«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В




Скачать 159.37 Kb.
Название«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В
Дата30.08.2012
Размер159.37 Kb.
ТипДокументы


Муниципальное общеобразовательное учреждение

Чикская средняя общеобразовательная школа №7


Курс подготовки к ЕГЭ по математике

для учащихся 11 класса

«Теория вероятностей»

(базовый уровень)


Составила: Зацепина Н. В.

учитель математики


пгт. Чик

Коченёвский район

Новосибирская область

2012 год

Пояснительная записка


Данный экспресс - курс подготовки к ЕГЭ по математике поможет обобщить и систематизировать знания обучающихся 11 класса при подготовке к итоговой аттестации за курс средней школы на базовом уровне.


Содержание:

  1. Элементы теории вероятностей.

  2. Вероятности событий. Решение основных типов задач базового уровня.

  3. Задачи для самостоятельного решения.

  4. Ответы к задачам для самостоятельного решения.

Весь необходимый материал изложен кратко и просто. Все теоретические вопросы сопровождаются решением примерных заданий ЕГЭ 2012 года по математике типа В10.


Задания на экзамене будут сформулированы, может быть, иначе и так чтобы ответом на задание первой части было целое число или число, записанное в виде десятичной дроби, но решаться они будут по подобным алгоритмам и по тем же формулам. В связи с тем, что задания с кратким ответом обрабатываются автоматически и не оценивается само решение, то советую вам при подготовке к экзамену обратить внимание на знание основных формул, алгоритмов, на проведение правильных преобразований, операций или вычислений, которые приводят к получению конечного ответа. Отработайте их до автоматизма, и вы на экзамене сможете экономить время, не записывая подробно преобразования, вычисления или рассуждения, которые возможно будете выполнять в уме. Таким образом, у вас останется больше времени на решение более сложных заданий с развёрнутым ответом. Желаю успеха.


Список литературы и Интернет – ресурсов:


  1. Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. Алгебра и математический анализ. 10 класс и 11 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Мнемозина, 2001.

  2. А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В двух частя. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009. А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В двух частя. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009.

  3. А. А. Урман, И. Н. Вольхина, Е. В. Смирнова. Изучение теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики. – Новосибирск: НИПКиПРО, 2008.

  4. ЕГЭ 2012. Открытый банк заданий по математике – http://www.mathege.ru:8080.

  5. Российский образование. Федеральный портал. Демонстрационные варианты тестов ЕГЭ и ГИА – http://www.edu.ru/moodle.

  6. Московский институт открытого образования – http://ege2010.mioo.ru




    1. Элементы теории вероятностей


1. Введение в вероятность.


Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (считается та, которая сверху) и делает соответствующее число ходов: 1,2,3,4,5 или 6.

Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, полученный результат – событием.

Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик?

Первое предсказание: выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5 или 6. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.


Определение 1. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.


Второе предсказание: При бросании кубика выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, нет.


Определение 2. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.


Третье предсказание: выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? На этот вопрос с полной уверенностью ответить нельзя, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить.

Определение 3. Событие, которое в данном опыте может наступить, а может и не наступить, называют случайным событием.


Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что живём мы в мире случайных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие-то закономерности в случайном мире.


2. Вероятность случайного события.


В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятность», например: «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает» и т.д. Здесь интуитивно оценивается возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции. Например, мы заранее знаем, что на детский сеанс пойдет большинство школьников, чем взрослых, или, что при выполнении многих видов работ вредна торопливость, так как в спешке можно сделать ошибки.

Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции, невозможно и трудно. Например, это можно сказать про событие: «герб появится 2 раза при пятикратном бросании монеты». Каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, то есть определенной оценкой. Такую оценку называют вероятностью события.


Например, найдем вероятность появления «орла» при бросании монеты, которое можно проводить самостоятельно. При проведении большого числа опытов нетрудно заметить, что результат выпадения «орла» или «решки» похож и примерно равен числу 0,5. Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, не означает, что в любой серии экспериментов (это было и в опытах) «орёл» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, то можно дать прогноз, что «орёл» выпадет примерно в половине случаев. То есть, если монета однород­на и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпаде­ния орла и решки одинаковы.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках отве­та на вопрос: как часто наступает то, или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?


Обозначим какое – либо случайное событие большой латинской буквой A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Первой буквой французского слова probabilite, что в переводе означает – возможность, вероятность.

Определение классической вероятности. Вероятность события А будем обозначать: , где m – число благоприятных исходов, а n – число всех возможных исходов.


Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятных событий ко всем возможным событиям. Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого исходов.

При этом учитывается что:

  1. все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными;

  2. вероятность достоверного события равна 1;

  3. вероятность невозможного события равна 0.

  4. вероятность события А не меньше нуля, но не больше единицы.




    1. Вероятности событий. Решение основных типов задач

1. Примеры решения задач базового уровня.


1. Бросают игральный кубик, то есть небольшой куб, на гранях которого нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Каждый из этих исходов является случайным. Какова вероятность выпадения 4 очков? Решение: Р (А) = m/n, Р (А) = 1 : 6 = 0,1(6). Ответ: 0,17


2. Какова вероятность появления четных очков при одном бросании игрального кубика?

Решение: Пусть А – событие «выпадет четное число» n = 6, так как число возможных исходов 6 (1; 2; 3; 4; 5; 6); m = 3, так как только 3 четных очка (2; 4; 6;).

Значит Р(А) = 3:6 = 0,5. Ответ: 0,5


3. Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

Решение: Всего в слове статистика 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5; буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10; буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5; буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5; буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10. Вероятнее всего вытащить карточку с буквой «т». Вероятность одинакова у букв «с», «а», «и»: P(с) = Р(а) = Р(и) = 2/10 = 0,2. Ответ: 0,2


4. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны трое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

Решение: Число всех возможных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из 30, то есть n = C330 , где Скn = n!/k!(nk)! Число благоприятных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать троих учащихся из числа девочек, то есть m = C318. Р(А) = m/n = 204/1015. Ответ: 0,20098


5. Бросаются 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше13?

Решение: n = 36, и любой из этих исходов благоприятствует наступлению события А, заключает в том, что сумма выпавших очков меньше 13, m =36, P = 36 : 36 = 1.

Ответ: 1


6. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь, б) нестандартная деталь.

Решение: n = 21+10 – 1 = 30; а) m = 21 – 1 = 20, Р = 20/30 = 2/3 = 0,(6) ; б) m =10, Р = 10/30 = 0,(3) . Ответ: a) 0,7; б) ≈ 0,3


2. ЕГЭ 2012 по математике. Задания типа В10.

«Вероятности событий»


  1. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика (кости). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Благоприятных вариантов вбрасывания: 2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 6 + 2; 5 + 3;

m = 5 вариантов. Всего возможных вариантов вбрасывания двух1 игральных кубиков:

n = 6 · 6 = 36. Р = 5 : 36 = 0,138 ≈ 0,14. Ответ: 0,14


  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение: По схеме Бернулли: Рn(k) = Сnk ∙ рkqn-k , где n – число испытаний, k – число успехов, p – вероятность успеха,

q – вероятность неудачи, . Р = С22 р2 q0 , где С22 = 1; р = 0,5; q = 0,5.

Р = 0,52 = 0,25. Ответ: 0,25


1 Примечание. Для трёх кубиков всех возможных вариантов вбрасывания: n = 6 · 6 · 6 = 216.

  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение: Спортсменок из Китая: m = 20 – 8 – 7 = 5. Всех спортсменок: n = 20. Р = 5 : 20 = 0,2. Ответ: 0,25


  1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Не подтекают насосов: m = 1000 – 5 = 995. Всего насосов: n = 1000. Р = 995 : 1000 = 0,995. Ответ: 0,995


  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: Качественных сумок: m = 100. Всех сумок: n = 100 + 8 = 108. Р = 100 : 108 = 0,925 ≈ 0,93. Ответ: 0,93


  1. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов — в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: В последний день докладов: m = (50 – 8) : 2 = 21. Всех докладов: n = 50. Р = 21 : 50 = 0,42. Ответ: 0,42



  1. Задачи для самостоятельного решения

ЕГЭ 2012 по математике. Задания типа В10. «Вероятности событий»


  1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.




  1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.




  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.




  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.




  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.




  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.




  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

  2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.




  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.




  1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.




  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.




  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.




  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.




  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, выступления гимнасток, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.




  1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.




  1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.




  1. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.




  1. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.




  1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 28 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.




  1. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.




  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.




  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

  2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.




  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится девять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.




  1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 110 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.




  1. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?




  1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?




  1. В классе 20 учащихся. Из них 8 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны одного учащегося. Какова вероятность, что это девушки?




  1. В урне всего 75 шаров белых и черных, из них 15 белых. Из урны наугад достают один случайно выбранный шар. Найдите вероятность того, что этот шар не будет белым. (Ответ запишите в процентах, например: 40)




  1. Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало всего 10 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 4 очка.




    1. Ответы к задачам для самостоятельного решения.



1

2

3

4

5

Ответ

4 : 36 ≈ 0,11

2 : 36 ≈ 0,06

6 : 216 ≈ 0,03

15 : 216 ≈ 0,7

10 : 216 ≈ 0,05



6

7

8

9

10

Ответ

3 : 8 = 0,375

2 : 4 = 0,5

1 : 16 = 0,0625

1 : 8 = 0,125

3 : 8 = 0,375



11

12

13

14

15

Ответ

13 : 50 = 0,26

19 : 40 = 0,475

16 : 64 = 0,25

28 : 80 = 0,35

11 : 50 = 0,22



16

17

18

19

20

Ответ

1393 : 1400 = 0,995

496 : 500 = 0,992

1386 : 1400 = 0,99

1972 : 2000 = 0,986

14 : 1400 = 0,007



21

22

23

24

25

Ответ

200 : 204 ≈ 0,98

50 : 55 ≈ 0,91

80 : 81 ≈ 0,99

120 : 129 ≈ 0,93

110 : 115 ≈ 0,96



26

27

28

29

30

Ответ

6 : 15 = 0,4

10 : 50 = 0,2

12 : 20 = 0,6

60:75 ·100 = 80

0,25



Похожие:

«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В icon«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В
Данный экспресс курс подготовки к егэ по математике поможет обобщить и систематизировать знания обучающихся 11 класса при подготовке...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconРабочая программа по учебному курсу «Математика» 9 класс Базовый уровень
Составила Рахматуллина Дамира Виталиевна, учитель математики первой квалификационной категории моу «Озёрная сош»
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconПрограмма дисциплины
Кибзун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами....
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconРабочая программа по математике 10-11 класс ( базовый уровень)
Рабочая программа по математике 10-11 го классов (базовый уровень) составлена на основе Примерной программы среднего (полного) общего...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconБегенеева Т. П. Поурочные разработки по обществознанию. Базовый уровень: 11 кл
Л. Н. Боголюбов, Л. Ф. Иванова, А. Ю. Лазебникова. Обществознание. 10-11 кл. Базовый уровень. Профильный уровень. // Программы общеобразовательных...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconПрограмма по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» разработана в соответствии с Государственным стандартом образования РФ (ЕН. Общие...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconУчебника издательство
Алгебра и начала математического анализа. (базовый уровень) 10-11 кл.: Учебник (теория)
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconРабочая программа по предмету «английский язык»
Базовый уровень) с учетом требований государственного стандарта среднего (полного) общего образования по иностранному языку (Базовый...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconПрограмма курса «Теория вероятностей»
Предмет и методы теории вероятностей. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента. Статистическая...
«Теория вероятностей» (базовый уровень) Составила: Зацепина Н. В iconРабочая программа по математике 11 класс (базовый уровень)
«Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница