А. Н. Дилигенская Самарский государственный технический университет
Скачать 179.92 Kb.
|
1 2
Энергетика УДК 681.5.015 АППРОКсимация сплайнами второго и третьего порядка функции внутреннего тепловыделения при решении обратных задач теплопроводности 1 А.Н. Дилигенская Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244 Рассматривается обратная задача теплопроводности с подлежащей восстановлению функцией внутреннего тепловыделения, сформулированная в экстремальной постановке, как задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами. Поиск управляющих воздействий осуществляется на множестве непрерывных и непрерывно-дифференцируемых или дважды непрерывно-дифференцируемых функций. Применение параметризации управляющих воздействий сводит задачу к специальной задаче математического программирования, решение которой осуществляется на основе метода, учитывающего альтернансные свойства искомых экстремалей. Ключевые слова: Обратная задача теплопроводности, параметрическая оптимизация, альтернансный метод, кусочная аппроксимация, класс функций непрерывных, непрерывно-дифференцируемых, непрерывных со второй производной. Обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации процесса теплопроводности, как правило, основаны на экспериментальных данных, когда по определенной информации о выходной характеристике - температурном поле - требуется восстановить входные характеристики, например, функции или параметры, содержащиеся в уравнении математической модели объекта. Исходная постановка таких задач в большинстве случаев не обладает свойством устойчивости решения по отношению к вариациям исходных данных, и для получения устойчивых решений требует применения специальных методов [1, 2]. Исследование обратных задач на достаточно широком классе возможных решений влечет большие погрешности искомых характеристик и обычно требует применения методов регуляризации, поэтому актуален поиск подходов, основанных на соответствующем выборе множества допустимых решений, позволяющих получить искомое решение без использования процедур регуляризации [1]. Одним из таких способов является формулировка задачи в экстремальной постановке с последующим применением численных методов, основанных на аналитических условиях оптимальности. В качестве типовой модели нестационарного процесса теплопроводности с внутренним тепловыделением рассматривается линейное одномерное неоднородное уравнение Фурье в относительных единицах при краевых условиях третьего рода:
Здесь  - температурное поле, зависящее от безразмерного времени (число Фурье)  и пространственной координаты  ;  - безразмерный критерий Био, выражающий теплофизические свойства материала;  - температура внешней среды, определяющая тепловые потери на границе тела  ;  - пространственно-временное управление по мощности внутреннего тепловыделения. В некоторых случаях, в частности, при индукционном нагреве, функция может быть представлена в виде произведения двух функций от одной переменной [3, 4] , (3)где  - удельная величина полной мощности источников тепла, выделяемого в нагреваемом теле, а  - закон их распределения по пространственной координате.Считая закон распределения источников тепла по пространственной координате доступным для определения в зависимости от геометрических, теплофизических параметров объекта и нагревательной установки, подлежащей идентификации функцией является управляющее воздействие удельной мощности внутреннего тепловыделения, регулируемое обычно напряжением на индукторе и подчиненное ограничению (4)принадлежности заданному множеству  соответствующих управляющих воздействий.В таком случае обратная задача теплопроводности может быть сформулирована в следующей экстремальной постановке. По заданной температурной зависимости  в некоторой фиксированной точке контроля  требуется восстановить удельную величину мощности внутреннего тепловыделения  , минимизирующую невязку между заданной и точным решением  краевой задачи (1), (2), соответствующим .Оценить эту невязку можно на основе ошибки равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому на заданном временном интервале  [5]  . (5)На практике поиск идентифицирующей функции приходится осуществлять на основе качественной информации об объекте, обычно исходя из требований максимальной гладкости физически реализуемых функций [1]. В большинстве физически обоснованных случаев поиск достаточно осуществлять [1] в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых на интервале идентификации функций  . В некоторых случаях, для типовых моделей объектов с распределенными параметрами, возможно рассмотреть класс функций, непрерывных на рассматриваемом интервале вместе со второй производной  .Таким образом, необходимо сузить исходное множество управляющих воздействий до класса физически реализуемых  или  на интервале идентификации [1]. Для этого за управление вместо достаточно принять ее вторую [5] (6)или, соответственно, третью производную  , (7)на которую накладывается типовое ограничение  , (8)гарантирующее непрерывность на интервале  искомой функции вместе с ее двумя в классе  или тремя при  производными соответственно.В такой постановке при минимизации критерия (5) используется описание объекта (1), (2) в виде бесконечного ряда [3, 4]  (9)разложения температурного поля по собственным функциям  тепловой задачи [3,4], где  , собственные числа  определяются решением уравнения  , а  - коэффициенты разложения .На основе (9) искомое оптимальное воздействие  должно обеспечивать на заданном интервале достижение минимаксного соотношения  (10)Применение к такой постановке задачи известной процедуры принципа максимума Понтрягина показывает [5], что новое оптимальное управляющее воздействие  представляет собой кусочно-постоянную функцию времени, поочередно принимающую только свои предельно допустимые значения  , в соответствии с чем определяется числом  и длительностями  знакочередующихся интервалов постоянства , (11)где  . Интегрирование дважды или трижды уравнения (6) или (7) связи нового управляющего воздействия  с соответствующей производной дает кусочно-параболическую форму искомой мощности внутреннего тепловыделения в классе непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций (12)или кусочное кубическое представление в классе функций непрерывных вместе со второй производной  (13)Тем самым устанавливается структура управляющего воздействия, которое параметризуется вектором, содержащим длительности  знакочередующихся интервалов постоянства, а также априори неизвестные значения  и, при необходимости,  . Температурное поле, в свою очередь, также однозначно характеризуется вектором  и значениями  , и в классе непрерывно - дифференцируемых функций  может быть представлено как реакция на сумму составляющих искомой : (14)Здесь  - решение краевой задачи (1) (2) при управляющем воздействии  имеет следующий вид: , (15) - решение той же краевой задачи для  имеет вид: , (16) определяет теплообмен с внешней средой . (17)В классе дважды непрерывно - дифференцируемых функций расчетное температурное поле  имеет вид: (18)Здесь  определяются в соответствии с (15) и (17), а  -решение краевой задачи (1) (2) при  имеет вид (19)а  - решение той же задачи для  : . (20)На основании (12)-(20) искомое управляющее воздействие и соответствующее ему температурное поле  однозначно характеризуется вектором параметров  , заданным при известном значении  на замкнутом ограниченном множестве  при  или  на множестве  в классе .Используя полученное описание  , на основе критерия оптимальности (10) осуществляется точная редукция исходной некорректной постановки обратной задачи теплопроводности (1), (2) к задаче параметрической оптимизации, являющейся специальной негладкой задачей математического программирования . (21)Надлежащим выбором числа n и вектора  искомая функция может быть аппроксимирована с любой требуемой точностью, что обеспечивает корректную постановку задачи без дополнительных процедур регуляризации. К ошибке приближения температурного поля  могут быть применены специальные свойства чебышевского альтернанса, фиксирующие достижение знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений на интервале  в точках  , общее число которых  на единицу превышает число искомых параметров  , на основании которых составляется замкнутая система соотношений. В зависимости от числа точек достижения максимальных значений разности , от их расположения на интервале  возможны различные формы пространственной конфигурации кривой погрешности аппроксимации температуры [5].Переход от класса функций  в класс  при одно-, двух- и трехинтервальном управлении приводит к увеличению числа неизвестных параметров идентифицируемого воздействия, и, следовательно, количества расчетных уравнений системы, и влечет усложнение результирующей конфигурации разности температур, но дает существенное уменьшение погрешности аппроксимации искомой функции (таблица 1) при рассмотренном в качестве примера экспоненциальном изменении  и следующих значениях параметров  . Максимальная погрешность аппроксимации, как правило, достигается на границах интервала  или  . Таблица 1
Аппроксимация сплайнами второго (12) или третьего порядка (13) искомой функции внутреннего тепловыделения приводит к соответствующей структуре полученного решения (рис. 1).
Проведенные расчеты показывают возможность получения аппроксимирующих решений как в классе функций с минимальной гладкостью (непрерывных и непрерывно-дифференцируемых), так и повышенной (непрерывных со второй производной) при решении обратных задач теплопроводности на основе альтернансного метода при наиболее распространенных случаях управляющих воздействий с одним, двумя или тремя интервалами постоянства. Увеличение степени гладкости решений влечет усложнение формы результирующей кривой отклонения расчетной температуры от заданной  , и, соответственно, системы расчетных уравнений, но дает значительный выигрыш в точности восстановления искомой функции. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Статья поступила в редакцию 20 мая 2011 г. | ||||||||||||||||||||||||
; 2 - 
; 3 - 
; 4 - 
;
; 2 -
; 3 - 
. 1 2
