«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена




Скачать 78.52 Kb.
Название«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена
Дата30.08.2012
Размер78.52 Kb.
ТипРешение


«Средняя общеобразовательная школа №53 г. Брянска»


Городская научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»


Исследовательский проект

«Метод мажоранта»

математика


Выполнили: ученицы 10а класса

Куркотова Ирина

Трепачева Елена

Руководитель: учитель математики

Драп Л.С.


Брянск 2012 год

Содержание:

§1 Аннотация к проекту…………………………………………………………..3

§2 Цели проекта…………………………………………………………………...3

§3 Целевая аудитория……………………………………………………………..3

§4 Задачи проекта…………………………………………………………………4

§5 Определение мажоранты функции…………………………………..……….4

§6 Примеры функций, мажоранты которых хорошо знаем……………………4

§7 Метод мажоранта……………………………………………………………....5

§8 Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант…………...5

§9 Признаки присутствия мажоранты в задаче……………....…………………7

§10 Сборник задач………………………………………………………………...7

§11 Заключение………………………..…………………………………………10

§12 Список использованной литературы………………………………………10


Аннотация к проекту

Решение уравнений и неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому мы решили взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

В данном исследовании, во-первых, мы узнали совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научились применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого мы изучили и проанализировали материал по данной теме, на конкретных примерах учились применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

На всех этапах нашей работы возникали трудности. Например, вначале не всегда получалось определять, есть ли в данной задаче мажоранта или ее нет. По всем непонятным вопросам мы консультировались с учителем.

Результатом нашего исследования стал сборник задач по данной теме для использования его в дальнейшем при решении уравнений и неравенств.

Цель проекта:

Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ

Целевая аудитория:

Этим проектом мы хотели бы помочь ученикам 11-го класса успешно освоить данную тему при решении уравнений и неравенств, так как они часто

встречаются в ЕГЭ и мало изучаются в школьной программе.



Задачи проекта:

1.Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту;

2.Изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств;

3.Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта.

4. Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ

Определение мажоранты функции

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Примеры функций, мажоранты которых хорошо знаем

Пример 1:

f(x)= sin x.

-1 ≤ sin x ≤ 1.

М = –1, М =1




Пример 2: f(x)= ах2 + bx + с

(m, n) – координаты вершины параболы.

n = f(m). Мажоранта квадратичной

функции - ордината вершины. М = n.

М = (4ас–b2) / 4а.


Метод мажоранта

Основная идея метода мажорант состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение f (х) = g (x) (1), и существует такое число М, что для любого х из области определения уравнения имеем f (х)≤ М и g(x)≥M (или наоборот).

autoshape 40 Тогда уравнение (1) равносильно системе:

f (х) = M,

g (x) =M


Примеры решения уравнений и неравенств методом мажоранта

Пример 1:

Решить уравнение:

3 π

3arcsin (х2 + х + ) =

4 tg2 πх/2 + сtg2 πх/2

  1. Рассмотрим функцию



1

h(x) = tg2 πх/2 + сtg2 πх/2 = tg2 πх/2 + ≥ 2

tg2 πх/2

как сумма взаимно-обратных положительных чисел. Отсюда следует, что

π π



tg2 πх/2 + сtg2 πх/2 2

2) Докажем, что 3 arcsin (х2 + х + 3/4) ≥ π/2.

х2 + х + 3/4 = х2 + 2х · 1/2 + 1/4 – 1/4 + 3/4 = (х + 1/2)2 + 1/2

(х + 1/2)2 + 1/2 ≥ 1/2

3) у= arcsin t , возрастает для любого t Є [ -1;1].

Если t ≥ 1/2, то у ≥ arcsin1/2, у ≥ π/6.

Отсюда следует, что

3arcsin (х2 + х + 3/4) ≥ 3π/6 = π/2.

Причем равенство достигается при х = - 1/2

Значит уравнение равносильно системе:


autoshape 40 3 arcsin (х2 + х + 3/4) = π/2,

π π

=

tg2 πх/2 + сtg2 πх/2 2


Корнем первого уравнения является число – 1/2, подстановкой убеждаемся, что оно является корнем второго уравнения.

Ответ: -1/2.

Пример 2:

Решить неравенство:

1

2cos x – |х| + х2 + – 1 ≤ 1/2

cos x

0 ≤| cos x | 1,

0 ≤ |1/ cos x | 1,

х2 + |1/ cos x | – 1 ≥ х2

х2 + |1/ cos x | – 1 ≥ √х2

√ х2 + |1/ cos x | – 1 ≥ |х| , тогда

1

2cos x – |х| + х2 + – 1 ≥ 2cos x - |х| + |х| = 2cos x

cos x

Так как cos x ≥ – 1 , тогда 2cos x ≥ 2 -1 = 1/2 => неравенство имеет решение, если выражение в левой части неравенства равно 1/2

1

2cos x – |х| + х2 + – 1 = 1/2

cos x

Это равенство достигается при сos x = – 1 Ответ: х = π + 2πk , k Є Z.

Признаки присутствия мажоранты в задаче

  • Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.

  • Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты



Сборник задач

1.При каких значениях параметра а система

х² + 2ах + 4а² -5а + 3 ≤ 4sin y – 3 cos y,

0 ≤ y ≤ 2π

имеет единственное решение.

1) Рассмотрим квадратичную функцию

f(х) = х² + 2ах + 4а² -5а + 3,

которая достигает своего наименьшего значения при х= - а

М = а² - 2а² + 4а² -5а + 3= 3а² -5а + 3.

2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем неравенство





4sin y – 3 cos y ≤ √ 4² + 3² =5.

3) Для того, чтобы исходная система имела единственное решение, надо чтобы

3а² -5а + 3=5.

3а² -5а -2= 0,

а = 1/3, а = 2.

Ответ: а = 1/3, а = 2.


2.Решить уравнение:

sin(x3+2x2+1)=x2+2x+3

|(sin(x3+2x2+1)|≤1

x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2≥2

Левая часть уравнения не превосходит 1, а правая >2 =>корней нет

Ответ: нет корней

Решите неравенство:

(1-x)/(1+x)<2x

ОДЗ: xϵR

x≠-1

1)(-∞; -1)

f(x)=(1-x)/(1+x)<0

g(x)=2x>0,т.е.f(x)
Значит xϵ(-∞; -1)

2)(-1; 0)

f(x)=(1-x)/(1+x)>0,

g(x)=2x>0

0<2x<1

(1-x)/(1+x)=((1+x)-x-x)/(1+x)=1-2x/(1+x)>1

Получили f(x)>1, g(x)<1, значит, нет решений, т.к. по условию f(x)g(x)

3)[0; +∞)

f(x)=(1-x)/(1+x)<1,т.е.f(x)
Значит xϵ[0;+∞]

При x=0, x=-1 не соответствует условию

Ответ:(-∞; -1)∪(0; +∞)


3.Решить уравнение:

cos2x=1+x2

0≤cos2x≤1

1+x2≥1

Левая и правая часть уравнения имеют общее решение на J

1+x2=1

x=0

Ответ:0


4. Решить уравнение:

1

log 2 ( cos2 (xy) + ) = 1/ (у2 – 2у + 2)

cos2 (xy)

ОДЗ:

у2 – 2у + 2 ≠ 0,

cos (xy) ≠ 0

1) Оценим левую часть неравенства.

Применим полезное неравенство а + 1/а ≥ 2 , при а > 0 =>

сos2 (xy) + 1/ cos2 (xy) ≥ 2

Так как основание логарифма больше 1, то функция у = log2 f(x) возрастающая, подлогарифмическое выражение не меньше 2, то

1

log 2 ( cos2 (xy) + ) ≥ 1

cos2 (xy)

2) Рассмотрим функцию f = у2 – 2у + 2

(у – 1)2 + 1 , то f ≥ 1 , М.=1 => 1/ (у2 – 2у + 2) ≤ 1 =>

уравнение равносильно системе:

log2 ( cos2 (xy) + 1/ cos2 (xy)) = 1,

1/ (у2 – 2у + 2) = 1

3) у2 – 2у + 2 = 1, у2 – 2у + 1 = 0, у = 1

отсюда следует, подставив значение у в первое уравнение, получим:

сos2x + 1/ cos2x = 2

сos2x = 1, сos x = ± 1, х = πk , k Є Z

Ответ: ( πk; 1), k Є Z

Заключение

Выполняя данный исследовательский проект, мы провели огромную работу. Для начала нам надо было собрать и систематизировать информацию по данной теме, что было достаточно тяжело, так как эта тема для нас новая, незнакомая, и все надо было начинать с нуля. Главной же частью нашего проекта была практическая часть, а именно создание сборника задач по теме метод мажоранта при решении уравнений и неравенств, который пригодится нам в будущем, а именно при подготовке к ЕГЭ. Мы считаем наш проект успешным и познавательным.


Список использованной литературы:

1.http://ru.wikipedia.org

2.http://ucheba.pro

3.http://mathbook.moy.su


Похожие:

«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconРаботу выполнили учащиеся 7-го класса моу новоспасской сош придатченко Кирилл и Мазуренко Елена
Мёбиус Август Фердинанд
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconТема работы: Изучение видового состава рудеральных растений пустующей территории учебно-опытного участка школы «цэо»
Работу выполнили Головенко Дарья, Скворцова Екатерина, ученицы 9а класса гоу сош №389 “цэо”
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconИсследовательская работа Предметная область: физика Выполнили: Савельева Анна, Пупанова Анастасия, Тагаева Дарья, ученицы 11а класса мбоу «сош №52 г. Брянка»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №52 г. Брянска с углубленным изучением...
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconРеферат по теме «Пифагор и его теорема»
Авторы: ученицы 8 класса моу леботерская оош с. Леботер, Томской области, Чаинского района Макарова Надежда и Пчелкина Ирина
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconСписок учителей гимназии №33 на 2011-2012 учебный год
Пуканова Евгения ГеннадиевнаПискарёва Ирина ВладимировнаПрокофьева Ирина АлександровнаКлищенко Елена ВикторовнаГармаш Наталья БорисовнаОстапенко...
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена icon«Кюсюрская средняя общеобразовательная школа» Выполнили: ученицы 8 «б» класса
Они нужны в повседневной жизни, так как в нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы...
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconВашему вниманию представлен анализ презентации портфолио ученицы 9 «Г» класса, привёденной в качестве примера создания портфолио, для предоставления к сдаче с
Вашему вниманию представлен анализ презентации портфолио ученицы 9 «Г» класса, привёденной в качестве примера создания портфолио,...
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconСправочник предприятий, организаций
Отдел идеологической работыЛастовская Елена НиколаевнаНачальник7932122695Шарснева Валентина ПименовнаВед специалист34248-Лашук Елена...
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconИсследовательская работа ученицы 10 класса «А» Ефремовой Евгении по теме: «Почетные чекисты на службе у Берии»
Социокультурная характеристика
«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена iconМеждународная конференция «Первые шаги в науку» я выписываю
Данная работа Грибачёвой Ирина «Я выписываю космический паспорт звезды» это рассказ о том, что включает в себя по мнению ученицы...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница