Решение. По условию задачи имеем




Скачать 76.73 Kb.
НазваниеРешение. По условию задачи имеем
Дата06.01.2013
Размер76.73 Kb.
ТипРешение
Городская математическая регата

9 класс

12 марта 2011


1.1. При делении натурального числа на натуральное число в частном получили и в остатке . Выясните, могут ли все числа , , и оказаться нечетными.

(Т.П.Бахтина. Раз задачка, два задачка…)

Ответ. Нет, не могут.

Решение.

По условию задачи имеем .

Предположим, что все числа , , , нечетны. Тогда число - нечетное число (произведение двух нечетных чисел есть число нечетное), число - четное число (сумма двух нечетных чисел есть число четное). Получили, что число есть число четное, т.е. наше предположение ошибочно.


Критерии проверки

Верное решение – 6 баллов.

Ответ без обоснований – 0 баллов.

Приведен конкретный пример, дан правильный ответ – 1 балл.


1.2. Медиана треугольника делит его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

(Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – М.: МЦНМО, 2004)

Доказательство.

Пусть - медиана треугольника .

По условию периметры треугольников и равны. Тогда , откуда получаем, что и, значит, треугольник - равнобедренный.


Критерии проверки

Верное решение – 6 баллов.


1.3. На небе 2011 звезд. В ночь перед Рождеством черт и ведьма начинают по очереди красть с неба звезды. Черт может украсть 1, 5 или 10 звезд, а ведьма – 1, 3 или 7 звезд. Черт начинает первым и утверждает, что заберет последнюю звезду. Может ли ведьма ему помешать?

(Костромской турнир математических боев)

Ответ. Не может.

Решение.

Ведьма каждый раз забирает нечетное число звезд. Для победы черту достаточно каждый раз забирать также нечетное число звезд, например, только одну звезду. Таким образом, после каждой пары ходов ведьма-черт на небе будет оставаться нечетное число звезд, т.е. хотя ты одна. Поэтому последняя звезда не может достаться ведьме.


Критерии проверки

Верное решение – 6 баллов.

Идея инварианта, решение не получено – 3 балла.

Ответ без обоснований – 0 баллов.


2.1. Найдите последнюю цифру числа .

Ответ. 5.

Решение.

Выпишем последние цифры первых степеней двойки:

степень

последняя цифра



2



4



8



6



2

Получили повторяющийся цикл из четырех цифр. Т.к. 30=, то для мы имеем 7 полных циклов и еще две цифры, следовательно, оканчивается на 4.

Аналогично находим, что оканчивается на 1. Т.е. число оканчивается на 4+1=5.


Критерии проверки

Верное решение – 7 баллов.

Ответ без обоснований – 2 балла.

Идея цикла, решение не получено – 2 балла.

Верный ход решения, допущены вычислительные ошибки – не более 4 баллов.

Верно найдена последняя цифра числа (или ) – 3 балла.


2.2. Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа 5 минут?

(Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – М.: МЦНМО, 2004)

Ответ. .

Решение.

В три часа минутная стрелка находилась на отметке 12. За пять минут она повернется на . Часовая стрелка в три часа находилась на отметке 3. За 5 минут она повернется на . Таким образом, угол между стрелками составит: .


Критерии проверки

Верное решение – 7 баллов.

Ответ без обоснований – 3 балла.

Найдено, насколько за 5 минут продвинулась минутная (часовая) – 3 балла.


2.3. Можно ли клетки квадрата раскрасить в 4 цвета так, чтобы в каждой фигурке вида






















были клетки различных цветов?

(Дистанционная олимпиада по математике. Составители А.А.Бронников, Т.А.Давыдова. Москва: Московский городской Дворец детского (юношеского) творчества, 2009)

Ответ. Нет.

Решение.

Предположим, что так раскрасить можно. Пронумеруем клетки таблицы, как показано на рисунке.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Рассмотрим две фигурки из клеток 2, 5, 6, 10 и 2, 7, 6, 10. Так как цветов у нас всего 4, то получаем, что клетки 5 и 7 – одного цвета. Но тогда фигурка из клеток 2, 5, 6, 7 содержит две клетки одного цвета, что противоречит условию. Значит, так раскрасить нельзя.


Критерии проверки

Верное решение – 7 баллов.

Ответ без обоснований – 0 баллов.

Рассмотрен частный случай – 0 баллов.


3.1. Числа , , - простые. Найдите .

(Т.П.Бахтина. Раз задачка, два задачка…)

Ответ. .

Решение.

и - не подходят. Пусть . Рассмотрим три случая.

1) . Тогда данные числа 3, 7, 13 – действительно простые.

2) , . Тогда - делится на 3 и больше чем 3. значит, - составное, что противоречит условию.

3) , . Тогда - делится на 3 и больше чем 3, значит, - составное, что противоречит условию.

Итак, только удовлетворяет условию задачи.


Критерии проверки

Верное решение – 8 баллов.

Ответ без обоснований – 1 балл.

Ответ + проверка – 2 балла.

Идея делимости на три, решение не получено – 3 балла.


3.2. Площадь прямоугольника равна 1см2. Может ли его периметр быть равен 3,9см?

(ПГТЮМ)

Ответ. Нет.

Решение.

Пусть стороны прямоугольника и . По условию .

Тогда периметр равен .


Критерии проверки

Верное решение – 8 баллов.

Ответ без обоснований – 0 баллов.

Частный случай, верный ответ – 1 балл.


3.3. Таблица заполнена минусами. При щелчке на некоторую ячейку знаки меняются на противоположные в самой ячейке и в четырех соседних (по вертикали и горизонтали) ячейках, если они есть. Как заполнить всю таблицу плюсами?

Решение.

Надо щелкнуть по закрашенным ячейкам.













































































Критерии проверки

Верное решение – 8 баллов.


4.1. Докажите, что число - полный квадрат.

Доказательство.

Пусть . Тогда

.


Критерии проверки

Верное решение – 9 баллов.


4.2. Дана окружность с центром . Хорда не проходит через . - внутренняя точка . Окружность, описанная около треугольника , пересекает вторично данную окружность в точке . Докажите, что .

Д
оказательство.


- вписанный в окружность с центром в точке , поэтому . (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду), следовательно, .

.

Имеем, ,

,

.

Получили, что - равнобедренный, следовательно, .


Критерии проверки

Верное решение – 9 баллов.

Есть доказательства равенства углов, но решение не получено – не более 2 баллов.


4.3. На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ. Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге?

Ответ. 80.

Решение.

Пусть - число людей, вышедших на митинг. Рассмотрим общее число "недовольств". С одной стороны, каждой реформой недовольно ровно 48 жителей, а значит, общее число недовольств равно . С другой стороны, каждый вышедший на митинг недоволен хотя бы тремя реформами. Следовательно, общее число недовольств не меньше, чем . Таким образом, , откуда . Итак, искомое число не больше 80.

Приведём пример, когда на площадь выйдет ровно 80 человек. Выберем среди жителей острова 80 человек и разобьём их на пять групп по 16 человек. Пусть против первой реформы возражают люди из первых трёх групп, против второй - люди из второй, третьей и четвёртой групп, против третьей - люди из третьей, четвёртой и пятой групп, против четвёртой - люди из четвёртой, пятой и первой групп, а против пятой - люди из пятой, первой и второй групп. Тогда против каждой реформы возражают ровно =48 человек, и на митинг выйдут выбранные 80 человек.


Критерии проверки

Верное решение – 9 баллов.

Ответ без обоснований – 3 балла.

Есть пример для 80, но нет обоснования максимальности – 6 баллов.

Есть обоснование максимальности, но не приведен пример – 6 баллов.

Похожие:

Решение. По условию задачи имеем iconРешение. Оценим обе части уравнения
...
Решение. По условию задачи имеем iconЗадачи и задания повышенного уровня сложности 1
В ходе взаимодействия с неметаллом электронная формула металла меняется следующим образом: 1s22s22p63s23p63d64s2 → 1s22s22p63s23p63...
Решение. По условию задачи имеем iconПояснительная записка Данный элективный курс «Азбука подготовки к гиа» рассчитан на 34 часа и является предметно-ориентированным для 8-9 классов
В связи с сокращением количества часов уроков математики на решение некоторых типов задач не хватает времени: задачи содержащие модуль...
Решение. По условию задачи имеем iconЭлективный курс. «Задачи на составление уравнений»
Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов, проводится во втором полугодии и включает решение...
Решение. По условию задачи имеем iconРешение задачи управления колебаниями вязкоупругой струны в условиях первой краевой задачи
Приближённое решение задачи управления колебаниями вязкоупругой струны в условиях первой краевой задачи
Решение. По условию задачи имеем iconЗадачи продолжения температурных полей по данным точечных измерений А. Н. Васильев
Общая методика работы с моделями, основанными на дифференциальных уравнениях в частных производных [1-3], применяется к известной...
Решение. По условию задачи имеем iconРешение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»
Решение. По условию задачи имеем iconРешение этой задачи потребовало неотложной международной стандартизации всего комплекса средств вещания, включая формирование, запись и архивирование программ,
Только благодаря единым стандартам, принятым в мировом масштабе, можно обеспечить международный обмен информацией и ее архивирование,...
Решение. По условию задачи имеем iconРешение некорректной задачи интерпретации
Международная конференция “Обратные и некорректные задачи математической физики”, посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Решение. По условию задачи имеем iconРешение задачи Данные для решения задачи
Эксплуатационная сменная производительность экскаватора (в м³/см) учитывает использование машины во времени в течение смены в конкретных...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница