Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс




Скачать 145.1 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины теория групп Ли Цикл дс
Дата27.10.2012
Размер145.1 Kb.
ТипПрограмма дисциплины

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор

__________В.С.Бухмин


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Теория групп Ли


Цикл ДС


Направление: 510400 - Физика

Специализация: 010457 – Гравитация и теория относительности


Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации

(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.)

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)



Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ.

(протокол №___ от "__"__________200__ г.)


Председатель комиссии
____________________ (Д.А. Таюрский)


Рабочая программа дисциплины "Теория групп Ли" предназначена для студентов 3 курса

по направлению: 510400 – Физика

Специализация: 010457 – Гравитация и теория относительности


АВТОР: Даньшин А.Ю., Патрин Е.В.


КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: В данном курсе лекций излагаются основы теории топологических групп, теории алгебр и групп Ли, а также некоторые приложения теории групп и алгебр Ли в римановой геометрии. На языке теории групп описываются симметрии физических систем, поэтому она занимает важное место во многих разделах теоретической физики. Наличие достаточно высокой симметрии позволяет находить решения в общей теории относительности и космологии.


1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Теория групп Ли". Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:

  • знать основные понятия из теории топологических групп, теории групп и действия групп Ли на многообразиях, теории алгебр Ли,

  • знать классификацию вещественных алгебр Ли размерности n<=3 (так называемые типы Бианки),

  • уметь вычислять автоморфизмы и строить универсальные накрывающие группы для групп Ли размерности n<=3,

  • уметь вычислять локальные группы изометрических движений.


2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Форма обучения очная

Количество семестров 1

Форма контроля: 6 семестр экзамен


Ѓц‚
п/п


Виды учебных занятий

Количество часов







6 семестр

1.

Всего часов по дисциплине

106

2.

Самостоятельная работа

38

3.

Аудиторных занятий

68




в том числе: лекций

34




семинарских (или лабораторно-практических) занятий

34




3. Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ



Индекс

Наименование дисциплины и ее основные разделы

Всего часов

ДС.9




73

Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.

3.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ



п/п

Название темы и ее содержание

Количество часов







лекции

(лаб.-практ.) занятия

1

Топологические группы. Понятие топологической группы. Подгруппы и фактор - пространства топологической группы. Непрерывный гомоморфизм и изоморфизм. Отделимость в топологических группах и фактор - пространствах. Связные и несвязные топологические группы. Связная компонента единицы. Локальные и глобальные свойства топологических групп. Локальный изоморфизм. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность. Гомотопический тип топологического пространства. Стягиваемые пространства. Фундаментальная группа топологического пространства. Односвязные пространства. Старшие гомотопические группы. Накрытия и универсальное накрытие. Накрывающие группы. Универсальная накрывающая группа.

6

6

2

Группы Ли. Понятие группы Ли. Сущность пятой проблемы Гильберта. Иммерсированные и вложенные подгруппы Ли. Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли. Действие группы Ли на многообразии. Теорема об орбитах и стационарных подгруппах. Однородные пространства групп Ли. Связные и односвязные группы Ли. Односвязность группы Ли SU(n). Классические комплексные группы Ли. Односвязность групп Ли SL(n, C) и Sp(2m, C). Гомоморфизмы групп Ли. Эпиморфизмы: и .

8

8

3

Алгебры Ли. Понятие алгебры. Основные типы алгебр (ассоциативные, лиевы и т. д.). Структурные постоянные конечномерной алгебры. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры. Представление ассоциативной алгебры и алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли. Линейная форма и форма Киллинга. Центр алгебры Ли. Теорема Адо. Производный и нижний центральный ряд алгебры Ли. Разрешимые, неразрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Теорема Энгеля. Прямые и полупрямые суммы алгебр Ли. Радикал алгебры Ли. Понятие о полупростых и простых алгебрах Ли. Картановский критерий полупростоты по билинейной форме Киллинга. Теорема Леви – Мальцева – Картана. Теорема о разложении полупростой алгебры Ли в сумму простых. Понятие о классических комплексных и вещественных простых алгебрах Ли. Классификация вещественных алгебр Ли размерности n<=3. Типы Бианки.

8

8

4

Связь между группами Ли и алгебрами Ли. Построение алгебры Ли по группе Ли. Формулировка основных теорем о группах Ли и их связи с алгебрами Ли (теорема существования Картана, теорема о единственности односвязной группы Ли с данной алгеброй Ли, теорема о классификации связных групп Ли). Схема нахождения автоморфизмов алгебры Ли и автоморфизмов односвязной группы Ли. Классификация связных вещественных групп Ли размерности n<=3. Однопараметрические подгруппы групп Ли. Экспоненциальное отображение.

6

6

5

Приложения теории групп и алгебр Ли к римановой геометрии. Векторные поля и локальные однопараметрические группы диффеоморфизмов. Производная Ли. Алгебра Ли векторных полей. Локальное действие локальной группы Ли на многообразии. Три теоремы Ли. Локальные и глобальные группы изометрий. Схема классификации римановых пространств сигнатуры Лоренца по группам локальных изометрических движений.

6

6







Итого часов:

34

34



ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 3-е изд., исправл., М. Наука, 1973. - 520 с.

  2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. М. Наука, 1982. - 448 с.

  3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. Наука,1979. - 760 с.

  4. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М. Изд-во МГУ, 1989. - 359 с.

  5. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. М. НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002. - 256 с.


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М. Наука, 1976. - 560 с.

  2. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М. Наука, 1977.- 488 с.

  3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т.1. М. Мир, 1980. - 456 с.

  4. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М. Наука, 1966. - 496 с.

  5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. 2-ое изд. М. Наука, 1978. - 344 с.

  6. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп Ли и алгебр Ли. //Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. Фундам. направления. Т. 41, 1990. - 260 с.



Приложение к программе дисциплины

Теория групп Ли”.


БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ


Билет 1.

1. Понятие топологической группы.

2. Построение алгебры Ли по группе Ли.


Билет 2.

1. Подгруппы и фактор - пространства топологической группы.

2. Прямые и полупрямые суммы алгебр Ли.


Билет 3.

1 Отделимость в топологических группах и фактор - пространствах.

2. Представление ассоциативной алгебры и алгебры Ли.


Билет 4.

1. Связные и несвязные топологические группы. Связная компонента единицы.

2. Присоединенное представление алгебры Ли. Линейная форма и форма Киллинга. Центр алгебры Ли.


Билет 5.

1. Локальные и глобальные свойства топологических групп. Локальный изоморфизм.

2. Теорема Адо.


Билет 6.

1. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность. Гомотопический тип топологического пространства.

2. Основные типы алгебр (ассоциативные, лиевы и т. д.). Структурные постоянные конечномерной алгебры.


Билет 7.

1. Фундаментальная группа топологического пространства. Односвязные пространства.

2. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры.


Билет 8.

1. Старшие гомотопические группы.

2. Разрешимые, неразрешимые и нильпотентные алгебры Ли.


Билет 9.

1. Накрытия и универсальное накрытие.

2. Теорема Энгеля.


Билет 10.

1. Накрывающие группы. Универсальная накрывающая группа.

2. Радикал алгебры Ли. Понятие о полупростых и простых алгебрах Ли.


Билет 11.

1. Понятие группы Ли. Сущность пятой проблемы Гильберта.

2. Картановский критерий полупростоты по билинейной форме Киллинга.


Билет 12.

1. Иммерсированные и вложенные подгруппы Ли. Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.

2. Теорема Леви – Мальцева – Картана.


Билет 13.

1. Действие группы Ли на многообразии. Теорема об орбитах и стационарных подгруппах.

2. Теорема о разложении полупростой алгебры Ли в сумму простых.


Билет 14.

1. Однородные пространства групп Ли.

2. Понятие о классических комплексных и вещественных простых алгебрах Ли.


Билет 15.

1. Связные и односвязные группы Ли.

2. Классификация вещественных алгебр Ли размерности n<=2.


Билет 16.

1. Односвязность группы Ли SU(n).

2. Классификация вещественных алгебр Ли размерности 3.


Билет 17.

1. Классические комплексные группы Ли.

2. Формулировка основных теорем о группах Ли и их связи с алгебрами Ли (теорема существования Картана, теорема о единственности односвязной группы Ли с данной алгеброй Ли, теорема о классификации связных групп Ли).


Билет 18.

1. Односвязность групп Ли SL(n, C) и Sp(2m, C).

2. Схема нахождения автоморфизмов алгебры Ли и автоморфизмов односвязной группы Ли.


Билет 19.

1. Гомоморфизмы групп Ли.

2. Классификация связных вещественных групп Ли размерности n<=3.


Билет 20.

1. Эпиморфизм: .

2. Однопараметрические подгруппы групп Ли. Экспоненциальное отображение.


Билет 21.

1. Эпиморфизм: .

2. Локальное действие локальной группы Ли на многообразии. Три теоремы Ли.


Билет 22.

1. Векторные поля и локальные однопараметрические группы диффеоморфизмов. Производная Ли.

2. Локальные и глобальные группы изометрий.

Похожие:

Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины теория вероятностей и математическая статистика Цикл ен. Ф. Специальность : 013800 Радиофизика и электроника
Рабочая программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" предназначена для студентов 2 курса
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины теория функций комплексного переменного Цикл ен. Ф
Рабочая программа дисциплины "Теория функций комплексного переменного" предназначена для студентов 2 курса
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины теория функций комплексного переменного Цикл ен. Ф
Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» предназначена для студентов 2 курса
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины «Методы оптимизации» Цикл опд общепрофессиональные дисциплины Специальность 01. 02. 00 прикладная математика Принята
Данная дисциплина опирается на дисциплины “Математический анализ”, “Алгебра и геометрия”, “Дифференциальные уравнения”, “эвм и программирование”,...
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconРабочая программа дисциплины (модуля) Теория и приложения баз данных
Теория интеллектуальных систем входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Для её успешного изучения необходимы знания...
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconРабочая программа дисциплины судебная психиатрия Образовательная программа 030900 по направлению Юриспруденция Цикл «Профессиональный цикл»

Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины дифференцируемые многообразия и риманова геометрия Цикл дс специальность: 010400 Физика Специализация: 010457 Гравитация и теория относительности
Рабочая программа дисциплины "Дифференцируемые многообразия и риманова геометрия" предназначена для студентов 3 курса
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconРабочая программа дисциплины методика преподавания юриспруденции в высшей школе образовательная программа направления 030900. 68 Юриспруденция цикл «Гуманитарный, социальный и экономический»
Уголовный процесс, криминалистика и судебная экспертиза, теория оперативно-розыскной деятельности
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс icon«Теория игр и исследование операций»
Дисциплина “Теория игр и исследование операций” входит в цикл общепрофессиональных дисциплин. Преподавание дисциплины обеспечивается...
Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс iconПрограмма дисциплины теория оптимального управления Цикл дс. 09
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница