511211 – Математическое моделировани




Скачать 178.67 Kb.
Название511211 – Математическое моделировани
Дата31.01.2013
Размер178.67 Kb.
ТипДокументы
Уральский государственный университет им. А.М. Горького

Математико-механический факультет

Магистратура


Аннотация магистерской программы

511211 – Математическое моделирование


Характеристика научно-исследовательской деятельности по заявленной магистерской программе.

Исследования проводятся на кафедре математической физики совместно с сотрудниками Института Машиноведения УрО РАН. Научно-исследовательская работа коллектива лежит в области математического моделирования физико-химической механики и процессов управления. В этой области сложилось несколько научных направлений. Исследования нелинейных моделей механических и физико-химических явлений проводятся под руководством профессора, доктора физико-математических наук Л.Б. Ряшко. Моделирование процессов направленной кристаллизации растворов и расплавов проводится под руководством профессора, доктора физико-математических наук Д.В.Александрова. Изучение структурно-фазовых превращений и гидромеханических явлений в дисперсных средах различной природы проводится под руководством заведующего кафедрой, проректора по научной работе, профессора, доктора физико-математических наук А.О.Иванова и профессора, доктора физико-математических наук А.Ю.Зубарева. Заведующий лабораторией прикладной механики. Института Машиноведения УрО РАН, профессор, доктор технических наук В.П.Федотов возглавляет исследования в области математического моделирования и разработок алгоритмов и программ параллельного действия для решения связных задач деформирования, тепломассопереноса и разрушения. Исследования коллектива кафедры регулярно поддерживаются грантами РФФИ, Федерального Агенства по Образованию, Международными грантами. У сотрудников кафедры установились регулярные контакты с научными центрами и университетами Великобритании, Германии, Франции, Испании.


Родственные научные специальности аспирантуры УрГУ

  1. 010102 “Дифференциальные уравнения”

  2. 010107 - "Вычислительная математика"

  3. 051318 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.

  4. 010204 ”Механика деформируемого твердого тела”

  5. 010205 «Механика жидкости, газа и плазмы

Имеются советы в УрГУ и ИММ УрО РАН, ИМАШ УрО РАН по защитам кандидатских диссертаций по указанным специальностям.


Научный руководитель: Зубарев Андрей Юрьевич, д. ф.-м. наук, профессор кафедры математической физики.

Зубарев А.Ю.окончил физический факультет УрГУ в 1979 году по специальности «Физика». Доктор физико-математических наук (1994), профессор (1996). Работает на кафедре математической физики УрГУ с 1983 года. Успешно ведет научную работу в области математического моделирования реологических и физико-химических процессов в гетерогенных средах и сложных жидкостях. В разные годы А.Ю.Зубарев являлся руководителем шести грантов РФФИ, трех грантов Министерства Образования и Федерального Агенства по Образованию РФ, гранта «Университеты России», грантов Президента РФ для выдающихся ученых России и выдающихся ученых – молодых докторов наук; соруководителем четырех российско-германских грантов. Неоднократно получал гранты Немецкого Научного Общества, Национального Центра Научных Исследований Франции, Королевского Научного Общества Великобритании. В 2007 году получил позицию приглашенного профессора Университета Ниццы - Софии Антиполис (Франция), в 2003, 2006 годах получал позиции приглашенного исследователя этого университета. Под его руководством защищена диссертация кандидата физико-математических наук.


Учебный план по региональной компоненте подготовки магистров

по программе "Математическое моделирование"


Курс: Дифференциальные уравнения. Раздел ДНМ.03


Учебный план специализированной подготовки магистров

по программе "Математическое моделирование"

1. Учебно-научный семинар 225

2. Механика жидкости и газа 150

3. Компьютерное моделирование нелинейной динамики 75

4. Инструментальные средства научных исследований 75

6. Асимптотические методы 75

7. Нелинейная динамика: бифуркации и хаос 75

8. Связные задачи деформирования и тепломассопереноса 75

9. Тепломассоперенос 75

10. Дифференциальные модели в частных производных

с подвижными границами 75


Итого 900 часов (трудоемкость)


Программа курса

Механика жикости и газа

Автор – д.ф.-м.н А.Ю.Зубарев


Приближение механики сплошной среды. Уравнение неразрывности.

Гидродинамика идеальной жидкости.

Приближение идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Примеры задач гидростатики, сила Архимеда. Уравнение Бернулли и закон сохранения энергии. Примеры использования теоремы Бернулли. Плотность потока импульса и теорема Эйлера; ее применение. Теоремы Гельмгольца о вихрях в идеальной жидкости. Потенциальное течение идеальной жидкости. Потенциал скорости. Задачи о стационарном обтекании идеальной жидкостью кругового цилиндра и твердого шара. Парадокс Даламбера-Эйлера. Решение задач гидродинамики методами конформных преобразований. Присоединенная масса. Гравитационные волны в идеальной жидкости.

Гидродинамика вязкой жидкости.

Тензор вязких напряжений для ньютоновских жидкостей. Уравнение Навье-Стокса и граничные уравнения к нему. Примеры течения вязких жидкостей: плоские течения Куэтта и Пуазейля, течения Пуазейля в трубах; течение Куэтта между вращающимися цилиндрами; течение по наклонному клину; сдвиговые волны в вязкой жидкости.

Течения при малых числах Рейнольдса. Задачи Стокса и Адамара-Рыбчинского об обтекании твердой сферы и вязкой капли. Эффективная вязкость суспензии. Задача Эйнштейна об эффективной вязкости разбавленных суспензий твердых сфер. Формулы Бэтчелора для вязкости умеренно-концентрированных суспензий. Теория Френкеля-Акривоса вязкости сильно концентрированных суспензий. Эмпирические методы оценки вязкости суспензий с промежуточной концентрацией частиц.

Течения при больших числах Рейнольдса. Пограничный слой. Уравнения Прантдля пограничного слоя. Задача Блазиуса.

Турбулентность

Явление турбулентности. Понятия о подобных потоках. Уравнения Рейнольдса, проблема их замыкания. Турбулентная вязкость. Локально-однородная турбулентность. Логарифмический турбулентный слой. Турбулентный пограничный слой. Турбулентное течение в трубах. Затопленная турбулентная струя.


Основы теории тепломассопереноса

Уравнения тепломассопереноса. Законы Фурье и Фика. Формула Эйнштейна коэффициента диффузии броуновской частицы. Кондуктивный тепломассоперенос вдоль бесконечной прямой. Формула Пуассона. Задача Крамерса о диффузии через потенциальный барьер. Закон Аррениуса. Конвективный перенос. Число Прандтля. Тепло-массоперенос перенос в ламинарном и в турбулентном пограничном слое. Интерполяционная формула Левича.

Магнитная гидродинамика

Уравнения магнитной гидродинамики проводящей жидкости. Магнитное давление. Вмороженное поле. Течение Гартмана. Магнитогдродинамические волны: волны Альвена и магнитоакустические волны. Эффект турбулентного динамо.

Реология неньютоновских жидкостей.

Уравнения течения намагничивающихся жидкостей. Равновесные конфигурации в магнитном поле и магнитовязкий эффект. Жидкие кристаллы. Уравнения нематодинамики Лесли-Эриксена. Нормальные напряжения при сдвиговом течении. Течение нематика в поле. Вязкости Месовича. Упругие напряжения Франка. Эффект Фредерикса. Реология вязкоупругих сред – релаксация напряжения и ретардация скорости сдвига.


Программа курса

Компьютерное моделирование нелинейной динамики

Автор – к.ф.-м.н И.А.Башкирцева


Линейные дискретные модели популяционной динамики. Нелинейная модель Ферхюльста. Регулярные и хаотические режимы в модели Ферхюльста. Компьютерная визуализация динамики. Advanced Grapher. Компьютерное моделирование и анализ дискретных моделей динамики. Компьютерный анализ модели Ферхюльста динамики популяции. Непрерывные модели популяционной динамики. Динамика взаимодействующих популяций. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Одношаговые и многошаговые, явные и неявные схемы. Аппроксимация, устойчивость и сходимость численных методов. Динамика нелинейной системы вблизи равновесия. Динамика системы вблизи цикла. Компьютерное моделирование фазовых портретов и их бифуркаций. Компьютерное моделирование и анализ регулярных и хаотических колебательных режимов. Стохастическая динамика и ее вероятностное описание. Компьютерное моделирование стохастической динамики

Данный курс прежде всего ориентирован на практическое использование базовых знаний, полученных студентами в рамках теоретического курса «Нелинейная динамика: бифуркации и хаос». Центральной частью курса является компьютерный практикум, в ходе которого студенты магистратуры выполняют индивидуальные задания, охватывающие весь цикл математического моделирования: модель – алгоритм – программа. Каждое задание предполагает проведение сравнительного анализа численных методов и использование современных средств компьютерной визуализации.


Программа курса

Тепломасоперенос

Автор – д.ф.-м.н, профессор Д.В. Александров


Уравнения теплопроводности и диффузии примеси (классический случай параболических уравнений). Уравнения теплопроводности и диффузии примеси (гиперболический случай, конечная скорость распространения волн). Граничные и начальные условия для уравнения теплопроводности. Стационарное, квазистационарное и автомодельное решение одномерного уравнения теплопроводности. Различные методы решения нестационарных уравнений теплопроводности (декартовы, цилиндрические и сферические координаты). Уравнение теплопроводности в задачах с движущимися границами и граничные условия на этих границах. Точные решения в квазистационарном и автомодельном случаях. Общая постановка термодиффузионной задачи Стефана. Оценка характерных времен процесса. Различные примеры формулировки задачи Стефана из геофизики, металлургии и других разделов физики. Отдельные аналитические решения задачи Стефана из прикладной физики.


Программа курса

Дифференциальные уравнения

Автор – д.ф.-м.н Л.Б.Ряшко


Броуновское движение и его модель – винеровский процесс. Стохастический интеграл Ито. Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности. Формула Ито. Прямое уравнение Колмогорова. Устойчивость стохастических систем. Стохастическая чувствительность нелинейных систем.

Численное моделирование решений стохастических систем. Индуцированные шумами переходы и стохастические бифуркации. Использование стохастических и хаотических процессов для моделирования и анализа физико-химических, механических и биологических процессов.


Программа курса

Нелинейная динамика: бифуркации и хаос

Автор – д.ф.-м.н Л.Б.Ряшко


Одномерные дискретные отображения: простейшая модель, квадратичное отображение, отображение «тент». Положения равновесия, циклы. Методы отыскания, анализ устойчивости. Бифуркации рождения цикла и удвоения периода. Порядок и хаос. Характеристический показатель. Самоподобие. Закон универсальности. Константы Фейгенбаума. Двумерное отображение Эно. Непрерывные динамические модели: логистическое уравнение, «хищник-жертва», брюсселятор, модели Лоренца и Ресслера.

Положения равновесия, циклы систем дифференциальных уравнений. Методы отыскания. Сечения Пуанкаре. Анализ устойчивости, мультипликаторы, характеристические показатели. Мягкая и жесткая бифуркации рождения цикла.

Расщепление цикла. Каскад бифуркаций удвоения периода. Квазипериодические решения. Бифуркация рождения тора. Странные аттракторы.


Программа курса

Инструментальные средства научных исследований

Автор – к.ф.-м.н Е..А.Елфимова


Основная цель курса - научить магистрантов использовать универсальные математические системы для эффективного проведения научных исследований. Рассматриваемые программные пакеты позволяют выполнить большой блок исследовательских задач от проведения численных и/или аналитических расчетов, обработки данных до подготовки научных статьей к печати.

I. Математический пакет Mathсad

Основы работы: интерфейс, синтаксис и выражения, операторы, основные объекты.

Аналитические преобразования. Операции с полиномами.

Пределы, дифференцирование, интегрирование, интегральные преобразования.

Численные преобразования. Точность вычислений. Символьные преобразования.

Решение уравнений. Алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных.

Решение систем уравнений.Работа с массивами данных. Векторы и матрицы.

Визуализация данных. Двумерная графика. Трехмерная графика. Специализированная графика.

Решение оптимизационных задач. Анализ данных. Статистические функции. Управление данными: импорт, экспорт данных. Программирование.

II. Математические публикации.

Знакомство с пакетом MikTex. Интерфейс редактора WinEdt. Структура исходного файла, стили, преамбула документа.Набор и редактирование текста. Шрифты, размеры, формат и типы абзацев, блоки, разрывы интервалы переносы.Формулы. Верстка таблиц. Создание оглавления. Библиография и алфавитные указатели. Графика. Создание рисунков. Работа с графическими объектами. Импортирование графических файлов.

Форматы графических файлов. PS-файлы. Конверторы.


Программа курса

Связные задачи деформирования и тепломассопереноса

Автор д.т..н В.П.Федотов


Основы тензорного исчисления

Основные уравнения теории упругости и пластичности

Уравнения теплопроводности и диффузии в нагруженных телах

Механика разрушения

Классификация численных методов для задач математической физики

Метод граничных элементов

Численно-аналитические методы решения прикладных задач тепломассопереноса.


Вопросы к экзамену для поступления в магистратуру


  1. Определители N-го порядка. Свойства определителей. Разложение определителя по минорам.

  2. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость элементов. Базис и размерность пространства. Размерность суммы пространств *. Прямая сумма, разложение линейного пространства в прямую сумму одномерных подпространств.

  3. Матрицы и действия с ними. Теорема о ранге матрицы. Определитель произведения матриц. Обратная матрица.

  4. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера *. Критерий совместности и строение общего решения совместной системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

  5. Линейные операторы. Размерность ядра и образа линейного оператора *. Собственные числа и векторы, теорема о связи собственных чисел линейного оператора с корнями его характеристического уравнения.

  6. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации, ортонормированный базис. Разложение пространства в прямую сумму пространства и его ортогонального дополнения *.

  7. Общая алгебра. Основные алгебраические системы: полугруппы и группы, кольца и поля, решетки. Гомоморфизмы и конгруэнции.

  8. Теория пределов. Предел последовательности, его свойства. Верхняя и нижняя грани множества. Лемма о стягивающихся отрезках *. Лемма о выделении конечного покрытия. Теорема Больцано-Вейерштрасса *. Предел монотонной функции. Критерий Коши о существовании предела последовательности *.

  9. Непрерывные функции. Различные определения непрерывности функции в точке и их эквивалентность. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Теорема Коши о промежуточных значениях *. Теорема Вейерштрасса о функциях, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве *. Теорема Кантора о равномерной непрерывности *.

  10. Дифференцируемые функции. Теорема Ролля, Лагранжа *. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом. Признаки возрастания и убывания функции. Правило нахождения экстремальных значений функции.

  11. Интегральное исчисление. Теорема существования определенного интеграла *. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Теорема о среднем значении интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

  12. Функции многих переменных. Полный дифференциал. Достаточные условия дифференцируемости *. Теоремы существования, непрерывности, дифференцируемости неявной функции.

  13. Числовые ряды. Критерий Коши. Признаки сходимости (Даламбера, Коши).

  14. Функциональные ряды. Признаки Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда *. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда *. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.

  15. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование несобственного интеграла по параметру.

  16. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним *. Теорема о существовании и единственности решения *.

  17. Линейные дифференциальные уравнения N-го порядка. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения *. Линейное неоднородное уравнение, метод вариации производных постоянных *. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, случай простых *, кратных, комплексных корней. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.

  18. Системы дифференциальных уравнений. Типы уравнений N-го порядка, разрешаемые в квадратурах. Типы уравнений N-го порядка, допускающие понижение порядка. Системы линейных дифференциальных уравнений, фундаментальная система решений *. Формула Остроградского – Лиувилля *. Неоднородные системы линейных уравнений, метод вариации произвольных постоянных *. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, случай простых корней *.

  19. Устойчивость по Ляпунову. Определение понятия устойчивости, асимптотической устойчивости. Функции Ляпунова. Теорема об устойчивости *. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости *. 1-ая теорема Ляпунова о неустойчивости *. 2-ая теорема Ляпунова о неустойчивости *. Теоремы об устойчивости по первому приближению.

Вопросы со звёздочкой (*) надо знать с доказательством.

Литература





  1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.

  2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

  3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики

  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функий и функционального анализа

  5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ

  6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры

  7. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры

  8. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций

  9. Никольский С.М. Курс математического анализа

  10. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям

  11. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными

  12. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения

  13. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного

  14. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия



Программа государственного экзамена

по магистерской программе

511211 – Математическое моделирование

Общие вопросы.


Понятие модели. Вычислительный эксперимент. Модель, алгоритм, программа. Законы сохранения как основа большинства математических моделей естествознания. Классификация моделей. Построение иерархии упрощенных моделей как метод анализа сложных систем. Примеры математических моделей естествознания. /1-5/

Динамические системы.


Существование и единственность решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость. Первый и второй методы Ляпунова. Диссипативные и гамильтоновы системы. Фазовые портреты. Автоколебания. Генератор Ван-дер-Поля. /6,7/ Странные аттракторы. Система Лоренца. Одномерные отображения, бифуркации удвоения период, переход к хаосу. /8/

Математическая физика.


Математические модели физических задач, приводящие к уравнениям математической физики; основные уравнения математической физики; постановки задач. Линейные уравнения. Классификация уравнений второго порядка. Уравнение переноса, волновые уравнения. Принцип суперпозиции. Метод Фурье. Уравнение теплопроводности. Краевая задача, - принцип максимума, теоремы сравнения, метод разделения переменных. Задача Коши. Функция Грина. Волновые уравнения. Характеристики. Формула Даламбера. /9/ Корректность задач математической физики. Понятие о некорректных задачах и методах их анализа. /9,10/

Понятие об обобщенных решениях. /9 /

Элементы функционального анализа.


Банаховы и гильбертовы пространства. Полнота, компактность. Лемма Арцела. Теорема о неподвижной точке. Непрерывные и вполне непрерывные операторы. Приложения к теории линейных интегральных операторов. Альтернатива Фредгольма. Примеры задач, приводящихся к интегральным уравнениям. Линейные функционалы. Распределения, обобщенные функции. Спектр оператора. Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные операторы и их спектральные свойства. /11,12/

Численные методы.


Интерполяция и метод наименьших квадратов. Численное дифференцирование и интегрирование. Решение линейных алгебраических уравнений. Прямые и итерационные методы. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение уравнений математической физики. Разностные методы. Явные и неявные схемы. Основные понятия (аппроксимация, сходимость, устойчивость). Метод прогонки. Быстрое преобразование Фурье. Метод конечных элементов. Численные методы решения многомерных задач /13-17/. Понятие о пакетах прикладных программ, особенностях программного обеспечения больших задач /18-20/.

  • Механика сплошных сред

Уравнения тепломассопереноса и гидродинамики ньютоновских жидкостей. Граничные условия к этим уравнениям. Гидростатика. Теоремы Эйлера, Бернулли и Гельмгольца гидродинамики идеальной жидкости. Присоединенная масса. Волны в идеальной жидкости. Течения Куэтта и Пуазейля Число Рейнольдса. Задача Стокса. Пограничный слой. Турбулентность. Логарифмический профиль скоростей. Турбулентный пограничный слой. Турбулентное течение в трубах. Формула Эйнштейна для коэффициента диффузии броуновской частицы. Задача Крамерса о диффузии через потенциальный барьер. Тепломассоперенос в неподвижных средах. Конвективный тепломассоперенос, числа Пекле и Прандтля. Тепловой (диффузионный) пограничный слой ./21,22/


Литература.


  1. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., Наука, 1988.

  2. Н.Н. Моисеев. Математические задачи системного анализа. М., Наука, 1981.

  3. Н.Н. Моисеев. Алгоритмы развития, М., Наука, 1981.

  4. Ю. Одум. Экология. М., Мир, 1986.

  5. Д. Форрестер. Мировая динамика. М., Наука, 1978.

  6. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974.

  7. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.

  8. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. М., Мир, 1988.

  9. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.

  10. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М., Наука.

  11. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.

  12. А.А. Люстерник, В.И. Смирнов. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.

  13. А.А. Самарский. Введение в численные методы. М., Наука, 1988.

  14. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.

  15. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.

  16. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1988.

  17. Н.С.Бахвалов. Численные методы. М., Наука, 1973.

  18. Э. Йордан. Структурное программирование и проектирование программ. М., Мир, 1979.

  19. Э. Хант. Искусственный интеллект. М., Мир, 1978.

  20. Г.С. Поспелов. Искусственный интеллект - основа новых информационных технологий. М., Наука, 1989.

  21. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика, (Любое издание)

  22. Л.М. Бреховских, В.В.Гончаров. Введение в механику сплошных сред. М. Наука, 1982.



Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры вычислительной математики УрГУ.


Зав. кафедрой

Д.ф.-м.н., профессор А.О.Иванов

Похожие:

511211 – Математическое моделировани icon511211 – Математическое моделирование. Математическая биология и биоинформатика
Актуальность развития инновационного научного направления и подготовки специалистов
511211 – Математическое моделировани iconЗадачами курсовой работы являются
Проектирование базы данных рынка металлопроката и метизов в терминах er-моделировани 6
511211 – Математическое моделировани iconЧисленное экономико- математическое моделирование и оптимизация
М. С. Красс, доктор физико-математических наук, профессор кафедры Математическое мо
511211 – Математическое моделировани iconПрограмма вступительных испытаний для лиц, поступающих в магистратуру на направление «050200. 68 Физико-математическое образование»
«050200. 68 Физико-математическое образование», магистерская программа «Математическое образование»
511211 – Математическое моделировани iconМатематическое и программное обеспечение для разработки специализированных вычислительных систем мобильных тренажеров
Специальность 05. 13. 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
511211 – Математическое моделировани iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению «Физико-математическое образование»
«Физико-математическое образование» составлена в соответствии с требованиями Государст­венного образовательного стандарта высшего...
511211 – Математическое моделировани iconМатематическое
Москве, в мггу им. М. А. Шолохова проводится III научно-практическая молодежная школа «Математическое моделирование и информационный...
511211 – Математическое моделировани iconПрограмма наименование дисциплины Экономико-математическое моделирование в инфокоммуникациях
Магистерская специализация «Математическое моделирование оптических наноструктур»
511211 – Математическое моделировани iconМатематическое моделирование воздействия детонации на тонкостенные конструкции
Ключевые слова: математическое моделирование, взрывное нагружение, упругопластическая среда
511211 – Математическое моделировани iconМатематическое моделирование воздействия детонации на тонкостенные конструкции
Ключевые слова: математическое моделирование, численные методы, взрывное нагружение, упругопластическая среда
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница