Программа дисциплины по кафедре Прикладная математика и информатика
Скачать 217.24 Kb.
|
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ по кафедре Прикладная математика и информатика Алгебра и геометрия Утверждена научно-методическим советом университета для направлений подготовки (специальностей) в области информатики и вычислительной техники. Специальности ПО, ВМ, ИС, УИТС. Хабаровск 2006 г. Программа разработана в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта, предъявляемыми к минимуму содержания дисциплины и в соответствии с примерной программой дисциплины, утвержденной департаментом образовательных стандартов профессионального образования с учетом особенностей региона и условий организации учебного процесса Тихоокеанского государственного университетаПрограмму составили Попова Татьяна Михайловна, к.ф.м.н, доцент кафедры ПМИ Программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры ПМИ протокол № ____ от «_____»__________200_ г Завкафедрой _________________ «______»_________200_ г. Зарубин А.Г. Программа рассмотрена и утверждена на заседании УМК и рекомендована к изданию протокол № ____ от «_____»__________200_ г Прекдседатель УМК _________________ _________200_ г Попова Т.М.Подпись дата Директор института _________________ _________200_ г Син А.З.Подпись дата (декан факультета)1. Цели и задачи дисциплины Целью преподавания дисциплины является обеспечение базовой математической подготовки будущих специалистов по аналитической геометрии и линейной алгебре. Тесно взаимосвязанные, геометрические и алгебраические понятия широко используются при математическом моделировании различных задач науки и техники. Преподавание высшей математики в высших учебных заведениях имеет цель: формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при описке оптимальных и выбора наилучших способов реализации этих решений, методам обработки и анализа результатов экспериментальных данных. Задачи преподавания дисциплины состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам сущность научного подхода, специфику математики и ее роль в осуществлении научно-технического прогресса; научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач, выработать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям. Основные задачи изучения дисциплины состоят в том, чтобы студент свободно владел необходимым объемом фундаментальных знаний по геометрии и алгебре, позволяющих активно применять полученные знания. Требования к уровню освоения содержания дисциплины Математическое образование должно быть фундаментальным и в то же время иметь четко выраженную прикладную направленность, быть в известной мере индивидуализированным (часть разделов программы может изучаться по выбору студента). Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тема 1. Определители. Определители второго и третьего порядка. Определители n-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Тема 2. Матрицы Матрицы и действия с ними. . Ранг матрицы Теорема о ранге. Вычисление ранга. матрицы. Обратная матрица. Тема 3. Системы линейных уравнений Линейные уравнения и системы линейных уравнений. Разрешенные системы линейных уравнений. Преобразования систем линейных уравнений. Совместность систем линейных алгебраических уравнений Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Тема 4. Векторная алгебра Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, прямую, вектор. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. N-мерные векторы. Линейная комбинация векторов. Отрезок, деление отрезка в заданном соотношении. Линейная зависимость и независимость векторов и свойства этих понятий. Базис и ранг системы векторов. Базис и размерность пространства. Ортогональные системы векторов. Тема 5. Прямая и плоскость. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Общее уравнение плоскости. Различные способы задания плоскости. Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Тема 6. Линейные пространства, операторы Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Линейные операторы и действия с ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама скалярного произведения, ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы. Собственное значение матрицы. Собственные векторы матрицы и их свойства. Теорема Фробеннуса-Беррона для неразложимых матриц. Тема 7. Квадратичные формы Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Понятие о тензорах. Тема 8. Кривые и поверхности 2-го порядка Эллипс, парабола, гипербола, их свойства, приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка. Уравнения поверхности. Сфера, эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрическая поверхность. Приведение поверхности к каноническому виду. Разделы дисциплины и виды занятий и работ
Практические занятия Целью практических занятий является закрепление теоретического материала лекций и выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в технических приложениях. При проведении практических занятий рекомендуется использование сборника задач, предусмотренного списком литературы, на усмотрение преподавателя или учебно-методическими материалами, разработанными на кафедре. 1. Определители. Вычисление определителей второго и третьего порядка по определению и с использованием свойств. Вычисление определителей порядка выше третьего Время выполнения заданий – 2 часа. 2. Матрицы Решение задач по теме: Матрицы и действия с ними (сложение, умногжение на число, умножение матриц, транспонирование, обратная матрица) Ранг матрицы Время выполнения заданий – 2-4 часа 3. Системы линейных уравнений Исследование разрешимости и совместности систем линейных уравнений. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, Жордана-Гаусса, по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы. Время выполнения заданий – 4 часа 4. Векторная алгебра Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, прямую, вектор. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства Время выполнения заданий – 6 часов 5. Плоскость. Уравнения плоскости в пространстве. Общее уравнение плоскости. Различные способы задания плоскости. Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями. Расстояние от точки до прямой. Время выполнения заданий – 2-4 часа 6. Прямая в пространстве и на плоскости Прямая в пространстве, каноническое уравнение, параметрическое, прямая как пересечение двух плоскостей. Переход от одного уравнения к другому. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Время выполнения заданий – 4-6 часов 7. Метод ортогонализации Шмидта. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Время выполнения заданий – 2 часа 8. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.. Собственное значение матрицы. Собственные векторы матрицы и их свойства. Время выполнения заданий – 2 часа 9. Квадратичные формы Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Время выполнения заданий – 2-4 часа 10. Кривые и поверхности 2-го порядка Эллипс, парабола, гипербола, их свойства, приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка. Сфера, эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические поверхности. Приведение поверхности к каноническому виду. Время выполнения заданий – 4-6 часов Практические занятия и их взаимосвязь с содержанием лекционного курса
Расчетно-графическая работа Расчетно-графическая работаЦель РГР 1: совершенствование основных математических методов и подходов к решению задач по теме векторная алгебра и аналитическая геометрия, выбора наилучших способов реализации этих решений, на основании теоретического курса и практических занятий. Задача РГР 1: овладение необходимым объемом фундаментальных знаний и приемов, позволяющих активно применять полученные знания при решении задач. Краткое содержание РГР
Объем выполненной работы составляет 10-15 листов. Контроль знаний студентов 1. Входной контроль знаний студентов
2. Текущий контроль знаний студентовКонтроль достижения целей обучения осуществляется с помощью: - контрольных работ в течение семестра по некоторым разделам и темам курса. Главной целью проведения текущих контрольных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса. Контрольные работы рекомендуется проводить в рамках аудиторных занятий. Примерное содержание контрольных работ: (содержание и количество контрольных работ может меняться.) КР: Матрицы. Определители. Системы. Содержит 4-6 задач по теме матрицы, действия с матрицами, вычисление определителей, ранг матрицы, решение систем линейных уравнений, исследование совместности систем. Время выполнения КР 2 часа. КР: Векторная алгебра. Содержит 6-10 задач по теме векторы, координаты , проекция, скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и их приложения. Время выполнения КР 2 часа. КР: Аналитическая геометрия. Содержит 6-10 задач по теме прямая, плоскость, взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости, кривые 2-го порядка, поверхности 2-го порядка, приведение к каноническому виду.
Дисциплина завершается устными экзаменами по окончанию семестра. На экзаменах проверяется степень усвоения студентами основных понятий дисциплины, понимание их взаимосвязи, умение доказывать основные теоремы, а также навыки в решении задач по каждому из разделов дисциплины. Примерные вопросы к экзамену
Учебно-методическое обеспечение дисциплиныОсновная литература.
Дополнительная литература
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Курс освещает историю развития алгебры и геометрии, основные понятия, свойства, применение в исследованиях и приложения в технических системах. При реализации программы курса основные понятия и основные предложения (теоремы) должны иллюстрироваться примерами. На практических занятиях по всем темам должно быть рассмотрено достаточное число примеров и задач. Самостоятельная работа предполагает, что:
Словарь терминов и персоналийАбелева группа - коммутативная группа. Алгебра – пара  , где М – непустое множество элементов, - некоторое непустое множество операций, определенных на М.Алгебраическое дополнение к элементу матрицы  - есть  , где  минор к элементу.Базис – система линейно независимых элементов векторного пространства, такая, что любой элемент векторного пространства представим в виде линейной комбинации базисных элементов. Вектор – элемент векторного пространства, (направленный отрезок). Векторное произведение двух векторов – вектор, длина которого равна произведению длин векторов на синус угла между ними, перпендикулярный плоскости векторов, образующий с векторами правую тройку. Векторное (линейное) пространство – непустое множество V, для элементов которого определены операции сложения и умножения на действительное число, и выполнены аксиомы: 1)  , 2)  ,3)  ,4)  ,5)  .6)  7)  8)  и  Вырожденная (особенная) матрица – квадратная матрица, определитель, которой равен нулю. Невырожденная матрица - квадратная матрица, определитель, которой не равен нулю. Гипербола – множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянно. Гиперболоид – поверхность 2-го порядка, осевые сечения которого - гиперболы, а сечения перпендикулярные оси – эллипсы. Группа – алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией  , удовлетворяющей условиям 1) существует левая единица е, такая что для любого элемента а множества М  , 2) для любого элемента а множества М существует левый обратный элемент  , такой что  .Дефект линейного преобразования – размерность множества элементов векторного пространства, образом которых при линейном преобразовании является нулевой элемент. Диагональная матрица – квадратная матрица, такая что  если  .Директриса кривой 2-го порядка – см. кривая второго порядка. Длина (модуль) вектора – неотрицательное число  .Евклидово пространство - векторное пространство, с определенным на нем скалярным произведением. Единичная матрица  - диагональная матрица, такая что  .Квадратичная форма – выражение вида  , где А – симметрическая матрица, х – элемент векторного пространства.Квадратная матрица- матрица, число строк которой равно числу столбцов. Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями  , относительно операции  - абелева группа, и справедливы законы дистрибутивности:  и  .Координаты вектора u – числа  , такие что  , где  - базис векторного пространства.Кривая 2-го порядка – множество точек плоскости, для которых отношение расстояний до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная, равная е (эксцентриситету). При  - эллипс, при  - парабола, при  - гипербола.Линейная зависимость. Элементы  векторного пространства V линейно зависимы, если существуют числа  одновременно не равные нулю, такие что  . В противном случае векторы линейно независимы.Линейный оператор – линейное преобразование векторного пространства V в себя, т.е.  .Линейное преобразование – L преобразование векторного пространства V в V’ такое, что для любых элементов  выполнено  и для любого числа  Матрица – прямоугольная таблица А, заполненная математическими объектами (элементами ) ( )Минор k-го порядка – определитель подматрицы, составленный из элементов исходной матрицы, стоящих на пересечении k строк и k столбцов. Минор к элементу матрицы – определитель подматрицы, полученный удалением из исходной матрицы соответствующей строки и столбца. Направляющие косинусы вектора – косинусы углов между вектором и базисными векторами. Направляющий вектор – вектор параллельный заданной прямой Нормаль – вектор перпендикулярный плоскости. Обратная матрица – матрица  , такая что  Определитель – число, сопоставляемое квадратной матрице, равное  , где  всевозможные перестановки набора чисел (1,2,…,n),  - число транспозиций от (1,2,…,n) до .Парабола – множество точек равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и прямой (директрисы). Параболоид - поверхность 2-го порядка, осевые сечения которого - параболы, а сечения перпендикулярные оси – эллипсы (эллиптический параболоид) или гиперболы (гиперболический параболоид). Плоскость - множество точек  , удовлетворяющее уравнению  .Размер матрицы – количество строк и столбцов матрицы Ранг (линейного преобразования) матрицы - наибольший порядок отличного от нуля минора. Симметрическая матрица – квадратная матрица, такая что  .Скалярное произведение векторов – действительное число  , определенное для двух векторов удовлетворяющее условиям:  1) , 2) , 3) , 4) .Треугольная матрица – квадратная матрица, такая что  (нижнетреугольная) или  (верхнетреугольная).Трапециевидная матрица - неквадратная матрица, такая что или .Цилиндрическая поверхность – поверхность 2-го порядка, осевые сечения которой – пара параллельных прямых. Эллипс - множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянно. Эллипсоид - поверхность 2-го порядка, осевые сечения которого – эллипсы. Ядро линейного преобразования - множество элементов векторного пространства, образом которых при линейном преобразовании является нулевой элемент. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, 
и найти его объем,
