С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике




Скачать 328.56 Kb.
НазваниеС. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике
страница1/3
Дата19.05.2013
Размер328.56 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Министерство образования и науки Российской Федерации


Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования


НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

«Томский политехнический университет»




С.И. Кузнецов


МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ


3-е издание, переработанное, дополненное


Издательство

Томского политехнического университета

2011




УДК 53(075.8)

ББК 22.3я73

К891



К891

Кузнецов С.И.

Методика решения задач по кинематике: учебное пособие / С.И. Кузнецов; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – 3-е изд., перераб. доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 29 с.


В учебном пособии рассмотрены основные вопросы кинематики, приведены методические указания по решению типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного решения и тесты.

Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.

Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует программе курса физики, общеобразовательных учебных заведений и направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности учащихся.

Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы. Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной работы.

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я73


Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета


Рецензенты

Доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ

А.В. Шаповалов

Доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ

А.Г. Парфенов


© Томский политехнический университет, 2011

© Оформление. Издательство ТПУ, 2011

© Кузнецов С.И., 2011


ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Каждая физическая задача имеет свои особенности. Поэтому при решении любых физических задач, в том числе и кинематических, полезно придерживаться следующего порядка выполнения основных действий.

Внимательно прочитав задачу, необходимо выяснить заданные условия и какие параметры необходимо определить. Кратко записать основные значения заданных величин, все внесистемные единицы перевести в систему СИ. Выяснить по условию задачи характер движения. Сделать схематический чертеж, отображающий описанное в задаче движение. Изобразить на нем траекторию движения, векторы скорости, ускорения, перемещения. Выбрать систему координат, связанную с телом отсчета, показать положительное направление координатных осей. Координатные оси выбирают так, чтобы проекции векторов на них выражались, возможно, более простым образом. Составить для данного движения уравнения, отражающие в векторной форме математическую связь между изображенными на схеме физическими величинами. Спроектировать записанные уравнения на выбранные оси. При этом необходимо учитывать, что проекция вектора на ось считается положительной, если направление соответствующей составляющей совпадает с положительным направлением оси, в противном случае она считается отрицательной. Решить составленную систему уравнений относительно искомых величин, т.е. получить расчетную формулу. Проверить размерность расчетной формулы, затем произвести вычисления.

Методические указания предназначены для абитуриентов. Предполагается, что абитуриент знает школьный теоретический материал данного раздела физики. В пособии рассмотрены примеры решения задач, которые абитуриент должен внимательно разобрать. Приведены задачи для самостоятельного решения, в основном, из экзаменационных вступительных билетов прошлых лет ТПУ.


ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ


Скорость [м/с] – величина векторная.

,

где – модуль вектора скорости; – проекция вектора на ось х; – проекция вектора на ось y; – угол между вектором и осью х.

Средняя скорость прохождения пути – скалярная величина:

, (1)

где S – путь, пройденный телом за промежуток времени t. Средняя скорость или средняя скорость перемещения – векторная величина:

, (2)

где – перемещение, которое было совершено за интервал времени .

Ускорение а [м/с2]:

, (3)

где – изменение скорости за время .

Прямолинейное равномерное движение:

, (4)

где S – путь, пройденный телом за время t, х – текущая координата; х0 – начальная координата;

Прямолинейное равноускоренное и равнозамедленное движение:

(5)

где S – путь, пройденный телом за время t; – начальная скорость тела; – скорость тела в момент времени t; х0 – начальная координата; х – текущая координата. Знак "+" относится к равноускоренному движению, а знак "–" к равнозамедленному.

Для равноускоренного движения справедливо:

. (6)

Свободное падение тела ():

(7)

где h – путь при свободном падении; g – ускорение свободного падения; – скорость тела в момент времени t.

Движение тела, брошенного вверх:

, (8)

где hmax – максимальная высота подъема тела; t1 – время подъема тела (время подъема тела равно времени падения); – начальная скорость тела.

Равномерное движение тела по окружности:

(9)

где N – число оборотов, совершенное за время t; Т – период вращения (с); n – частота вращения (1/с); – линейная скорость вращения (м/с); R – радиус вращения (м); – угловая скорость (рад/с); – угол поворота радиус-вектора (рад); – время поворота радиус-вектора (с);

ан – центростремительное ускорение (м/с2).

Закон сложения скоростей: скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной:

(10)

Кинематика специальной теории относительности:

Постулаты Эйнштейна.

  1. Никакие эксперименты, проводимые в данной лабораторной инерциальной системе не позволяют различить находится эта система в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Физические процессы во всех инерциальных системах протекают одинаково и не зависят от выбора системы отсчета, т.е. инвариантны по отношению к преобразованиям из одной инерциальной системы в другую.

  2. Скорость света с в вакууме не зависит от движения источника света. Она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в вакууме предельная скорость в природе. Скорость любых частиц, а также скорость распространения любых взаимодействий не может быть больше с.

Замедление времени. Пусть в системе, движущейся с собственной скоростью относительно наблюдателя, измерен промежуток времени (собственное время). В лабораторной системе, где наблюдатель неподвижен (в системе К), часы покажут при этом промежуток времени . Оба значения связаны соотношением

, (11)

где .

Из этого следует движущиеся часы идут медленнее неподвижных, таким образом, в движущихся системах К' время замедляется по отношению к неподвижной системе К.

Сокращение длины: Пусть в системе К' измерена длина l0 тела вдоль направления скорости (собственная длина). В лабораторной системе К, где наблюдатель неподвижен, измеренная длина тела равна l. Оба значения связаны соотношением

(12)

т.е. длина тела сокращается в направлении движения. В направлении перпендикулярном движению, сокращение длины не происходит.

Релятивистский закон сложения скоростей: Пусть тело движется со скоростью ' относительно некоторой системы координат . В свою очередь, эта система К' движется со скоростью U относительно неподвижной системы К так, что обе скорости лежат на одной прямой. Результирующая скорость тела относительно наблюдателя (системы К):

. (13)


ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ


Пример 1. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью = 40 км/ч, вторую – со скоростью = 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути. Анализ и решение: не следует поддаваться первому впечатлению и считать, что средняя в данном случае равна:



Это неверно! Обратимся к определению средней скорости. Средняя скорость есть отношение всего пройденного пути к промежутку времени, за которое этот путь пройден, т.е.

, (1)

где S – весь пройденный путь.



где , - время прохождения первой и второй половины пути соответственно.

Из формулы (1) видно, что S и t неизвестны. Используя данные, по условию задачи, выразим и через значения и и подставим в формулу (1):

(2) (3)

(4)

Проверяем размерность формулы (4):



Подставим численные значения:

.

Этот результат может показаться неожиданным, т.к. в курсе физики при выводе формулы пути при равноускоренном движении используется формула

,

согласно которой средняя скорость должна была бы равняться 50 км/ч. Следует иметь в виду, что эта формула для пригодна только в случае равноускоренного движения.

Итак: при решении задач не гадай, а решай, используя только те формулы, которые справедливы для данного вида движения.

Ответ: =48 км/ч.


Пример 2. Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью , а оставшуюся часть пути – со скоростью = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути = 37,5 км/ч. Анализ и решение: Обозначим весь путь через S, время, затраченное на прохождение первого участка пути – через t1 время движения на втором участке пути – через t2. Очевидно, что

.

отсюда

км /ч.

Ответ: 25 км/ч.


Пример 3. Одинаковое ли время потребуется для проезда расстояния S = 1 км на катере туда и обратно по реке (скорость течения U = 2 км/ч) и по озеру (в стоячей воде), если скорость катера относительно воды в обоих случаях = 8 км/ч? Какова будет длина пути SB, пройденного катером относительно воды?

Анализ и решение: Времена движения катера по реке против течения и по течению

10 мин;

6 мин;

Полное время движения по реке (туда и обратно)

16 мин.

Время движения туда и обратно по озеру

15 мин.

Отношение времен движения

.

При движении против течения и по течению катер относительно воды пройдет пути

,

Полный путь, пройденный катером относительно воды,

.

Ответ: t/t' = 1,07, т.е. время не одинаковое, SB = 2,1 км.


Пример 4. Катер пересекает реку. Скорость течения равна , скорость катера относительно воды . Под каким углом к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время? Пересечь реку по кратчайшему пути? Анализ и решение: Неподвижную систему координат XOY свяжем с берегом, приняв за начало координат О точку, в которой катер начинает двигаться, и направив ось ОХ по течению, вдоль берега, а ось OY перпендикулярно берегу (см. рис.). Относительно системы координат XOY катер движется со скоростью .

Найдем проекции вектора на оси ОХ а ОY:

.

Запишем уравнения, выражающие зависимость координат катера от времени:



Катер достигает другого берега в момент времени t = t1, когда у = L, где L - ширина реки. Следовательно, время, необходимое для пересечения реки:

.

Оно будет минимальным, когда sin = 1, т.е. когда = /2. Это означает, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу. Чтобы пересечь реку по кратчайшему пути из точки О в точку А, катер должен идти так, чтобы выполнялось равенство х = 0, т.е.

.

Отсюда находим



т.е. курс катера должен быть таким, чтобы выполнялись условия и . Следовательно, пересечь реку по кратчайшему пути катер сможет лишь при условиях: ,.


Пример 5. Тело, падающее без начальной скорости с некоторой высоты h1, прошло последние h2 = 30 м за время t2 = 0,5 с. Найти высоту падения hl и время падения t1. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ и решение: За начало координат О возьмем точку, находящуюся на высоте hl от поверхности Земли, ось OY направим вертикально вниз (см. рис.).

Время будем отсчитывать с момента начала движения тела. В начальный момент времени y0 = 0, oy= 0. Проекция ускорения на ось OY равна ау = g. Тогда уравнение, выражающее зависимость координат тела от времени, будет иметь вид:

. (1)

В момент времени t1 t2 координата тела будет равна:

. (2)

Когда тело упадет на землю, у = h1, t = t1. Согласно уравнению (1)

. (3)

Подставив это значение h1 в уравнение (2), получим:

.

Отсюда после преобразований найдем

. (4)

Подставив численные значения в формулы (4) и (3) получим



Ответ: = 6,3 с, h1 = 195 м.


Пример 6. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении. Через t1 = 2 с он упал на землю на расстоянии s = 40 м от основания вышки. Определить высоту вышки h. начальную и конечную скорости камня, и угол падения . Составить уравнение траектории камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

Анализ и решение: Точку бросания камня примем за начало координат О, ось OY проведем вертикально s = 40 м вниз, ось ОХ – горизонтально. В этой сиcтеме координат движение камня можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения со скоростью в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с ускорением g в вертикальном направлении.





Выпишем начальные условия:

.

Значения проекций ускорений на оси координат равны: ах = 0, аy = g. Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х, у и проекций скоростей и от времени запишутся так:

, (1)

(2)

В момент падения на землю у = h, х = s, t = t1. На основании уравнений (1) получим:

,

откуда найдем

.

Используя уравнения (2), можно найти модуль скорости в любой момент времени t:



Модуль конечной скорости камня

28 м/с.

Направление конечной скорости определяется утлом падения , значение которого найдем из условия:

.

Чтобы получить уравнение траектории камня, нужно из уравнения (1) исключить время. Так как

.

Это уравнение показывает, что камень будет двигаться по ветви параболы с вершиной в точке бросания.

Ответ: h = 19,6 м, = 20 м/с, = 28 м/с, 45°.


Пример 7. По графику зависимости координаты х от времени t, изображенной на рисунке построить графики зависимости и

На рисунке ОА и ВС – участки парабол.

Анализ и решение: Соответствующие графики показаны на рис. б) и в). При построении их учтено, что в течение промежутка времени от 0 до t1 тело двигалось равноускоренно, от t1 до t2 – равномерно, от t2 до t3 – равнозамедленно, от t3 до t4 – находилось в состоянии покоя.



Пример 8. По графику зависимости ускорения от времени установите скорость в момент времени 15 с, если в момент времени 1 с скорость равна 3 м/с.

Анализ и решение: Для удобства решения задачи обозначим точки, соответствующие временам t = 2, 5, 9, 12, 15 секунд соответственно А В С Д Е. Каждый участок зависимости рассмотрим отдельно.



На участке ОА тело двигалось равномерно (без ускорения) и в конце 2-ой секунды (в т. A) будет иметь скорость =3 м/с. На участках АВ и СД тело двигалось с переменным ускорением. Но, как видно из рисунка, ускорение на этих участках изменяется линейно с течением времени – на участке АВ оно растет, на участке СД оно (ускорение) уменьшается. Поэтому на участках АВ и СД можно считать движение равноускоренным с ускорением, найденным как среднеарифметическое, т.е.

30 м/с2.

Принимая движение на участке АВ эквивалентным равноускоренному, вычислим скорость в конце 5-ой секунды, используя формулу:

,

где t – время движения на участке АВ, t = 3 с

93 м/с.

На участке ВС тело двигалось равноускоренно, с а = 60 м/с2, поэтому скорость υС в конце 9-ой секунды равно:

.

На участке СД скорость рассчитывается та же, как и на участке АВ с учетом ускорения:

.

На участке ДЕ тело двигалось без ускорения (равномерно), значит скорость его не изменилась к концу 15-ой секунды.

Ответ: υЕ = 423 м/с.


Пример 9. С балкона вертикально вверх брошен мячик с начальной скоростью υ0 = 8 м/с. Через 2 с мячик упал на зем­лю. Определить высоту балкона над землей. Принять g = 10 м/с2. Результат представить в единицах СИ.

Анализ и решение: При анализе данной задачи следует сделать поясняющий рисунок, из которого будет видно как перемещалось тело.

Точку бросания мячика примем за начало координат.

Тело, брошенное верти­кально вверх, движется равнозамедленно с ускоре­нием g, в точке А оно остановится, пройдя рас­стояние hl за время t1. Время подъема и высоту h найдем из уравнений, опи­сывающих равнозамедленное движение:

(1)

(2)

Из уравнения (1) находим t1, т.к. , то



Из уравнения (2) находим h1:



Из точки А тело движется до земли равноускоренно с нулевой начальной скоростью, поэтому

, (3)

где – время падения тела.

Из уравнения (3) находим Н:

,

.

Ответ: 4 м.


Пример 10. Найти линейную скорость υ и центростре­мительное ускорение а точек на поверхности земного шара: а) на экваторе, б) на широте φ = 60°. Радиус земли принять равным R = 6400 км.

Анализ и решение: Линейная скорость любой точки на экваторе равна

, (1)

где Т = 24 ч = 86400 с – период суточного вращения Земли.

Центростремительное ускорение

(2)

На широте φ точки движутся по окружности радиусом (по параллели) с линейной скоростью

(3)

и центростремительным ускорением

(4)

Подставив численные значения в формулы (1 - 4) и вычислив, получим υ0 = 465 м/с, а0 = 0,034 м/с2, υφ = 233 м/с, аφ = 0,017 м/с2.

Пример 11. Ракета движется относительно неподвижного наблюдателя со скоростью υ = 0,99с (с – скорость света в вакууме). Какое время пройдет по часам неподвижного наблюдателя, если по часам, движущимся вместе с ракетой, прошел один год? Как изменятся линейные размеры тел в ракете (по линии движения) для неподвижного наблюдателя? Как изменится для этого наблюдателя плотность вещества в ракете?

Анализ и решение: Время, пошедшее по часам неподвижного наблюдателя, найдем по формуле

,

где t0 – собственное время в ракете. Размеры тел (вдоль линии движения) найдем из соотношения

,

где l0 – собственная длина тех же тел.

Плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя найдем по формуле

,

где ; .

Так как поперечные (по отношению к линии движения) раз­меры тел не изменяются, то

,

.

Найдем время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя:



Определим длину тел вдоль линии движения:

.

Найдем плотность вещества в ракете для неподвижного наблюдателя:

.

Ответ: По часам неподвижного наблюдателя пройдет примерно 7,1 года; продольные размеры тел по линии движения сократятся и составят приблизительно ; для неподвижного наблюдателя плотность вещества в ракете увеличивается приблизительно в 50 раз.

Пример 12. Две ракеты движутся навстречу друг другу со скоростями υl = υ2= 3/4 с по отношению к неподвижному наб­людателю. Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.

Анализ и решение: По классической формуле сложения скоростей

υ = υl + υ2.

По релятивистской формуле сложения скоростей

.

Подставив значения υ1 и υ2 получим:

по классической формуле сложения скоростей

.

По релятивистской формуле сложения

.

Пример 13. Какой стала бы длина тела по направлению дви­жения относительно неподвижного наблюдателя при υ = с?

Анализ и решение: Сокращение размеров тела в движущихся системах отсчета определяется формулой

,

При υ стремящейся к с, l стремится к нулю. Следовательно, при υ – с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.

  1   2   3

Похожие:

С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconАлгоритм решения задач по кинематике
Используя основные формулы кинематики, подберите формулы, которые необходимы для решения данной задачи
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодические указания к выполнению курсовых работ. Методика решения экспериментальных задач. Методика решения расчетных задач. Профильное обучение. Элективные курсы. Учебный эксперимент к теме «Углеводороды»
Учебный эксперимент при изучении кислород- и азотсодержащих органических соединений
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconАлгоритм решения задач по кинематике
Произведи краткую запись условия задачи с помощью общепринятых буквенных обозначений (СИ)
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодика решения задач по теме: «газы. Газовые законы»
Это значит, что каждый ученик должен научиться использовать теоретические знания для решения практических задач
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодика решения задач и особенности оформления экзаменационных работ при решении задач С1, С3, С5

С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодика решения задач и особенности оформления экзаменационных работ при решении задач С1, С3, С5

С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике icon«Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка
Іі методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодика решения экспериментальных задач по физике 2010год
Виды экспериментальных задач. Домашняя лабораторная работа как один из видов экспериментальной работы учащихся
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconУчебно-методическое пособие по дисциплине «Тактика тушения пожаров»
В учебно-методическом пособии рассмотрена методика решения задач по расчету основных показателей, характеризующих тактические возможности...
С. И. Кузнецов методика решения задач по кинематике iconМетодика решения задач по физике в средней школе. Каменецкий С. Е., Орехов В. П

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница