Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника




Скачать 318.43 Kb.
НазваниеПрограммы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника
страница1/3
Дата16.02.2013
Размер318.43 Kb.
ТипПояснительная записка
  1   2   3
Программы курсов по выбору по математике

Задачи по геометрии треугольника



И.Н. Плохова, учитель математики

 А.В. Шапеева, учитель математики

средняя школа 46, г. Набережные Челны

Пояснительная записка

Курс рассчитан на 17 часов.

Решение геометрических задач часто вызывает затруднения у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редко какая задача может бьпъ решена только с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов, теорий, доказательств тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур. Для успешного решения геометрических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным.

При обучении решению геометрических задач важно показать учащимся различные методы решения одной и той же задачи. Только при сопоставлении можно выбрать красивый и рациональный путь решения.

Данный курс систематизирует и углубляет ранее изученные знания и приобретенные умения и навыки. Материал группируется вокруг треугольника. Треугольник - наиболее употребительная фигура в планиметрии, и определения, формулировки теорем, формулы вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации курса на первом этапе принять обзорные лекции, в которых кратко освещается весь - теоретический материал, обращается внимание учащихся как на логику доказательств, так и на их поиск. Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач, которые либо включаются в содержание лекции и демонстрируются учителем, либо решаются с помощью учителя.

На втором этапе используются свойства треугольника, повторение которых прошло на первом этапе, поэтому рекомендуется проведение уроков в виде бесед, в ходе которых учащиеся под руководством учителя доказывают основные теоремы и решают задачи. Третий этап - контрольный. Здесь формируются умения формировать доказательные суждения и применять весь багаж знаний по планиметрии в ходе решения содержательных задач. Учитель выступает в роли консультанта и проводит индивидуальную работу с учащимися.

Как при проведении доказательных рассуждений, так и в процессе поиска решения задач следует обращать внимание учащихся на геометрические конфигурации, вычленяемые из чертежа, иллюстрирующего условие задачи, которые позволяют создать наглядную основу, обеспечивающую эвристический переход от содержания задачи к ранее установленным геометрическим фактам.

Предлагаемые задачи варьируются по трудности от простых учебных до сложных, предлагаемых на вступительных экзаменах или олимпиадах. Причем делается акцент на то, что самые "очевидные" факты необходимо строго обосновывать. При изложении материала преподавателем следует обратить внимание на анализ содержания условия задачи и развития ее сюжетной линии, используемые методы решения, отслеживание причинно-следственных связей в рассуждениях.

Цели курса:

- систематизировать знания учащихся о треугольниках;

систематизировать знания учащихся о треугольниках;

- формировать правильные геометрические представления об изучаемых предметах;

расширить представление учащихся о методах и приемах решения учебных задач;

- развитие абстрактного и логического мышления;

- познакомить со свойствами биссектрис и медиан треугольника, которые не включены в школьную программу;

- способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному выбору дальнейшего профиля обучения;

- научить, используя данные элементы треугольника, составлять системы уравнений относительно любых других элементов и находить их;

- формировать уверенность в том, что, зная какие-нибудь два элемента прямоугольного треугольника, можно найти все остальные.

Учебно-тематический план

¹

Наименование темы

Кол-во часов

1

Методы и приемы решения учебных задач

2

2

Произвольные треугольники

2

3

Прямоугольные треугольники

2

4

Подобие и равенства треугольников

2

5

Площади

3

6

Замечательные точки треугольника

2

7

Треугольник и окружность

2

8

Итоговое занятие. Решение задач

2

Содержание программы

1. Методы и приемы решения учебных задач:

- дополнительные построения;

- принцип непрерывности;

- метод доказательства "от противного";

- метод доказательства через контрпример;

- метод вспомогательных фигур (вспомогательный треугольник);

- метод введения вспомогательного элемента (вспомогательный отрезок);

- метод площадей.

2. Даны все стороны треугольника и надо найти остальные элементы, и когда даны две стороны и какой-либо элемент, а найти третью сторону.

3. Прямоугольный треугольник и его свойства.

4. Признаки подобия треугольников и теорема о метрических способностях в подобных треугольниках: в подобных треугольниках периметры и сходственные стороны пропорциональны, а площади относятся как квадраты сходственных сторон. При этом за сходственные размеры можно брать и медианы, и биссектрисы, и радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д.

5. Площади. Отношение площадей треугольников, имеющих общую вы-с »ту, общий угол. Отношение площадей подобных треугольников.

6. Свойства биссектрисы, медиан и высот. Четыре замечательные точки в треугольнике - это точки пересечения: медиан треугольника; биссектрис треугольника; перпендикуляров к сторонам треугольника, проходящих через их середины; и высот треугольника. Из них наиболее важны первые три. Точка пересечения медиан треугольника, которой каждая из них делятся в отношении 2:1, считая от вершины, называется центром тяжести треугольника. Точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника называется центром окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Теорема об ортоцентре треугольника в школьной практике фактически не используется. Поэтому доказательства этой теоремы и здесь не приводятся. Необходимо только знать о существовании ортоцентра треугольника.

7. Вписанные и описанные треугольники.

Литература

1. Антонов И.П., Выгодский М.Я. и др. Сборник задач по элементарной математике (пособие для самообразования). - М.: Наука, 1979.

2. Газета "Математика". - ¹48. - 1999, ¹21.- 2000, ¹8.- 2002, ¹9. - 2002.

3. Кутасов А.Д., Пиголкина Т. С. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Наука, 1982.

Приложения

Примерные задачи

1. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон треугольника 6050. Найти стороны.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.

3. В треугольнике основание равно 60 см, а высота 12 см и медиана, проведенная к основанию, 13 см. Определить боковые стороны.

4. На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом Ь построены квадраты во внешние стороны. Центры этих квадратов соединены между собой прямыми линиями. Найти площадь получившегося треугольника.

5. В равносторонний треугольник АВС, сторона которого а, вписан другой равносторонний треугольник ЬММ, вершины которого лежат на сторонах первого треугольника и делят каждую из них в отношении 1: 2. Определить площадь треугольника ЬММ.

6. Найти стороны прямоугольного треугольника по данным: периметру 2р и высоте Ь.

7. На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки СМ и СМ. Определить длину этих отрезков, зная периметр 2р треугольника АВС, его основание АВ = 2а и периметр 2р четырехугольника АММВ, отсеченного прямой ММ.

8. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

9. Основание треугольника делится высотою на части длиной 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основание треугольника?

10. Высота треугольника равна 4; она делит основание на две части, относящиеся, как 1:8. Найти длину прямой, параллельной высоте и делящей треугольники на равновеликие части.

11. Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника.

12. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен А. Определить отношение радиусов вписанного и описанного кругов.

Методы и приемы решения учебных задач

1. Дополнительное построение. Продли медиану.

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

2. Принцип непрерывности.

Характеристика метода. Пусть величина К (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке К >0, а при другом положении X на отрезке К>0, то найдется такое положение Хна этом отрезке, при котором К=0.

3. Метод доказательства "от противного".

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида А = >В (А- условие, В - заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

- предполагаем, что заключение В не выполняется;

- путем логических рассуждений приходим к тому, что условие А не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием;

- дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении;

делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение В выполняется (что и требовалось доказать).

4. Метод доказательства "от противного".

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида А = >В (*). (А - условие, В - заключение). Идея доказательства опирается на равносильность теоремы (*) и теоремы противоположной данной, т. е. теоремы В = > А (**).

Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

- составляем теорему вида (**);

- доказываем составленную теорему;

- основываясь на описанной выше равносильности, делаем вывод, что теорема (утверждение) (*) верна.

5. Метод доказательства через контрпример.

Характеристика метода. Данный метод применяется в ситуации, когда н; до показать ложность утверждения вида: А => В (*).

В этом случае создается (строится) объект (фигура, формула), который обладает свойствами, входящими в условие А, но не обладает свойствами, присутствующими в заключении В. Существование такого объекта показывает ложность утверждения (*).

Конечно, редко встречаются задачи, где явно требуется доказать ложность некоторого утверждения, но иногда, например после выдвижения гипотезы, легче попытаться опровергнуть ее через контрпример, а потом, в случае неудачи, начать доказывать, чем сразу приступать к доказательству.

6. Метод вспомогательных фигур. Вспомогательный треугольник.

Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного пост юения ( продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) полз чают треугольник, который дает возможность получить решение задача Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения зада-чр свойствами:

- его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии задачи;

- для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для фигур, непосредственно заданных условием.

7. Метод введения вспомогательного элемента. Вспомогательный отрезок.

Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, х и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи "исчезает" (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.

8. Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей - из геометрической задачи он "делает" алгебраическую, сводя все к решению уравнения, а иногда системы уравнений.

Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.

Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.

Общие рекомендации

рекомендации

Приведем несколько советов на тот случай, когда задача не поддается решению.

Исследуйте задачу наиболее естественным путем, допуская, что она решена, и постарайтесь в соответствующем порядке наглядно представить все соотношения, которые, согласно условию, должны иметь место между неизвестными и данными. Ответьте себе, что дано и что требуется найти.

Помните, что целью задачи на нахождение является неизвестное. Чтобы сосредоточить свое внимание на этой цели, спросите себя: что представляет собой неизвестное?

Целью задачи на доказательство является заключение. Спросите себя: в чем состоит заключение?

Испытайте задачу на правдоподобие, переформулируйте задачу, подумайте, не встречали ли похожую, используйте аналогию.

Начиная решать задачу, используйте определение и свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, ведите рассуждения. Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните похожие задачи.
  1   2   3

Похожие:

Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconИсследовательская работа. Ф. И. О
Тема работы: «Сравнительный анализ свойств геометрии треугольника на плоскости и геометрии треугольника на сфере»
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconБилеты по геометрии 8п
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconБилеты по геометрии №1
Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекцию медиан этого треугольника?
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconЭкзаменационные билеты по геометрии 9 класс
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (неравенство треугольника)
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconОбластной методический конкурс педагогов образовательных учреждений Костромской области Дидактические материалы для учащихся по геометрии в 9 классе тема
Свойства элементов прямоугольного треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconМоей работы «Сравнительный анализ замечательных соотношений по геометрии треугольника и геометрии тетраэдра»
Из работы удалены доказательства утверждений. Пропущенная часть текста заменена знаком
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconРабочая программа по геометрии 7 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования, примерной программы основного общего образования по математике и Программы по геометрии авторов Л.
Верхнедеревенская средняя общеобразовательная школа Льговского района Курской области
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconТехнология разработки курсов по выбору для предпрофильной подготовки и элективных курсов для профильной школы Условия выбора курсов по выбору (9 класс)
Курсы должны быть предоставлены в количестве, позволяющем ученику осуществить реальный выбор (один из одного это не выбор)
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconПрограмма элективного курса по математике
Данный курс составлен с использованием программы факультативных курсов по математике
Программы курсов по выбору по математике Задачи по геометрии треугольника iconРабочая программа по геометрии для 9 класса составлена на основе федерального компонента Государственного стандарта основного общего образования, Примерной программы основного общего образования по математике и программы курса геометрии 9 класса автора А.
А. В. Погорелова. При составлении программы учтены рекомендации инструктивно – методического письма «О преподавании математики в...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница