Решение задач по теме «Системы счисления»




Скачать 160.25 Kb.
НазваниеРешение задач по теме «Системы счисления»
Дата09.12.2012
Размер160.25 Kb.
ТипРешение
Решение задач по теме «Системы счисления»


Теоретический материал


Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.

Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древнегреческая и др.

Система счисления называется позиционной, если значение цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.


В позиционных системах счисления основание системы счисления – это количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.

Название системы

Основание

Используемые цифры

Десятичная

10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Двоичная

2

0,1

Восьмеричная

8

0,1,2,3,4,5,6,7

Шестнадцатеричная

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

В следующей таблице приведены первые 17 числе нескольких систем счисления:

Основание




«10»

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

«2»

0

1

10

11

100

101

110

111



























«8»

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

«16»

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе обязательно наступает момент, когда число становится двузначным и обозначается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использовать комбинацию из двух цифр.


Развернутая форма записи чисел

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде: Aq = (an-1qn-1+an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m) – развернутая форма числа.

Здесь:

А – само число,

q – основание системы счисления,

ai – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.),

n – число разрядов целой части числа,

m - число разрядов дробной части числа.

Пример 1. Записать в развернутом виде число А10 = 5124,23

5124,2310 = 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100 + 2*10-1 + 3*10-2


Пример 2. Записать в развернутом виде число А8 = 327,14

327,148 = 3*82 + 2*81 + 7*80 + 1*8-1 + 4*8-2


Пример 3. Записать в развернутом виде число А16 = 3D,2E

3D,2E 16 = 3*161 + D*160 + 2*16-1 + E*16-2 = 3*161 + 13*160 + 2*16-1 + 14*16-2


Свернутой формой записи чисел называется запись в виде

A = an-1an-2a1a0,a-1a-2a-m . именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.


Перевод из десятичной системы в другие системы счисления

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, , привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Например, для перевода из десятичной системы в двоичную, делят на 2; для перевода в восьмеричную – на 8 и т.д.

Пример 4. 17510  x2




Таким образом, 17510 101011112


Пример 5. 17510 х8




Таким образом, 17510 2578


Пример 6. 17510 х16





Число 15 в шестнадцатеричной системе записывается как «F», а число 10 – как «А». Таким образом, 17510 AF16


Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому алгоритму.

1. Последовательно умножить данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.


Пример 7 0,62510 x2

0,

625

*2

0

1250

*2

0

2500

*2

0

5000

*2

1

0000

Получаем: 0,62510 0,00012


Пример 8. 0,6562510 x8

0,

65625

*8

5

25000

*8

2

00000

Получаем: 0,6562510 0,528


Пример 9. 0,6562510 x16

0,

65625

*16

10

(А)

50000

*16

8

00000

Получаем: 0,6562510 0,А816


Пример 10 . 0,910 x2

0,

9

*2

1

8

*2

1

6

*2

1

2

*2

0

4

*2

0

8

*2

1

6

…..

Этот перевод можно продолжать бесконечно. В этом случае деление производим до тех пор, пока не получим нужную точность представления числа.

Получаем: 0,910 0,1110012 с точностью до семи значащих цифр после запятой.


Для перевода произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.


Пример 11. 2145,8610 х16. Дробную часть вычислять до пятого знака.

1) 214510 х16




214510 86116


2) 0,8610 х16

0,

86

*16

13

(D)

76

*16

12

(C)

16

*16

2

56

*16

8

96


15

(F)

36

Получаем: 0,8610 0,DC28F2 с точностью до пяти значащих цифр после запятой.


Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную


Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

1. Представить число в развернутой записи. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.

2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Пример 12. 1101,012  х10

1. Запишем число 1101,012 в развернутой форме: 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2.

2. Найдем сумму ряда: 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 = 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,7510.


Пример 13. 0,718  х10

1. Запишем число 0,718 в развернутой форме: 7*8-1 + 1*8-2.

2. Найдем сумму ряда: 7*0,125 + 0,0625 = 0,937510.


Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием
q = 2n.


Алгоритм перевода двоичных чисел в систему счисления с основанием q = 2n.

1. Целую часть двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в крайней левой в целой части и/или в крайней правой в дробной части группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием =2n.


Пример 14. 1101110,00012  х8




1101110,00012  156,048


Пример 14. 1101110,00012  х16




1101110,00012  6Е,116


Перевод чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.


Алгоритм перевода чисел из системы счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления.

1. Каждую цифру числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n, заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.


Пример 15. 315,028  х2




315,028  11001101,000012


Пример 16. 12С16  х2




12С16  1001011002


Двоичная арифметика


Таблица сложения двоичных чисел

+

0

1

0

0

1

1

1

10


1 означает перенос в следующий разряд


Таблица вычитания двоичных чисел

-

0

1

0

0

11

1

1

0

1 означает заем из старшего разряда

Таблица умножения двоичных чисел

*

0

1

0

0

0

1

1

1



Пример 17.


1101,01

+ 111,10

10100,11


1001,10

-- 100,01

101,01


1011

* 101

------

1011

1011

-------------

110111

Обратите внимание на то, что 1 +1 +1 = 1 + перенос 1 в следующий разряд









Примеры из заданий ЕГЭ


1. Задание А1 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)

Дано А=9D16, B=2378. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A

1) 10011010




2) 10011110




3) 10011111




4) 11011110




Решение.

Переведем все данные нам числа в десятичную систему счисления. Проще будет сравнивать числа.

A = 9D16 = 9*161 + D*160 = 144 + 13*1 = 15710.

В = 2378 = 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910.

Значит, чтобы выполнялось условие A10. Сразу исключаем ответ под номером 3, так как это нечетное число.

Далее переведем 15810 в двоичную систему счисления. 15810 = 100111102. Правильный ответ 2.


2. Задание А4 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)


Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112 , Y=1358


Результат представьте в двоичном виде.

1) 110101002

2) 101001002

3) 100100112

4) 100101002


Решение.

Переведем число Y = 1358 в двоичную систему счисления.























Y = 1358 = 10111012. Выполним сложение двоичных чисел.


1 1 0 1 1 1

+ 1 0 1 1 1 0 1

-------------------

1 0 0 1 0 1 0 0 Правильный ответ 4.


3. Задание B3 демоверсии 2010 года (сайт fipi.ru)


В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.


Решение.

Допустим, что основание системы равно х, тогда составим развернутую форму записи числа:

100х = 1*x2 + 0* x1 + 0*x0 = x2.

По условию задачи х2 = 4910. Найдем х:

х2 = 49  х = 7.


Можно выполнить проверку. Переведем число 4910 в 7-ричную систему счисления:




Ответ: 7.


4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.

Решение.

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления 17-2 = 15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5 ,15.

Выполним проверку, записав число 17 в системах счисления с основанием 3, 5 , 15:

1710 = 1223 = 325 = 1215.

Ответ: 3, 5, 15.


3. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

В саду 100q фруктовых деревьев. Из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

Решение.

По условию 33q + 22q + 16q + 5q + = 100q.

Воспользуемся развернутой формой записи чисел:

(3*q1 + 3*q0) + (2*q1 + 2*q0) + (1*q1 + 6*q0) + 5*q0 = 1*q2 + 0*q1 + 0*q0;

3q + 3 + 2q + 2 + q + 6 + 5 = q2;

q2 – 6q – 16 = 0  q = 8. Проверку выполните самостоятельно.

Ответ: 8.


4. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

(Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 41, запись которых в системе счисления с основанием 3, оканчивается на 12.

Решение.

В интервале от 4 до 41 выберем те числа, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это 5, 8, 11, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41.

Далее из полученных чисел выберем, у которых частное от их деления 3, при делении на 3 еще раз, дает остаток 1.

1) 41: 3 = 13 (ост. 2)

13 : 3 = 4 (ост. 1)  41 – искомое число.


2) 38 : 3 = 12 (ост. 2)

12 : 3 = 4 (ост. 0) – при переводе числа 38 в 3-ричную систему счисления получим число, оканчивающееся на 10, а не на 12 как нам требуется по условию задания. Не забудьте в ответе выписать полученные числа в порядке возрастания!

Ответ: 5, 14, 23, 32, 41.


5. Задание B3 (Информатика: ЕГЭ-2009: Самые новые издания/ авт.-сост. О.В. Ярцева, Е.Н. Цикина. – М.: АСТ: Астрель, 2009)

Сумму восьмеричных чисел 17 + 170 + 1 700 + … + 1 700 000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение.

Решим задание «в лоб». Найдем сумму восьмеричных чисел 17 + 170+1 700+17 000 + 170 000 + 1 700 000.




2 111 1078  х10  y16


2 111 1078  561 73510  89 24716.

Ответ: 2.

Задания для самостоятельного решения.

1. Найдите наименьшее из чисел А, В, С и D, записанных в различных системах счисления, если А = 10244, В = 4716, С = 7310, D = 10010102.

1) А 2) В 3) С 4) D

Ответ: 2.


2. Какое из неравенств выполняется для чисел А = 1648, В = А316, С = 22004?

1) A < B < C 2) A < C < B 3) B < A < C 4) C < B < A

Ответ: 2.

3. Сколько значащих нулей содержится в двоичной записи суммы чисел а = 1058 и
b = С616?

1) 3 2) 4 3) 2 4) 5.

Ответ: 4.


4. Сколько единиц содержится в двоичной записи суммы чисел а = 3А16 и
b = 738?

1) 3 2) 5 3) 4 4) 6.

Ответ: 2.


3. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается как 110. Укажите это основание.

Ответ: 3.


4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 15 оканчивается на 3.

Подсказка. Основание системы должно быть больше 3.

Ответ: 4 ,6 ,12.


5. В системе счисления с некоторым основанием q число 5810 записывается как 134q. Укажите это основание.

Ответ: 6.


Похожие:

Решение задач по теме «Системы счисления» iconРешение задач по теме «Системы счисления»
Знакомство с программой Adobe Photoshop. Конспектирование необходимой информации. Выполнение тренировочных заданий – 1 подгруппа
Решение задач по теме «Системы счисления» iconОсобенности решения задач по теме «Системы счисления» (в формате егэ по информатике и икт)
Цель: познакомиться с методами решения задач по теме «Системы счисления» в формате егэ по информатике
Решение задач по теме «Системы счисления» iconУрок-игра по теме «Системы счисления»
«Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную. Перевод чисел из двоичной в десятичную систему счисления информатике»
Решение задач по теме «Системы счисления» iconУрок по теме "Системы счисления"
Оборудование: веб-квест «Системы счисления», дифференцированные задания, тест, интерактивная доска
Решение задач по теме «Системы счисления» icon№ урока по теме
«Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую»
Решение задач по теме «Системы счисления» iconМетодические рекомендации по теме: Системы счисления
Цель работы: подготовка к сдаче единого государственного экзамена в рамках темы «Системы счисления»
Решение задач по теме «Системы счисления» iconСистемы счисления
Цель урока: закрепление, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Системы счисления»- правил перевода чисел из одной системы...
Решение задач по теме «Системы счисления» iconТема: «Двоичная система счисления» Цели урока
Для того чтобы перейти к изучению десятичной и двоичной систем счисления, давайте разберемся что такое системы счисления и откуда...
Решение задач по теме «Системы счисления» iconТема : Кодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Решение задач по теме «Системы счисления» iconТема : Кодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница