Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия»




Скачать 359.45 Kb.
НазваниеУчебное пособие по курсу «Начертательная геометрия»
страница1/5
Дата30.08.2012
Размер359.45 Kb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5


Федеральное агентство по образованию

Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


по курсу «Начертательная геометрия»


МОДУЛЬ №4


Тольятти 2007

УДК 514.18(076)

ББК 22.15.3

Н36


Рецензент:

к.т.н., доцент А.Г. Егоров (ТГУ).


Н36 Начертательная геометрия. Модуль №4: учеб.-метод. Пособие / сост. Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007.- 33 с.


Содержит полный теоретический материал для успешного освоения студентами курса «Начертательная геометрия». Учебный материал разбит на 4 модуля. Каждый модуль является логически завершенной частью, заканчивается контрольными вопросами и тестом с ответами для самоконтроля студента.

Для студентов технических специальностей высших учебных заведений


Рекомендовано к изданию методической комиссией автомеханического института Тольяттинского государственного университета


© Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова,

Составление, 2007

© Тольяттинский государственный

Университет, 2007


Содержание



Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа 6

Метрические задачи 6

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости. 6

Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения 11

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения 12

Построение плоскости, касательной к поверхности 14

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами 17

Преобразование комплексного чертежа 20

Способ замены плоскостей проекций 21

Пространственная модель 22

Плоский чертёж 23

Первая основная задача преобразования комплексного чертежа 23

Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа 24

Третья основная задача преобразования комплексного чертежа 26

Четвёртая основная задача преобразования комплексного чертежа 28

Способ вращения вокруг проецирующей оси 29

Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа способом вращения вокруг проецирующей оси 32

Задача №1 32

Задача №2 34

Задача №3 35

Задача №4 36

Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа 38

Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа 44

Контрольные вопросы 47

Тест №1 48

Тест №2 48

Ответы к тесту №1 49

Ответы к тесту №2 49


Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа


Модуль №4 предполагает знакомство с задачами, связанными с различными измерениями: натуральных величин отрезков, углов, плоских фигур; расстояний между фигурами и т.д. Вы узнаете, как проще решать метрические и позиционные задачи, используя способы преобразования комплексного чертежа. Кроме того, используя знания, полученные в модулях 1-3, Вы научитесь решать сложные инженерные конструктивные задачи.


Метрические задачи


"Ведь между двух соседних точек

Прямая - самый краткий путь,

Иначе слишком много кочек

Необходимо обогнуть."

Л.Н.Мартынов


Как Вы думаете?

1. Что является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, до плоскости?

2. Что является кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми, между двумя параллельными плоскостями?

3. На чертеже рис. 4-1 показан угол АВС. Присутствует ли на какой-нибудь плоскости проекций натуральная величина угла?



Рис. 4-1

Метрическими называются такие задачи, в условии или решении которых присутствуют геометрические фигуры или понятия, связанные с численной характеристикой.

Наиболее часто встречаются метрические задачи: на взаимную перпендикулярность геометрических фигур, на определение натуральной величины заданных отрезка или угла, на построение натурального вида плоской фигуры и т. п.

Из всего многообразия метрических задач выделяются две основные:

1. Первая основная метрическая задача - на перпендикулярность прямой и плоскости.

2. Вторая основная метрическая задача - на определение натуральной длины отрезка. Эта задача решается методом прямоугольного треугольника, который рассматривался в первом модуле.

Рассмотрим подробнее первую основную метрическую задачу.

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости.


Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Задача: Через точку К построить прямую n, перпендикулярную плоскости  b). Анализ решения задачи проведём на пространственном чертеже, рис. 4-2.



Чтобы провести прямую n , нужно в этой плоскости взять две пересекающиеся прямые (на рис. 4-2 это р m = К). Прямую n нужно строить перпендикулярно одновременно двум этим прямым.

Однако, если прямые р и m будут прямыми общего положения, то прямой угол к ним ни на одной плоскости проекций не спроецируется в натуральную величину. Согласно теореме опроецировании прямого угла (см. свойство 2 ортогонального проецирования, модуль №1) прямой угол спроецируется в натуральную величину на какую-нибудь плоскость проекций, если одна сторона прямого угла будет параллельной этой плоскости проекций. Поэтому, в качестве прямых р и m выгодно взять горизонталь h и фронталь f (рис. 4-3). Тогда прямой угол между n и h спроецируется в натуральную величину на П1, а прямой угол между n и f - на П2.



Рис. 4-3

Плоский чертёж: На рис. 4-4 плоскость задана параллельными прямыми а и b. Точка К(К2) принадлежит этой плоскости. Нужно построить n , n К.



Рис. 4-4

Согласно приведённым выше рассуждениям, в плоскости необходимо взять горизонталь и фронталь, затем, перпендикулярно каждой из них строить п. Построения начинаем с горизонтали (рис. 4-5).



Рис. 4-5

Через точку К2 проводим h2 линиям связи, находим h1, а на ней, с помощью линии связи, К1. Так как n h, то n1 h1, поэтому проводим n1 h1 через точку K1.

Аналогично находим n2 (рис. 4-6). Через точку К1 проводим f1 линиям связи, находим f2. Так как n f, тo n2 f2, поэтому проводим n2 f2 через точку К2.



Рис. 4-6

Полностью решение задачи представлено на рис. 4-7. Видимость прямой n не учитывалась.



Рис. 4-7

Алгоритмическая запись решения:

1. h  , f  , h  f = K.

2. K  n  K1  n1, K2  n2.

3. n  h  n1  h1;

4. n  f  n2  f2.


Итак, чтобы задать на комплексном чертеже прямую n, перпендикулярную данной плоскости , достаточно построить n1 и n2, расположив их в любом месте чертежа, чтобы n1h1, n2 f2, где h и f - горизонталь и фронталь плоскости, при условии, что h f.


Если плоскость занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (рис. 4-8, 4-9).



Рис. 4-8

Если - горизонтально проецирующая:

  П1 h1 = 1, f  П1

n h n1 h1; n f n2 f 2; n - горизонталь



Рис. 4-9

Если - фронтально проецирующая:

  П2 f2 = 2, h  П2.

n h n1 h1; n f n2 f2; n -фронталь


Чтобы лучше понять данное утверждение, нужно вспомнить , какие прямые являются линиями уровня в проецирующих плоскостях. Для этого посмотрите рис. 2-12 и 2-14 в модуле № 2.


Обратная задача.

Чтобы задать на чертеже плоскость, перпендикулярную данной прямой n, достаточно задать проекции горизонтали и фронтали этой плоскости так, чтобы f2 n2, a h1 n1. При этом, очевидно, должно выполняться условие h f (рис. 4-10).



Рис. 4-10

Если прямая n является прямой уровня, то плоскость, перпендикулярная ей, занимает проецирующее положение (рис. 4-11, 4-12) и может быть задана своей главной проекцией 1 или 2.

Если прямая n - горизонталь (рис. 4-11), то плоскость , перпендикулярная ей, является горизонтально проецирующей (1).



Рис. 4-11

Если прямая n - фронталь (рис. 4-12), то плоскость , перпендикулярная ей, является фронтально проецирующей (2).



Рис. 4-12

Если прямая n занимает проецирующее положение, то плоскость, перпендикулярная ей, является плоскостью уровня (рис. 4-13, 4-14).

Прямая n - горизонтально проецирующая (рис. 4-13), n - горизонтальная плоскость уровня (2).



Рис. 4-13

Прямая n - фронтально проецирующая (рис. 4-14), n - фронтальная плоскость уровня(1).



Рис. 4-14


Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения


Задача: Через точку К, взятую на прямой общего положения m, провести прямую n, тоже общего положения, перпендикулярную m (рис. 4-15).



Рис. 4-15

Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, то решение задачи на построение взаимно перпендикулярных прямых приходится сводить к задаче на построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны в том, и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Алгоритм решения:

1. Через точку К проводим плоскость , перпендикулярную прямой m. Плоскость задаём пересекающимися горизонталью и фронталью (рис. 4-16), причём, h1 m1, a f2 m2.



Рис. 4-16

2. Так как плоскость (h f) m, то в этой плоскости можно взять некоторую прямую общего положения n, проходящую через точку К (рис. 4-17). Она будет перпендикулярна m. Задаём n1.



Рис. 4-17

3. Известно, что прямую определяют две точки. На n1, кроме К1, возьмём ещё одну точку Р1.

4. Находим n2 в плоскости . Для этого проводим в этой плоскости прямую 12(11 -21). Точка Р1 принадлежит этой прямой, а, следовательно, плоскости . Находим Р2 и проводим прямую n2

Алгоритмическая запись решения:

1. m, = h f = K; h m h1 m1, h2 K2K1; f m f2 m2, f1 K2K1;

2. n = PK, n , n1 = P1K1; P1 1121 P1 P2 n2.

3. n n m.


Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения


Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Задача: Через точку К, взятую вне плоскости Г(АВС) провести плоскость Г (рис. 4-18).



Рис. 4-18

Алгоритм:

1. Плоскость (рис. 4-19) задаём пересекающимися прямыми m n = К. Согласно вышесказанному, одна из них должна быть перпендикулярна плоскости Г. Пусть это будет n.

2. В плоскости Г берём горизонталь и фронталь.

3. Через точку К1 проводим n1 h1, а через К2 проводим n2 f2, следовательно, n Г.

4. Прямую m, проходящую через точку К, задаём произвольно.

Таким образом, (n  m)  Г(АВС).



Рис. 4-19

Алгоритмическая запись решения:

1. h  Г  h2  h1, f  Г  f1  f2;

2.  = m  n = K, n  Г  n1  h1, n2  f2.

3.   Г.


Построение плоскости, касательной к поверхности


Касательная плоскость - это множество всех касательных прямых, проведённых к данной кривой поверхности и проходящих через одну её точку.

На чертеже плоскость, касательную к поверхности, можно задавать, например, двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к поверхности в данной точке. Но можно касательную плоскость задавать различными условиями, характер которых зависит от вида поверхности.

Например, к конусу касательную плоскость можно провести так, чтобы она проходила через точку М (рис. 4-20), расположенную вне поверхности конуса. Причём, такая задача имеет два решения, так как через данную точку можно провести две плоскости, касающиеся поверхности конуса по образующим SK и SK', которые в то же время являются касательными, соответственно, t и t'.



Рис. 4-20

Как вы думаете?

1. Сколько плоскостей, касательных к поверхности конуса, можно провести через его вершину без других дополнительных условий?

2. Существуют ли особые точки на поверхностях сферы или эллипсоида, или они состоят только из обыкновенных точек? Для ответа на этот вопрос Вам нужно посмотреть модуль № 1, раздел "Касательная и нормаль к кривой", стр. М1-30.

3. Сколько касательных плоскостей можно провести к эллипсоиду через любую точку на его поверхности?


Задача: Через точку М(М2) на сфере Г с центром в точке О провести плоскость , касательную к её поверхности (рис. 4-21).



Рис. 4-21

Так как любая прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере, будет перпендикулярна к её радиусу, то задача сводится к построению плоскости, перпендикулярной прямой. Плоскость удобно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых будет перпендикулярна радиусу сферы.

Алгоритм:

1. Находим М1 по принадлежности сфере (рис 4-22).



Рис. 4-22

2. Проводим R1 и R2 из центра сферы О1 и О2 к точкам М1 и М2.

3. Проводим t1 R1 - это горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной радиусу, а, следовательно, касательной к сфере. Поскольку, прямой угол на П1 спроецирован в натуральную величину, то прямая t -горизонталь, и её проекция на П2 будет перпендикулярна линиям связи  t2.

4. Аналогично проводим построения второй касательной t', которая перпендикулярна радиусу (рис. 4-23): t2' R2, t1' линиям связи, то есть t' - фронталь.

5. Плоскость (t t') R - касательная к сфере.

Примечание: В данной задаче видимость поверхности не учитывалась.



Рис. 4-23

Алгоритмическая запись решения:

1. М Г М1.

2. ОМ = R O1M1 = R1, O2M2 = R2.

3. (t t') = M; t=h, t R t1 R1, t2 M2M1.

4. t' = f, t' R t2' R2, t1' M2M1.

5. R - Г.

Для решения этой задачи можно использовать другие рассуждения.

1. Для нахождения точки М1 проводим параллель а(а2, а1) на поверхности сферы (рис. 4-24).



Рис. 4-24

2. Проводим t - касательную к окружности а(а1, а2). t1 будет перпендикулярна радиусу сферы R1, а t2, как касательная к а2, совпадёт с а2.

3. Проводим через точку М касательную прямую к окружности с(с1, с2) (рис. 4-25). t2', как касательная к с2, будет перпендикулярна радиусу R2, а t1', как касательная к с1, совпадёт с с1.



Рис. 4-25

4. Конечный результат этой задачи тот же, что и рассмотренный выше, и представлен на рис. 4-23.


Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами




К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Рассмотрим решение одной из таких задач.

Задача: Определить расстояние от точки М до прямой общего положения а (рис. 4-26).



Рис. 4-26

Алгоритм:

1 этап: Расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр. Поскольку прямая а - общего положения, то для построения перпендикуляра к ней необходимо решать задачу, аналогичную приведённой на стр. М4-4 данного модуля, то есть вначале через точку М провести плоскость , перпендикулярную а. Задаём эту плоскость, как обычно, h f, при этом h1 a1, a f2 a2

(рис. 4-27)



Рис. 4-27

2 этап: Для построения перпендикуляра необходимо найти для него вторую точку. Это будет точка К, принадлежащая прямой а. Для её нахождения нужно решить позиционную задачу, то есть, найти точку пересечения прямой а с плоскостью . Решаем 1ГПЗ по третьему алгоритму (рис. 4-28):

- вводим плоскость - посредник Г, Г  П1, Г а Г1 = а1;

- Г = b, Г  П1 b1(1121) = Г1, b b2(1222) 2.

- b2 a2 = K2 K1.



Рис. 4-28

3 этап: Находим натуральную величину МК методом прямоугольного треугольника

(рис. 4-29).



Рис. 4-29

Полное решение задачи показано на рис. 4-30.



Рис. 4-30

Алгоритмическая запись решения:

1. а, = h f = M, h1 a1, f2 a2.

2. Вводим плоскость - посредник Г,

- Г  П1, Г а Г1 = а1;

- Г = b, Г  П1 b1(1121) = Г1, b b2(1222) 2.

- b2 a2 = K2 K1.

3. Находим натуральную величину МК.

Выводы:

1. Решение всех метрических задач сводится к решению первой основной метрической задачи - на взаимную перпендикулярность прямой и плоскости.

2. При определении расстояний между геометрическими фигурами всегда используется вторая основная метрическая задача - на определение натуральной величины отрезка.

3. Плоскость, касательную к поверхности в одной точке, можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к данной поверхности.


Контрольные вопросы

1. Какие задачи называются метрическими?

2. Какие две основные метрические задачи Вы знаете?

3. Чем выгоднее задать плоскость, перпендикулярную прямой общего положения?

4. Как называется плоскость, перпендикулярная одной из линий уровня?

5. Как называется плоскость, перпендикулярная одной из проецирующих прямых?

6. Что называется плоскостью, касательной к поверхности?


  1   2   3   4   5

Похожие:

Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconУчебное пособие по курсу «Начертательная геометрия»
Н36 Начертательная геометрия. Модуль №1: учеб метод. Пособие / сост. Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти : тгу, 2007....
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconУчебное пособие по курсу «Начертательная геометрия»
Построить комплексные чертежи точек: А(15,30,0), В(30,25,15), С(30,10,15), D(15,30,20)
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconУчебное пособие по курсу «Начертательная геометрия»
Тольяттинского государственного университетапросами и: учеб метод. Пособие / сост. Т. А. Варенцова, Г. Н. Уполовникова. – Тольятти...
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconВопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Начертательная геометрия» студентам специальности 130501 Начертательная геометрия
Предмет начертательной геометрии. Цели, задачи, которые изучают в этом курсе. Требования, предъявляемые к проекционному чертежу
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconРабочая программа учебной дисциплины опд. Ф. 01. 01 «Начертательная геометрия и инженерная графика»
«Начертательная геометрия. Инженерная графика», утвержденной департаментом образовательных программ и стандартов профессионального...
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconПримерная программа дисциплины
Дисциплина "Начертательная геометрия. Инженерная графика" состоит из двух структурно и методически согласованных разделов: "Начертательная...
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconРабочая программа учебной дисциплины опд. Ф. 01. 01 «Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика»
«Начертательная геометрия. Инженерная графика», утвержденной департаментом образовательных программ и стандартов профессионального...
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconНовые поступления в библиотеку с 1 по 30 июня 2009 г. Обозначения отделов библиотеки
Климухин А. Г. Начертательная геометрия: учебное пособие / А. Г. Климухин. Изд стер. М.: Архитектура-С, 2007. 336 с.: ил. Экземпляры:...
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconКонтрольные вопросы по курсу «Начертательная геометрия»
Сформулируйте основные свойства прямоугольного (ортогонального) проецирования. Приведите примеры
Учебное пособие по курсу «Начертательная геометрия» iconМатематика 3 физика 3 химия 4 техника 5 домоводство 5
Макарова, М. Н. Начертательная геометрия: М152 учеб пособие для студентов художеств специ
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница