Элективный курс Тема




Скачать 124.63 Kb.
НазваниеЭлективный курс Тема
Дата16.12.2012
Размер124.63 Kb.
ТипЭлективный курс


МОУ «Алгашинская СОШ»


Элективный курс


Тема:




Выполнила:

Учительница математики

МОУ «Алгашинская СОШ»

Шумерлинского района Ч. Р.

Трифонова С.П.


Научный руководитель:

Хрисанова З.И.

старший преподаватель

естественнонаучных

дисциплин ЧРИО.


2007 г.


Пояснительная записка.


Элективный курс посвящен одному из ключевых вопросов алгебры – тригонометрическим уравнениям.

К сожалению, в основной школе, где на изучение темы отводится мало часов, трудно поддерживать интерес обучающихся к данной теме. Умение решать различные виды тригонометрических уравнений необходимо показать при сдаче ЕГЭ, т. е. при поступлении в ВУЗы. Предлагаемый курс является развитием ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр тригонометрических уравнений, посильных для обучающихся. Все входящее в элективный курс не вызовет трудностей у ученика, т. к. просто систематизирует и дополняет знания и умения учащихся, полученные на уроках алгебры и начал анализа. При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно решать предлагаемые уравнения. Данная тема позволит повысить интерес к изучению математики, осмыслить свои действия, наблюдать и делать правильный выбор. Организация на занятиях должна несколько отличаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы.


Учебно-тематический план.


п/п

Тема занятий.

Количество часов.

1

Введение.

1ч.

2

Уравнения, сводимые к алгебраическим.

2ч.

3

Однородные уравнения.

2ч.

4

Уравнения, решаемые разложением на множители.

2ч.

5

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

2ч.




Контрольная работа.

1ч.

6

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

2ч.

7

Уравнения вида asin x+bcos x = c

3ч.

8

Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1ч.




Контрольная работа.

1ч.




Итого

17ч.


Содержание:


Тема 1. Повторить основные тригонометрические формулы. Познакомить учащихся с различными видами тригонометрических уравнений.

Форма работы: семинарские занятия.


Тема 2. Показать учащимся уравнения, сводимые к алгебраическим. Записать основные формулы, необходимые для их решения. Добиться, чтобы учащиеся поняли, что уравнения, сводимые к алгебраическим – это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 3. Определение однородного уравнения, степень однородного уравнения, примеры решения однородных уравнений.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.


Тема 4. Повторить различные способы разложений на множители (вынесение за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения), а так же формулы из Темы 2, и формулы sin 3 = 3 sin  – 4sin3, cos 3 = 4 cos3  – 3 cos . Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 5. Повторить формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, формулы синуса (косинуса) суммы и разности двух углов. Разобрать решение нескольких уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа, самостоятельная работа.


Тема 6. Формулы понижения степени:

sin2 t = ½ (1 – cos 2 t) и cos2 t = ½ (1 + cos 2 t)

Решить несколько уравнений.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 7. Способы решения уравнений вида asin x + bcos x = c.

1-й способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - введение вспомогательного угла.

a2+b2 * sin (х + )= c. формула (1)

Это уравнение имеет решение, если a2+b2  c2, тогда

х +  = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n, nZ

х = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n - , nZ.

Угол  находится из равенства tg  = sin /cos  = a/ b,

Откуда  = arctg a/ b. Тогда

х = (-1) n arcsin c/ a2+b2 +n - arctg a/ b , nZ.

2-ой способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - метод рационализации.

Выразим sin x, cos x, tg х через тангенс половинного угла. Метод рационализации заключается в том, что вводится вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспомогательного неизвестного.

Пусть tgх/2 =t, тогда получим:

а 2t/ (1+t2 ) +b(1+t2 ) /(1+t2 ) = c

Это уравнение - рациональное относительно t. Умножим обе части уравнения на (1+t2 ) 0 при t R , получим

( b+c)t2 -2at + (c-b) = 0 (2)

D/4 = a2 + b2 – c2 . Полагаем, что b+c0 тогда

t1,2 = (a  D/4): (b+c) (3)

Значение t – действительные , если a2+b2  c2.

Решить несколько уравнений, применяя наиболее рациональные методы.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Тема 8. Необходимые формулы:

arcsin x + arccos x = ½ ; arctg x + arcctg x = ½ ;

– ½  < arcsin x < ½ ; – ½  < arctg x < ½ ;

0 < arccos x < ; 0 < arcctg x < ;

sin (arcsin x) = x и cos (arccos x ) = x, если |x| <1;

tg (arctg x) = x и ctg (arcctg x ) = x, если x R.

Разобрать несколько примеров решения уравнений данного типа.

Форма работы: семинарские занятия, практическая работа.


Дидактический материал.


Тема 2.


Примеры :

Решить уравнения

а) 2sin2x – 7cosx – 5 = 0

Решение. 2 (1- cos2x) – 7cosx – 5 = 0 1) cosx = - 3 < -1, x=Ø

2cos2x +7cosx +3 =0

cosx =y 2) cosx = - ½,

2y2 +7y +3= 0 x=+ 2/3 + 2k, kZ.

y1 =-3, y2 = - ½.

Ответ: x=+ 2/3 + 2k, kZ.


б) cos2x + 3sinx = 2.

Решение. 1-2sin2x + 3sinx = 2.

2sin2x - 3sinx + 1=0

Пусть sinx =y, 2y2 - 3y + 1 = 0

y1 =1/2 , y2=1. 2) sinx = 1

1) sinx = 1/2 x=/2 + 2k, kZ.

x=(-1)n/6 +n, nZ.

Ответ: x=(-1)n/6 +n, /2 + 2k, n,k Z.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. 3sin22x + 7cosx – 3 =0

  2. 25sin2x + 100cosx = 89

  3. cos2x + 5sinx - 3 =0.

  4. 2cosx – cos2x – cos22x = 0.

  5. cos2x + sin2x + sinx = 0,25.


Тема 3.


Решить уравнения.

а) cos2x + sinx cosx = 0

В условии не указано, что cosx≠0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx  O, так как в противном случае

cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:

ctg2x + ctgx =O

ctgx (ctgx + l) = O.

1) ctg x = 0, x=/2 +n , nZ. или 2) ctg x = -1 , x= 3/4 + k, k Z.

Ответ: x=/2 +n , x= 3/4 + k, n, k Z.


б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.

Решение.

Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:

4 sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,

sin2 х +2 sinx cos x — 3cos2x = 0.

Очевидно, что cos x ≠ O. Разделим на cos2x, получим:

tg2x + 2tgx -3 =0,

tgx = -3 tgx = 1

x=arctg3 + k ,k Z. x=/4+n, nZ.

Ответ: x=arctg3 + k , x=/4+n, k,nZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. 3cos2x -5 sin2x – sin2x =0.

  2. sin х - cosx = 0.

  3. cos2x - 3 sin xcos x +2sin2x = 2.

  4. 3sin2x– 2sin2x +5cos2x = 2.

  5. 2sin2x + 14cos2x -7 sin xcos x =2.



Тема 4.

Решить уравнения.

а) sin2x- sin х= 0.

Решение.

sin х(sin х-1) =0

1) sin х= 0. 2) sin х-1 =0

x=n, nZ. sin х= 1

x=/2+k, kZ.

Ответ: x=n, x=/2+k, n,kZ.


б) sin4x –cos2x = 0

Решение.

2 sin2x cos2x –cos2x = 0

cos2x (2 sin2x –cos2x) =0

  1. cos2x =0,

2x= /2 +n, nZ.

x= /4 +n  /2, nZ

2) 2 sin2x –cos2x =0

2tg2x -1 =0

tg2x=1/2

2x= arctg1/2 + k,k Z.

x=1/2 arctg1/2 +k /2, kZ.

Ответ: x= /4 +n  /2, x=1/2 arctg1/2 +k /2, n,kZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы:


  1. sin2x +cos2x = 1

  2. 2tg3x-2tg2x+3tgx-3=0.

  3. cos2x= cosx –sinx .

  4. sin2x = cos4x/2 –sin4x/2.

  5. cos2x+ sin2x+ cosx–sinx =1.



Тема 5.


Решить уравнения

а) sinx + sin3x =4 cos3x

Решение.

2 sin2x cosx - 4 cos3x =0

4 sinx cos2x- 4 cos3x =0

4 cos2x ( sinx –cosx) =0

1) cosx = 0 2) sinx –cosx =0

x= /2 +n, nZ tgx -1 =0

tgx = 1

x= /4 +k, kZ.

Ответ: x= /2 +n, x= /4 +k, k,nZ


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. sin3x + sin5x = sin4x.

  2. cos7x + sin8x =cos3x –sin 2x.

  3. cos9x – cos7x +cos3x - cosx =0.

  4. sin3x + sinx = 4sin3x.

  5. cos7x +sin22x = cos22x - cosx


Тема 6.


Решить уравнения.

а) 2 sin2x +cos4x = 0.


Решение. 1 – cos2x + cos4x = 0 .

1 + cos4x – cos2x = 0 .

2 cos22х – cos2x = 0

cos2x ( 2cos2x -1 )= 0


1) cos2x = 0 . 2) 2cos2x -1 = 0

2х=/2 +n, nZ cos2x =1/2

х = /4 + n /4, nZ 2x = + /3 + 2k, kZ.

х = + /6 + k, kZ. Ответ: х = /4 + n /4, х = + /6 + k, n, kZ.


  1. sin2x - sin22x + sin23x =1/2.


Решение. 2sin2x - 2sin22x + 2sin23x =1

1 – cos2x - 1 + cos4x+1 – cos6x =1

cos4x – cos2x – cos6x =0

cos4x – ( cos2x + cos6x ) =0

cos4x – 2cos4x cos2x =0

cos4x (1 – 2cos2x ) = 0

1) cos4x = 0 2) 1 – 2cos2x = 0

4x = /2 +n, nZ cos2x = 1/2

x = /8 + n/4, nZ 2x = + /3 + 2k, kZ.

х = + /6 + k, kZ.

Ответ: x = /8 + n/4, х = + /6 + k, k,nZ


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. sin22х + sin23x + sin24x+ sin25x =2.

  2. 6 sin2х + 2 sin22x = 5.

  3. sin25x = cos22x - 2 sin22x -1 .

  4. sin2x + sin22x + sin23x =1,5.

  5. cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.


Тема 7.


Решить уравнения.

а) 3sinx + 4 cosx = 2

Решение.

a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2  c2, следовательно уравнение имеет решение.

5sin (х +) = 2,

sin (х +) = 2/5, откуда получим

х + = (-1) n arcsin 2/5 +n, nZ

х = (-1) n arcsin 2/5 +n-  , nZ

 = arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем

arcsin 2/5  23 35

 = arctg 4/ 3  53 08

х = (-1) n 23 35+180n- 53 08 , nZ

Ответ: х = (-1) n 23 35+180n- 53 08 , nZ


б) 3sinx - 4 cosx = 5.

Решение.

a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52 , т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.

3* 2t/ (1+t2 ) - 4 *(1+t2 ) /(1+t2 ) = 5

6t-4 + 4t2 = 5 +5t,

t2 -6t +9 =0

(t-3)2 =0 t=3, tg x/2= 3,

x/2= arctg3 +n, nZ

x= 2arctg3 +2n, nZ

Ответ: x= 2arctg3 +2n, nZ.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. 5sinx – 12cosx =13.

  2. 5sinx – cosx =5.

  3. 4sinx + 5cosx =6.

  4. sin4x + cos4x =4.

  5. cosx – sinx =1.


Тема 8.


Решить уравнения.

а) 4 arctg2 -3х -3 )- = 0.

Решение. arctg(х2 -3х -3) =/4

Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-/2 ; /2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:

х2 -3х -3 = 1

х2 -3х -4 = 0

т.е. х1= -1 и х2 =4.

Ответ: . х1= -1 , х2 =4.

б) 6 arcsin2 -6х + 8,5) =

Решение. arcsin (х2 -6х + 8,5) =/6,

х2 -6х + 8,5=0,5

х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.


Ответ: х1=2 , х2= 4.


Упражнения для самостоятельного решения и домашней работы.


  1. arcsin(2x -3) = /2.

  2. arccos( x2 -2) =.

  3. arctg(4x2 – 12x + 10) = .

  4. 4 arcctg(x2 – 9x + 15) - =0.

  5. 2 arcsinx = arcsin2x.


Контрольная работа №1.

Вариант 1.

  1. Решить уравнение 4sin2x + cosx – 3,5 =0.

  2. Решить уравнение 3cos2x = 4 sin xcos x - sin2x

  3. Решить уравнение tg23х - 2 sin2=0.

  4. Решить уравнение cos5x + cos7x + cos6x =0


Вариант 2.

  1. Решить уравнение 2sin2x - 7cosx – 5 =0.

  2. Решить уравнение sin2x - sin xcos x cos2x =1.

  3. Решить уравнение сtg2х - tg2х = 4 cos2x .

  4. Решить уравнение cos2x - cos8x + cos6x =1.

Контрольная работа №2.


Вариант 1.


  1. Решить уравнение cos2x + cos22х + cos23х + cos24х =2.

  2. Решить уравнение cosx – sinx =1,5.

  3. Решить уравнение 3sinx – 2cosx =4.

  4. Решить уравнение arcsin(x +1) = /6.



Вариант 2.


  1. Решить уравнение cos2x + cos22х - cos23х - cos24х =0.

  2. Решить уравнение cosx – sinx =2/2

  3. Решить уравнение sinx + cosx =2

  4. Решить уравнение arccos( x2 - 5х+7) =0.



Литература:


  1. Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1989.

  2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. – М. Просвещение, 2005г.

  3. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. – Дрофа, 1996г.

  4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10 кл. М. Просвещение, 2003г.

  5. Макарычев Ю.Н. и др. Тригонометрия. М. Просвещение, 2005г.


Похожие:

Элективный курс Тема iconЭлективный курс по физике для 9 класса. Тема: «Решение олимпиадных задач по механике»
Данный элективный курс дает учащимся сведения практического характера, выводит их на деятельностный подход, знакомит с проблемами...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс по истории «Разгаданные тайны истории»
Данный элективный курс позволяет углубить содержание базового курса 11 класса средней общеобразовательной школы. Курс рассчитан на...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс по астрономии
Элективный курс предназначен для учащихся 9-11 классов, способных заниматься исследовательской деятельностью
Элективный курс Тема iconЭлективный курс по математике 10 класс
«Лучший элективный курс для профильного обучения «Будущее Чувашии в инновационном мышлении»»
Элективный курс Тема icon1. Химическая природа душистых веществ 4 часа
Элективный курс предназначен для учащихся 10-11 кл Элективный курс включает материал по органической химии и расширяет рамки учебной...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс по математике для 10 класса
Данный элективный курс называется «Уравнения и неравенства с параметрами». Он содействует профессиональной ориентации учащихся в...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс для 10 класса Составитель Залогова Л. А
Курс «Компьютерная графика» элективный курс для учащихся старших классов школ, гимназий, колледжей. Курс предназначен для уча­щихся,...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс разработан по дисциплине «Детская хирургия»
...
Элективный курс Тема iconЭлективный курс «Физика в примерах и задачах военно-технического содержания»
Элективный курс предназначен для учащихся 9 класса, изучающих физику на базовом уровне и рассчитан на 12 часов
Элективный курс Тема iconКонкурс «Лучший элективный курс для профильного обучения «Будущее Чувашии в инновационном мышлении»
«Метапредметный элективный курс как технология формирования креативного мышления учащихся»
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница