ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2011. № 3 (31)
Энергетика
УДК 681.5.015 АППРОКсимация сплайнами второго и третьего порядка функции внутреннего тепловыделения при решении обратных задач теплопроводности 1 А.Н. Дилигенская Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244 Рассматривается обратная задача теплопроводности с подлежащей восстановлению функцией внутреннего тепловыделения, сформулированная в экстремальной постановке, как задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами. Поиск управляющих воздействий осуществляется на множестве непрерывных и непрерывно-дифференцируемых или дважды непрерывно-дифференцируемых функций. Применение параметризации управляющих воздействий сводит задачу к специальной задаче математического программирования, решение которой осуществляется на основе метода, учитывающего альтернансные свойства искомых экстремалей. Ключевые слова: Обратная задача теплопроводности, параметрическая оптимизация, альтернансный метод, кусочная аппроксимация, класс функций непрерывных, непрерывно-дифференцируемых, непрерывных со второй производной. Обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации процесса теплопроводности, как правило, основаны на экспериментальных данных, когда по определенной информации о выходной характеристике - температурном поле - требуется восстановить входные характеристики, например, функции или параметры, содержащиеся в уравнении математической модели объекта. Исходная постановка таких задач в большинстве случаев не обладает свойством устойчивости решения по отношению к вариациям исходных данных, и для получения устойчивых решений требует применения специальных методов [1, 2]. Исследование обратных задач на достаточно широком классе возможных решений влечет большие погрешности искомых характеристик и обычно требует применения методов регуляризации, поэтому актуален поиск подходов, основанных на соответствующем выборе множества допустимых решений, позволяющих получить искомое решение без использования процедур регуляризации [1]. Одним из таких способов является формулировка задачи в экстремальной постановке с последующим применением численных методов, основанных на аналитических условиях оптимальности. В качестве типовой модели нестационарного процесса теплопроводности с внутренним тепловыделением рассматривается линейное одномерное неоднородное уравнение Фурье в относительных единицах при краевых условиях третьего рода:
 |
(1)
(2)
| Здесь - температурное поле, зависящее от безразмерного времени (число Фурье) и пространственной координаты ; - безразмерный критерий Био, выражающий теплофизические свойства материала; - температура внешней среды, определяющая тепловые потери на границе тела ; - пространственно-временное управление по мощности внутреннего тепловыделения. В некоторых случаях, в частности, при индукционном нагреве, функция может быть представлена в виде произведения двух функций от одной переменной [3, 4] , (3) где - удельная величина полной мощности источников тепла, выделяемого в нагреваемом теле, а - закон их распределения по пространственной координате. Считая закон распределения источников тепла по пространственной координате доступным для определения в зависимости от геометрических, теплофизических параметров объекта и нагревательной установки, подлежащей идентификации функцией является управляющее воздействие удельной мощности внутреннего тепловыделения, регулируемое обычно напряжением на индукторе и подчиненное ограничению (4) принадлежности заданному множеству соответствующих управляющих воздействий. В таком случае обратная задача теплопроводности может быть сформулирована в следующей экстремальной постановке. По заданной температурной зависимости в некоторой фиксированной точке контроля требуется восстановить удельную величину мощности внутреннего тепловыделения , минимизирующую невязку между заданной и точным решением краевой задачи (1), (2), соответствующим . Оценить эту невязку можно на основе ошибки равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому на заданном временном интервале [5] . (5) На практике поиск идентифицирующей функции приходится осуществлять на основе качественной информации об объекте, обычно исходя из требований максимальной гладкости физически реализуемых функций [1]. В большинстве физически обоснованных случаев поиск достаточно осуществлять [1] в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых на интервале идентификации функций . В некоторых случаях, для типовых моделей объектов с распределенными параметрами, возможно рассмотреть класс функций, непрерывных на рассматриваемом интервале вместе со второй производной . Таким образом, необходимо сузить исходное множество управляющих воздействий до класса физически реализуемых или на интервале идентификации [1]. Для этого за управление вместо достаточно принять ее вторую [5] (6) или, соответственно, третью производную , (7) на которую накладывается типовое ограничение , (8) гарантирующее непрерывность на интервале искомой функции вместе с ее двумя в классе или тремя при производными соответственно. В такой постановке при минимизации критерия (5) используется описание объекта (1), (2) в виде бесконечного ряда [3, 4] (9) разложения температурного поля по собственным функциям тепловой задачи [3,4], где , собственные числа определяются решением уравнения , а - коэффициенты разложения . На основе (9) искомое оптимальное воздействие должно обеспечивать на заданном интервале достижение минимаксного соотношения (10) Применение к такой постановке задачи известной процедуры принципа максимума Понтрягина показывает [5], что новое оптимальное управляющее воздействие представляет собой кусочно-постоянную функцию времени, поочередно принимающую только свои предельно допустимые значения , в соответствии с чем определяется числом и длительностями знакочередующихся интервалов постоянства , (11) где . Интегрирование дважды или трижды уравнения (6) или (7) связи нового управляющего воздействия с соответствующей производной дает кусочно-параболическую форму искомой мощности внутреннего тепловыделения в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций (12) или кусочное кубическое представление в классе функций непрерывных вместе со второй производной (13) Тем самым устанавливается структура управляющего воздействия, которое параметризуется вектором, содержащим длительности знакочередующихся интервалов постоянства, а также априори неизвестные значения и, при необходимости, . Температурное поле, в свою очередь, также однозначно характеризуется вектором и значениями , и в классе непрерывно - дифференцируемых функций может быть представлено как реакция на сумму составляющих искомой : (14) Здесь - решение краевой задачи (1) (2) при управляющем воздействии имеет следующий вид: , (15) - решение той же краевой задачи для имеет вид: , (16) определяет теплообмен с внешней средой . (17) В классе дважды непрерывно - дифференцируемых функций расчетное температурное поле имеет вид: (18) Здесь определяются в соответствии с (15) и (17), а -решение краевой задачи (1) (2) при имеет вид (19) а - решение той же задачи для : . (20) На основании (12)-(20) искомое управляющее воздействие и соответствующее ему температурное поле однозначно характеризуется вектором параметров , заданным при известном значении на замкнутом ограниченном множестве при или на множестве в классе . Используя полученное описание , на основе критерия оптимальности (10) осуществляется точная редукция исходной некорректной постановки обратной задачи теплопроводности (1), (2) к задаче параметрической оптимизации, являющейся специальной негладкой задачей математического программирования . (21) Надлежащим выбором числа n и вектора искомая функция может быть аппроксимирована с любой требуемой точностью, что обеспечивает корректную постановку задачи без дополнительных процедур регуляризации. К ошибке приближения температурного поля могут быть применены специальные свойства чебышевского альтернанса, фиксирующие достижение знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений на интервале в точках , общее число которых на единицу превышает число искомых параметров , на основании которых составляется замкнутая система соотношений. В зависимости от числа точек достижения максимальных значений разности , от их расположения на интервале возможны различные формы пространственной конфигурации кривой погрешности аппроксимации температуры [5]. Переход от класса функций в класс при одно-, двух- и трехинтервальном управлении приводит к увеличению числа неизвестных параметров идентифицируемого воздействия, и, следовательно, количества расчетных уравнений системы, и влечет усложнение результирующей конфигурации разности температур, но дает существенное уменьшение погрешности аппроксимации искомой функции (таблица 1) при рассмотренном в качестве примера экспоненциальном изменении и следующих значениях параметров . Максимальная погрешность аппроксимации, как правило, достигается на границах интервала или .
Таблица 1 Погрешность аппроксимации входного воздействия |
 |
 |
 |
 | 15%; 13% | 10%; 10% | 7%; 8% |
 | 5%; 5% | 3%; 3% | 2%; 2% |
Аппроксимация сплайнами второго (12) или третьего порядка (13) искомой функции внутреннего тепловыделения приводит к соответствующей структуре полученного решения (рис. 1).
 |
 | а
| б |
 |
 | в | г | Рис.1. Аппроксимация управляющего воздействия в случае двухинтервального управления: а - сплайнами второго порядка; б - сплайнами третьего порядка;
в– составляющие аппроксимирующей функции: 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - ; г – составляющие: 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - ; 5 - .
|
Проведенные расчеты показывают возможность получения аппроксимирующих решений как в классе функций с минимальной гладкостью (непрерывных и непрерывно-дифференцируемых), так и повышенной (непрерывных со второй производной) при решении обратных задач теплопроводности на основе альтернансного метода при наиболее распространенных случаях управляющих воздействий с одним, двумя или тремя интервалами постоянства. Увеличение степени гладкости решений влечет усложнение формы результирующей кривой отклонения расчетной температуры от заданной , и, соответственно, системы расчетных уравнений, но дает значительный выигрыш в точности восстановления искомой функции. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. – 280 с. Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. М.: Энергия, 1976. – 448 с. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. – 278 с. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. – 336 с. Рапопорт Э.Я. Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности. Известия РАН. Энергетика, 2002. № 5. С. 144-155.
Статья поступила в редакцию 20 мая 2011 г.
|