Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Государственный университет – Высшая школа экономики
Скачать 86.38 Kb.
|
Государственный университет – Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Программа дисциплины ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Для направления 510200 - ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА Автор программы: д.ф.-м.н. Д.И.Пионтковский Рекомендовано секцией УМС Одобрена на заседании Математические и статистические кафедры высшей математики методы в экономике на факультете экономики Председатель Зав . кафедрой __________А .С .Шведов __________Ф .Т .Алескеров “___” __________ 200_ г . “___” _____ _____ 200_ г . Утверждена УС ______________ Ученый секретарь _________________ “___” __________ 200_ г . Тематический расчет часов курса
Пояснительная записка Требования к студентам: Изучение курса "Линейная алгебра" не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы. Аннотация Курс "Линейная алгебра" включает в себя начала линейной алгебры и аналитической геометрии и общей алгебры в том объеме. Основными темами курса являются системы линейных уравнений, линейные пространства и отображения, билинейные формы и начала аналитической геометрии. Особое внимание в данном курсе уделяется экономико-математическим моделям, построенным на основе конструкций линейной алгебры. Овладение основными понятиями курса необходимо для дальнейшего изучения многомерного анализа, эконометрики, дискретного анализа и численных методов, изучаемых в рамках направления «Бизнес-информатика». Ко всем разделам курса предлагаются геометрические иллюстрации и примеры экономического содержания. Учебные задачи курса Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями высшей алгебры, их геометрическими интерпретациями и приложениямик экономическим задачам. В результате изучения курса «Геометрия и алгебра» студенты должны:
Содержание программы
Векторы как упорядоченные наборы чисел. Линейные операции. Скалярное произведение, неравенство Коши, неравенство треугольника, угол между векторами. Матрицы и линейные операции над ними. Простейшие матричные уравнения, система линейных уравнений в матричной форме. Простейшая линейная производственная модель.
Перестановки. Знак перестановки. Определитель квадратной матрицы. Метод математической индукции и метод спуска. Свойства определителя. Способы вычисления определителей. Определитель произведения матриц.
Ранг матрицы: различные определения. Миноры и вычисление ранга. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Формула обратной матрицы. Другие способы вычисления обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. Формулы Крамера.
Теорема Кронекера-Капелли. Общий вид решений системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса.
Определение и примеры линейных пространств. Линейная независимость, базис, размерность. Замена координат. Линейные отображения и линейные операторы. Замена базисов. Подпространство. Ядро и образ линейного отображения.
Билинейные и квадратичные формы. Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Канонический вид и нормальный вид квадратичной формы, закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Метод Якоби. Критерий Сильвестра. Кривые и поверхности второго порядка. Евклидовы пространства. Матрица Грама. Неравенство треугольника, неравенство Коши. Угол между векторами, объем параллелепипеда. Проекции, нормали, расстояния.
Комплексные числа. Арифметические операции, формулы Муавра. Решение простейших алгебраических уравнений. Инвариантные подпространства и собственные вектора линейного оператора. Собственные значения и характеристический многочлен. Теорема о минимальной размерности инвариантных подпространств. Диагонализуемый оператор. Симметрические матрицы. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные (симметрические) операторы и ортонормированные собственные базисы. Ортогональные операторы. Модель межотраслевого баланса.
Выпуклость в линейном пространстве. Выпуклая оболочка. Примеры задач линейного программирования. Общая формулировка. Геометрический метод решения двумерной задачи. Двойственная задача и ее экономическая интерпретация. Теорема о равновесии. Общие принципы построения алгоритмов решения задачи линейного программирования. Формы рубежного контроля и структура итоговой оценки Предусмотрены контрольная работа в конце 1-го и в 2-го модулей и большое домашнее задание, которое выполняется в течение 1-го и 2-го модулей. В конце 3-го модуля – проводится экзаменационная работа. Студенты, не выполнившие (возможно, с нескольких попыток) домашнее задание, к зачету не допускаются. Оценка за зачет З по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма З = 0,2 С +0,3 К1 +0,5K2 10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях С и двух контрольных работ К1 и K2 с округлением до целого числа баллов. Итоговая оценка К формируется как взвешенная сумма К = 0,2 С +0,3 З +0,5 Э10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях, зачёта З и экзаменационную работу Э с округлением до целого числа баллов. В течение обучения студентам предлагаются индивидуальные домашние задания, по одной задаче на каждый логический раздел курса. У слушателей, не сдавшим своевременно какое-то количество N из этих задач, из оценки за зачетную (соответственно, экзаменационную) контрольную вычитается N/2 баллов. При округлении учитывается работа на семинаре. Оценка по 5-балльной системе выставляется по следующим критериям: •0 < К< 3 - неудовлетворительно, •4 < К < 5 - удовлетворительно, •6 < К < 7- хорошо, •8 < К < 10 -отлично. Литература Базовые учебники
Дополнительная литература
|
