые должны быть изучены сту­дентами. Последовательность изучения тем, методика их из­ложения и распределение материала по семестрам програм­мой не предусматриваются и устанавливаются кафедрами высшей математики с учетом потребностей специальных и смежных кафедр.

В процессе изучения курса нужно уделить внимание во­просам обучения студентов основам вычислительной техники с использованием имеющейся в вузе вычислительной техники.

Пункты и разделы программы, отмеченные звездочкой, излагаются в зависимости от специальности по усмотрению ка­федры. Дополнительные главы курса, необходимые для спе­циальных кафедр, но не вошедшие в данную программу, чи­таются по заявкам кафедр в дополнительно отводимое время.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

  1. Определители второго и третьего порядков и их свойст­ва. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение опре­делителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об опреде­лителях n-го порядка.

  2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Краме­ра. Метод Гаусса.

  3. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

  4. Разложение вектора по системе векторов. Линейно за­висимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

  5. Матрицы. Ранг матрицы. Действия над матрицами. Об­ратная матрица. Матричная запись системы линейных урав­нений и ее решение. Теорема Кронекера—Капелли.

  6. Системы координат на прямой, плоскости, в простран­стве. Основные задачи на метод координат (расстояние меж­ду двумя точками, деление отрезка в данном отношении).

  7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с уг­ловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол меж­ду двумя прямыми; условия параллельности и перпендику­лярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пересечение двух прямых.

  8. Неравенства первой степени на плоскости и их геомет­рический смысл.

  9. Канонические уравнения кривых второго порядка: ок­ружности, эллипса, гиперболы, параболы.

  10. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, его частные виды. Геометрический смысл неравенства и системы линейных неравенств в пространстве.



II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение в математический анализ

  1. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций.

  2. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании пре­дела монотонной ограниченной последовательности (форму­лировка).

  3. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Пер­вый и второй замечательные пределы. Неопределенные выра­жения и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.

  4. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точ­ки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

  1. Задачи, приводящие к понятию производной. Опреде­ление, производной; ее геометрический и механический смысл.

  2. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

  3. Производные высших порядков.

  4. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

  5. Применение производной к вычислению пределов (пра­вило Лопиталя).

  6. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы функций. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на интервале.

  7. Выпуклость и вогнутость графика функций, точки пе­региба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построения ее графика.

  8. Приближенное решение уравнений: графическое отде­ление корней методом проб; метод хорд и касательных. Метод итераций.



III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

  1. Определение функции нескольких независимых пере­менных. Предел и непрерывность функции нескольких пере­менных.

  2. Частные производные функции нескольких независи­мых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших по­рядков.

  3. Полный дифференциал функции нескольких независи­мых переменных; его применение в приближенных вычисле­ниях.

  4. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.

  5. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.

  6. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

  1. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица ос­новных интегралов.

  2. Интегрирование заменой переменной; по частям. Инте­грирование рациональных дробей.

  3. Задачи, приводящие к понятию определенного инте­грала. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка тео­ремы существования. Свойства определенного интеграла. Тео­рема о среднем.

  4. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным инте­гралом (формула Ньютона—Лейбница).

  5. Вычисление определенных интегралов способом под­становки и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

  6. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.

  7. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур; объемов тел по площадям сечений и тел вращения; длин дуг кривых; площадей поверхностей вращения. Примеры приложения интеграла к решению простейших задач механики и физики.

  8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

  9. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного ин­теграла. Геометрические приложения двойного интеграла.

  10. Понятие о тройном интеграле.

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  1. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифферен­циальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые.

  2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися пе­ременными. Однородные дифференциальные уравнения. Ли­нейные дифференциальные .уравнения.

  3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказа­тельства).

  4. Поле направлений дифференциального уравнения. Изоклины. Приближенное решение дифференциальных урав­нений первого порядка (способ Эйлера).

  5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно-независимые решения. Структура общего решения.

  6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характе­ристическое уравнение. Общее решение уравнения.

  7. Общее решение линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка. Теорема наложения. Метод вариации произвольных постоянных. Частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами для правых частей в виде функций: многочлен; Аекх; А соs пх+В sin пх.

  8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

VI. РЯДЫ

  1. Числовые ряды; их сходимость и расходимость. Необ­ходимые условия сходимости. Свойства сходящихся рядов.

  2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимо­сти, основанные на сравнении рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак Коши.

  3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсо­лютная и условная сходимость.

  4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимо­сти.

  5. Ряды Тейлора и Маклорена. Биномиальный ряд. Раз­ложение в степенной ряд элементарных функций.

  6. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.



VII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  1. Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое опре­деление вероятности.

  2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несо­вместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совме­стных событий.

  3. Произведение событий. Условная вероятность. Теоре­ма умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  4. Теорема о повторении опытов (схема Бернулли). Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биномиальное распределение. Формула Пуассона.

  5. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерыв­ные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Примеры распределений: нормальное, биномиаль­ное, пуассоновское, равномерное. Вероятность .попадания слу­чайной величины на данный интервал.

  6. Числовые характеристики случайных величин: матема­тическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое откло­нение; их свойства.

  7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоре­ма Чебышева.

  8. Числовые характеристики статистических распределе­ний (математическое ожидание, дисперсия). Оценка вероят­ности по частоте. Понятие о доверительном интервале. Дове­рительные интервалы для среднего значения и дисперсии нор­мально распределенной случайной величины.

  9. Понятие о центральной предельной теореме.



VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

  1. n-мерное векторное пространство. Решение системы т линейных уравнений с п неизвестными. Базисное решение сис­темы.

  2. Постановка основной задачи линейного программирования. Сведение основной задачи к канонической форме. Гео­метрическая интерпретация основной задачи линейного программирования.

  3. Опорные решения и их нахождение симплекс-методом. Достаточное условие оптимальности опорного решения.



Библиографический список

  1. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1975.

  2. Кудрявцев В. А., Демидович. В. П. Краткий курс высшей математики. 6-ое изд. М : Наука, 1985.

  3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1977.

  4. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчислениях т. 1. 2. М.: Наука, 1978.

  5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра в ос­новы математического анализа/Под ред. Н. В. Ефимова, В. П. Демидовича. М.: Наука, 1986.

  6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.

  7. Гмурман В. Е. Руководство к .решению задач по теории вероятностей и математической статике. М.: Высшая школа. 1975.

В настоящих методических указаниях приведенные посо­бия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись [2] гл. 3; [3] № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Кудрявцева В. А., Демидовича В. П. «Краткий курс высшей матема­тики» и решите задачи № 66, 68, 81, 113 из задачника Мироновского.В. П.


УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

[1] гл. I. II; [3] № 4, 10, 23, 28;

[1] гл. III § 11, 12, гл. IV; (3) № 59, 67, 71, 82 (2), 87, 103;

[I] гл. V § 24 —26, 30—36, [3] № 140, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Разберите решения задач 1, 2, 3 из данных методических ука­заний.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АBС: А,(4; 8), В(5; —4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравне­ния сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение вы­соты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Решение: 1. Расстояние d между точками М1(x1;y1) и M22; у2) определяется по формуле:

 (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

==15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки M11; y1) и М22; у2), имеет вид:

 =  (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В:



3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0(AB).

Для нахождения углового коэффициента АВ прямой AB разрешим полученное уравнение относительно y: y=-

Отсюда Rав=  . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.



x+7y-52=0 (AC)

Отсюда kAC =

3. Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны kх и R2, определяется по формуле: tg  (3)

Угол A, образованный прямыми АВ и АС, найдем по форму­ле (3), подставив в нее k1 = kAB = k2=kAC=

tg A= = =  = 1,

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

kCD=.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M11;у1) в заданном угловым коэффициентом R направле­нии, имеет вид:

y-y1=k(x1-x2) (4)

Подставив в формулу (4) координаты точки С и RCD =  получим уравнение высоты CD:

y-6=, 4y-24=3x-30, 3x-4y-6=0 (CD). (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив

систему уравнений (АВ) и (CD):

 откуда x=2, y=0, то есть D(2;0)

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D находим:

CD=  = 10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке В (а; b) имеет вид:

(x-a)2+ (y-b)2=k2 (6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:




Следовательно, Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности: 


6. Множество точек треугольника ABC есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку A, а третья ограничена прямой АС и содержит течку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, под­ставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:



Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, най­дем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) коорди­наты точек В и С:




2х—у—14=0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:  Искомое неравенство будет 2ху—140. Подобным образом составим неравенство, оп­ределяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и со­держащую точку В:  Третье искомое неравенство  Итак, множество точек треугольника ABC определяется системой неравенств



На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат
хОу изображен треугольник ABC, высота CD,окружность с центром в точке Е.


РИСУНОК № 1.


Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой x=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х; у)—текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда B(12; у).

По условию задачи По формуле (1) из предыдущей задачи

, 


Тогда







Полученное уравнение представляет собой эллипс вида


Определим фокусы эллипса F1(-c; 0) и F2 (c; 0). Для эл­липса справедливо равенство b2= а2с2, откуда

c2= a2-b2 =9 и c=3.

То есть, F1(-3; 0) и F2 (3; 0)— фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса 


РИСУНОК № 2.

Задача 3. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A(3; —4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х; у)—текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MВ на прямую у =2 (рис. 3). Тогда В(x; 2). Так как МА=МВ, то

= или





.


РИСУНОК № 3.


Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О'(3; —1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду, положим Тогда в системе координат Х'О'У´ уравнение пара­болы принимает следующий вид У' = . В системе координат Х'О'У´ строим параболу.


Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

  2. Напишите формулу для нахождения расстояния меж­ду двумя точками.

  3. Напишите формулы для отделения координат точ­ки, делящей данный отрезок в данном отношении.

  4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

  5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направ­лении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрез­ках».

  6. Как найти координаты точки пересечения двух пря­мых?

  7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

  8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

  9. С формулируйте определение окружности.

  10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

  11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

  12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из­меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

  13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

  14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

  15. Напишите уравнения для нахождения асимптот, гипер­болы.

  16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.



Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

[1] гл.ХVIII; [3] № 372, 382, 397, 405, 418, 421;

[1] гл. XIX § 1-4; [3] № 452, 455. 457, 496.

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек: A(3;0), B(6;2;1), C(12;-12;3)

Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей че­рез точку С перпендикулярно вектору 

Решение. 1. Если даны точки M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2), то вектор через орты  выражается следующим образом:  (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек A и В, имеем:


.


Подобным образом

.

Модуль вектора  вычисляется по формуле

 (2)

Подставляя в формулу (2) найденные ранее координаты векторов  и , находим их модули:

=7, =17.

2. Косинус угла а, образованного векторами  и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

 (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то 

Применяя (3), имеем: = 


3. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору  имеет вид

 (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точ­ку С(12; —12; 3) перпендикулярно вектору {3; 2; 6}. Под­ставляя в (4) A = 3, В = 2, С=6, получим:



=0 — искомое уравнение плоскости.


Вопросы для самопроверки

  1. Какие величины называются скалярными, векторными?

  2. Какие векторы называются коллинеарными?

  3. Какие два вектора называются равными?

  4. Как сложить два вектора? Каких вычесть?

  5. 5. Как найти координаты вектора по координатам точек
    его начала и конца?

  6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, за­данных в координатной форме. Как умножить вектор на ска­ляр?

  7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

  8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

  9. Напишите формулу для определения угла между дву­мя векторами.

  10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их
    перпендикулярности.

  11. Напишите общее уравнение плоскости.

  12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через
    данную точку перпендикулярно данному вектору.

  13. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей че­рез три данные точки?

  14. Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Тема 3. Элементы линейной алгебры

[5] гл. ХХI; [3] № 592, 624, 628.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матрич­ной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:



Решение. Обозначим через А матрицу коэффициен­тов при неизвестных; X — матрицу -столбец неизвестных Х1, X2, X3; Н — матрицу-столбец свободных членов:

A=, X=, H=.

С учетом этих обозначений данная система уравнений при­нимает следующую матричную форму:

 (1)


Если матрица A—невырожденная (ее определитель  отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу Умножив обе части уравнения (1) на , получим: 

Но  =E(E— единичная матрица), а ЕХ=Х, поэто­му

Х= (2)

Равенство (2) называется матричной записью реше­ния системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матри­цу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

,

где—алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы A, которое является произведением на минор (определитель) второго по­рядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения
 элементов матрицы A.

— следовательно матрица A имеет обратную матрицу .











Тогда ,


По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=



Отсюда 


Вопросы для самопроверки

  1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

  2. Назовите основные свойства определителей.

  3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

  4. Напишите формулы Крамера решения системы линей­ных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

  5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

  6. Что называется матрицей?

  7. Как определяются основные действия над матрицами?

  8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

  9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг мат­рицы?

  10. Сформулируйте теорему Кронекера- Капелли.

  11. Опишите матричный способ решения системы линей­ных уравнений.

  12. Какова геометрическая интерпретация систем линей­ных уравнений и неравенств?



Тема 4. Введение в анализ

[2] гл. VI
1   2   3   4

Похожие:

Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТиповая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория журналистики Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТиповая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconВысшая математика Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по естественнонаучному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconЛитература типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности: 1-23 01 10 «Литературная работа (по направлениям)»
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconТопография с основами геодезии типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель Учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория русской литературы (XХ век) Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconИстория русской литературы (XIX век) Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям
Председатель учебно-методического объединения высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарному образованию
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconУчебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений
Допущено Государственным комитетом СССР по на-родному образованию в качестве учебника для студен-тов высших учебных заведений, обучающихся...
Главное управление высших учебных заведений при комиссии iconУчебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений и. И. Кочиш, М. Г. Петраш, С. Б. Смирнов птицеводство
Допущено Министерством сельского хозяйства Российс­кой Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений по специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница