Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины




НазваниеМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
страница9/10
Дата20.12.2012
Размер0.58 Mb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

111500 Промышленное рыболовство




Калининград


Издательство ФГОУ ВПО «КГТУ»

2011

УДК 519.6

Утверждено


    Ректором ФГОУ ВПО

    «Калининградский государственный

    технический университет»


Автор – Наумов В.А., д.т.н., профессор кафедры водных ресурсов

и водопользования ФГОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет»


Методическое пособие рассмотрено и одобрено кафедрой Водных ресурсов и водопользования ФГОУ ВПО Калининградского государственного технического университета. Протокол № от 2011г.

Методическоее пособие одобрено и рекомендовано методической комиссией факультета промышленного рыболовства ФГОУ ВПО Калининградского государственного технического университета. Протокол № от


Рецензент: Розенштейн М.М., д-р техн. наук, профессор кафедры промышленного рыболовства ФГОУ ВПО «Калининградский государственный технический университет».


@ ФГО УВПО «Калининградский государственный технический университет», 2011 г.

@ Наумов В.А. 2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ



Общие организационно-методические указания………………………...........4

1. Аналитическая часть.………………………………………………...........6

1.1. Физическая и математическая постановка задачи ………………….........6

1.2. Приведение системы уравнений к безразмерной форме……………………9

    1. Приближенная оценка элементов траектории……………………………10

2. Разработка программы расчета в среде Mathcad……………………..........11

3. Анализ и графическое представление полученного решения….…………13

  1. Исследование влияния исходных параметров на решение……………….15

Исходные данные по вариантам………………………………………...........…...17


Список литературы………………………………………………………...........18

Приложение 1. Физические свойства воды…………………………………………18

Приложение 2. Пример программы расчета в среде Mathcad…………...........19

ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


Настоящее методическое пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 111500 Промышленное рыболовство (Магистратура) в соответствии с учебным планом дисциплины «Прикладная математика». Эта дисциплина изучается студентами дневного обучения в 1-м семестре и включает выполнение курсовой работы.

Тема курсовой работы: «Математическое моделирование динамики твердого тела в потоке жидкости». В соответствии с вариантом студент получает свои исходные данные и задание, влияние какого параметра на решение задачи требуется исследовать.

Курсовая работа должна включать: титульный лист, содержание, задание, разделы содержательной части, заключение, список литературы, приложение (программа расчета в среде Mathcad).

Титульный лист (нумерация страницы на нем не проставляется) должен содержать в верхней части полное название вуза (Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Калининградский государственный технический университет»), ниже - название факультета (Факультет промышленного рыболовства) и кафедры (водных ресурсов и водопользования), затем указывается вид письменной работы (курсовая работа) и полное название темы курсовой работы в центральной части титульного листа. Фамилия, имя, отчество автора курсовой работы, его курс и группа размещаются с правой стороны титульного листа ниже названия темы курсовой работы. В центре нижней строки титульного листа – место и год выполнения курсовой работы (Калининград - 20__).

Лист «Задание» должен содержать исходные данные своего варианта и следующий перечень задач, которые нужно решить в курсовой работе:

  1. записать силы, действующие на твердую сферу в потоке вязкой жидкости;

  2. сформулировать дифференциальные уравнения динамики поступательного движения твердой сферы в потоке вязкой среды;

  3. найти скорость установившегося осаждения сферы в покоящейся жидкости, приближенно оценить время и абсциссу осаждения;

  4. привести систему уравнений движения сферы и начальные условия к безразмерной форме;

  5. составить и отладить программу численного решения поставленной задачи в среде Mathcad;

  6. проанализировать результаты численного решения задачи и представить их в графической форме;

  7. исследовать влияние указанного размерного параметра на решение задачи.

Оформление курсовой работы должно соответствовать требованиям, предъявляемым к данному виду работ. Курсовая работа представляется на стандартных листах (формат А4), текст которой набран в текстовом редакторе Microsoft Word - 2003 шрифтом 12 Times New Roman через 1,5 интервала с выравниванием по ширине и распечатан на одной стороне листа, а также в редакторе MathCad. Поля сверху, снизу, справа - 2 см, слева - 3 см. Заголовками и подзаголовками обозначают все разделы курсовой работы. Объем курсовой работы ограничен 20 листами. Курсовая работа должна быть подписана студентом.

Курсовая работа представляется на кафедру в одном экземпляре не позднее, чем за две недели до защиты. На курсовую работу дается рецензия, которая оформляется на специальном бланке. В рецензии отмечаются положительные стороны (достоинства) работы, ее недостатки, а в случае отрицательного вывода о качестве работы - предложения по ее доработке. Рецензия заканчивается общим выводом о том, может ли быть данная курсовая работа допущена к защите.


Аналитическая часть

    1. Физическая и математическая постановка задачи


Рассматривается движение твердого сферического тела в однородном потоке воды под действием силы тяжести. Заданы диаметр сферы , плотность сферы s, скорость потока uf , глубина водотока Н, температура воды Т. В начальный момент сфера находилась в покое на поверхности воды. Требуется записать и решить дифференциальные уравнения динамики сферы, графически представить результаты расчета и найти абсциссу осаждения. Исследовать влияние заданного исходного параметра.

Уравнения динамики поступательного движения твердого тела

, (1.1)

где m - масса сферы, - скорость ее центра масс, - главный вектор внешних сил, действующих на сферическое тело, - силы инерции Кориолиса и переносная, которые обращаются в нуль при движении в инерциальной системе отсчета.

Массовой силой, которая всегда действует на твердое тело (если, конечно, не рассматривается движение в условиях невесомости), является сила тяжести

, (1.2)

Также массовыми являются силы инерции .

Если сфера находится в среде с давлением, зависящим от координат точки, то из-за конечного размера сферы силы давления, действующие на нее с одной и с другой стороны, будут различными. Сила, обусловленная градиентом давления среды, вычисляется по формуле

. (1.3)

В частном случае, когда давление жидкости увеличивается с глубиной z по закону , получим формулу для известной силы Архимеда

, , (1.4)

где - масса жидкости в объеме сферы,  - отношение плотностей несущей среды и сферического тела.

Сила гидродинамического сопротивления находится по формуле

, (1.5)

где F – площадь наибольшего сечение сферы, CХ коэффициент гидродинамического сопротивления сферы, - скорость жидкости.

В простейшем случае равномерного обтекания единичного, гладкого, сферического тела неограниченным ламинарным потоком несжимаемой изотермической жидкости коэффициент сопротивления CХ является однозначной функцией числа Рейнольдса . Зависимость CХ(Re), представленная на рис. 1.1, для этих условий, которую часто называют стандартной кривой сопротивления, хорошо изучена, и для ее аппроксимации в литературе приводится множество формул.

Для 1478 < Rep < 2105 с точностью до 15% полагают CХ = 0,44 = const.

Для промежуточной области хорошо согласуется с опытными данными эмпирическая формула Кравцова

. (1.6)

Заметим, что при Re  0 (1.6) переходят в известную формулу Стокса CХ = 24/Rep (штриховая линия на рис. 1.1), так что

(1.7)




Рис. 1.1


При нестационарном движении твердого тела, помимо "обычного" сопротивления (см. выше), необходимо учитывать дополнительные затраты энергии на приведение в движение определенного объема несущей среды. В правой части уравнения (1.1) при движении частицы с переменной скоростью появляются дополнительные силы. Сила, обусловленная эффектом присоединенной массы, равна половине массы жидкости в объеме сферической частицы, умноженной на ускорение частицы относительно жидкости:

. (1.8)

Ось Ох направим вдоль дна в сторону течения жидкости, Оz – вертикально вверх. Подставим формулы (1.2), (1.4), (1.5), (1.6), (1.8) в дифференциальное уравнение (1.1) и найдем проекции на оси координат:

, (1.9)

где u, w – проекции скорости сферы на оси Ох и Oz. Начальные условия к (1.9):

. (1.10)

1.2. Приведение системы уравнений к безразмерной форме


В условиях данной задачи в качестве характерных величин целесообразно выбрать скорость жидкости и глубину слоя . Масштаб времени =. Введем безразмерные величины

. (1.11)

Размерные величины выражаем через безразмерные

,

и подставляем в (1.9). После очевидных преобразований получим систему уравнений движения сферы в безразмерной форме с начальными условиями

; (1.12)

; ; (1.13)

; (1.14)

Коэффициент гидродинамического сопротивления вычисляем по формуле

(1.15)

Число Рейнольдса

. (1.16)

В равенствах (1.12), (1.16) имеется три безразмерных комплекса: K, G, Ref. Покажем, что данная задача имеет два критерия подобия. Разделим оба уравнения (1.12) на К

; (1.17)

. (1.18)

Введем новое безразмерное время

. (1.19)

Тогда уравнения (1.17) примут вид

. (1.20)

Следовательно, критериями подобия рассматриваемой задачи при нулевой начальной скорости являются числа , Ref.


    1. Приближенная оценка элементов траектории


Система уравнений (1.12) не имеет аналитического решения. Приближенно оценить траекторию сферы можно следующим образом. Найдем скорость установившегося осаждения сферы в неподвижной воде при квадратичном законе сопротивления. Во втором уравнении (1.9) положим производную скорости равной нулю, СХ = 0,44; uf = 0; тогда

. (1.21)

Пренебрегая разгонным участком, оцениваем время осаждения сферы

.

Положим, что в горизонтальном направлении сфера сразу стала двигаться со скоростью потока uf. Тогда можно приближенно найти абсциссу осаждения

. (1.22)

Как сильно приближенное значение абсциссы осаждения отличается от реального, можно узнать путем сравнения с экспериментальными данными или с решением неупрощенной задачи.

Пусть даны следующие исходные данные: uf = 0,14 м/с; Н = 2.12 м; s = 1022 кг/м3; t = 20C; D = 0,08 м. По таблице (Приложение 1) находим величину коэффициента кинематической вязкости воды при заданной температуре  = 1,0010-6 м2/с и плотность воды  = 998 кг/м3. Вычисляем отношение плотностей

.

Скорость установившегося осаждения сферы в предположении справедливости квадратичного закона сопротивления по формуле (1.21)

.

Число Рейнольдса при такой скорости движения сферы



соответствует квадратичной области сопротивления.

Приближенное время осаждения сферы

.

Приближенное значение абсциссы осаждения

.


2. Разработка программы расчета в среде Mathcad

В начале программы присваиваются заданные значения размерных параметров Н, D, s, uf. Величина плотности воды  и коэффициента кинематической вязкости  определяется в соответствии с заданной температурой по таблице (Приложение 1). Затем вычисляются значения безразмерных параметров K, G, Ref. Далее записываются выражения для функций (1.15), (1.16).

Систему уравнений (1.12) с заданными начальными условиями будем решать в среде Mathcad с помощью оператора rkfixed, который реализует численный метод Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом. Для этого необходимо предварительно получить из (1.12) систему уравнений первого порядка, в правой части которых будут только первые производные:

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)

Структура оператора

P := rkfixed(y,t0,t1,m,B), (2.5)

где y – матрица-столбец неизвестных функций, в нашем случае функций четыре ; t0, t1 – начальное и конечное значения аргумента (безразмерного времени), на котором ищется решение системы дифференциальных уравнений; m – число интервалов, на которые разбивается отрезок аргумента [t0, t1]; B – матрица-столбец правых частей дифференциальных уравнений (2.1)-(2.4); P – прямоугольная матрица, в которую записывается численное решение системы дифференциальных уравнений.

Нулевой столбец матрицы P представляет собой значения аргумента в узлах разностной схемы; следующие столбцы – найденные значения искомых функций .

Функции в матрице B записываются следующим образом: заменяется на у1; - на у2; - на у3; - на у4. Если в правой части уравнений встречается аргумент (время), то в матрице B он заменяется на у0. До использования в программе оператора (2.5) должна быть задана матрица B и матрица-столбец начальных условий у.


3. Анализ и графическое представление полученного решения


В Приложении 2 представлен пример программы с теми же исходными данными, что в пункте 1.3. Заметим, что показана только нижняя часть таблицы результатов P. Столбец с номером 3 в таблице представляет собой значения вертикальной безразмерной координаты. Находим строку, в которой эта координата уменьшается до нуля (касание дна). В рассматриваемом примере – строка номер 99. В этой строке и нулевом столбце находится безразмерное время достижения дна ; первом столбце – безразмерная абсцисса осаждения . Вычислим соответствующие им размерные значения:

;

.

Полученное значение времени осаждения заметно больше приближенной величины, рассчитанной в п.1.3. Причина этого в том, что в приближенном расчете не учитывается время разгона тела до установившейся скорости осаждения. По аналогичной причине действительная абсцисса осаждения меньше, чем величина, рассчитанная по приближенным формулам в п.1.3.

Для лучшего восприятия векторам t1, x1, u1, z1, w1 поставлены в соответствие столбцы матрицы P.

На рис. 3.1, 3.2 результаты численного решения системы уравнений представлены графически. Рис. 3.1 подтверждает, что во все время движения сферы реализуется квадратичный закон сопротивления. По рис. 3.2 видно, что вертикальная скорость w1 достигает скорости установившегося осаждения примерно на одной трети траектории. Горизонтальная скорость u1 приближается к скорости движения потока (единица в безразмерных величинах) в самом конце траектории.



Рис. 3.1. Траектория осаждающейся в потоке сферы и изменение числа Рейнольдса вдоль ее траектории


Рис. 3.2. Изменение горизонтальной u1 и вертикальной w1 составляющих безразмерной скорости сферы


  1. Исследование влияния исходных параметров на решение


Для исследования влияния размера сферы найдем численное решение системы дифференциальных уравнений при исходных значениях параметров и трех значениях диаметра. Результаты расчета представлены на рис. 4.1-4.4.



Рис. 4.1. Траектории осаждающихся в потоке сфер разных диаметров:

1 - D = 0,08 м; 2 - D = 0,06 м; 3 - D = 0,04 м


Из-за уменьшения размера сферы увеличивается коэффициент К, при этом величина G не изменяется. В соответствии с уравнениями (1.12) это приводит к возрастанию влияния силы сопротивления воды по сравнению с действием силы тяжести. Меньшие тела медленнее осаждаются (рис. 4.2) и быстрее увлекаются потоком (рис. 4.3), поэтому у них больше время и абсцисса осаждения, что видно по рис. 4.1. Так как горизонтальная составляющая скорости сферы стремится к скорости потока при любом размере, а скорость осаждения тем меньше, чем меньше диаметр, числа Рейнольдса заметно меньше при небольших диаметрах (см. рис. 4.4).




Рис. 4.2. Изменение вертикальной составляющий безразмерной скорости сферических тел. Обозначения как на рис. 4.1.



Рис. 4.3. Изменение горизонтальной составляющий безразмерной скорости сферических тел. Обозначения как на рис. 4.1.


Рис. 4.4. Влияние диметра сферического тела на величину числа Рейнольдса. Обозначения как на рис. 4.1.


Исходные данные по вариантам

Размерный

параметр

Номер варианта

1

2

3

4

5

D, м

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

s , кг/м3

1050

1040

1030

1020

1010

uf , м/с

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

H, м

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

ТС

10

15

25

5

20

Исследовать

влияние

Н

s

uf

Т

D


В качестве научно-исследовательской работы предлагается выполнить расчеты и построить графическую зависимость безразмерной абсциссы осаждения сферы от одного из критериев подобия задачи.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование: учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1990.- 543 с.

  2. Наумов В.А. Механика движения неоднородных сред. Учебник.– Калининград, 2005.– 125 с.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
Методические указания для выполнения индивидуальных заданий для студентов технических специальностей
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины химия
Учебно-методический комплекс дисциплины «Органическая и биологическая химия» призван помочь студентам, обучающимся по направлению...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания по изучению дисциплины и задания для контрольных работ студентам-заочникам, сельскохозяйственных вузов по специальности 1509 «Механизация сельского хозяйства»
Гидравлика и гидромеханизация сельскохозяйственных процессов: Методические указания по изучению дисциплины/ Всесоюзн с. Х ин-т заоч...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
Самостоятельная учебная работа студентов может быть подразделена на следующие формы
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины химия
Учебно-методический комплекс дисциплины Химия призван помочь студентам специальности: 150700 «Машиностроение» в организации самостоятельной...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
Ефремова Е. Н., Желобовская Ю. Н., Сборник задач для практических занятий и самостоятельной работы Част – кгту, 2007 – 139 c
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам
Настоящие методические указания (рекомендации) предназначены для студентов высших учебных заведений, обучающихся в соответствии с...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
Важной часть изучения дисциплины является самостоятельная работа над учебным материалом: разбор материалов практических занятий,...
Методические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины iconМетодические указания (рекомендации) студентам по изучению дисциплины
В помощь студенту кафедрой русского языка разработаны и опубликованы учебные пособия. Также материалы хранятся на кафедре в электронном...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница