Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля




Скачать 110.34 Kb.
НазваниеИсследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля
Дата23.10.2012
Размер110.34 Kb.
ТипИсследовательская работа


VII Межрегиональные юношеские научно-исследовательские чтения Каюма Насыйри


Секции: математика


Исследовательская работа


Построение графиков функций,

содержащих знак модуля


Выполнила: Хисматуллина Лейля Ильдаровна, ученица IX класса Исенбаевской средней общеобразовательной школы Агрызского муниципального района РТ

Научный руководитель: Садыкова Гулия

Закиевна , учитель математики первой квалификационной категории Исенбаевской СОШ.


Исенбаево, 2009

Содержание:

I. Введение -----------------------------------------------------------------стр 3

II. Основная часть ------------------------------------------------------- стр 3

- Понятия и определения -----------------------------------------------------стр 4

- Построение графика функции у = |f(х)| ---------------------------------------

- Построение графика функции у = |f(|x|)| --------------------------------------

- Построение графика функции у = f ( |X| )--------------------------------стр 5

- Построение графика уравнения |у |= f(X)-------------------------------------

- Построение графика уравнения |у | = | f(X) |----------------------------------

- Построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно ------------------------------------

- Построение графиков вида y = ||x|-a |-|х|-х и т. д ----------------------стр 6

III.Приложение ------------------------------------------------------------стр 7

Примеры построения графиков линейных функций -------------------------

-квадратичных функций -----------------------------------------------------стр 10

-дробно – рациональных функций -----------------------------------------стр12

-различных комбинаций элементарных функций ----------------------стр 13

IV. Заключение ------------------------------------------------------------стр 14

V. Список используемой литературы -------------------------------стр 14



I. Введение.



Проблема исследования: построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Цель исследования:

-получение более широких знаний о модуле числа;

-исследовать построение графиков функций в зависимости от местонахождения знака модуля и их свойств или научиться строить графики функций вида у= |f(x)|, у= f(|x|), |y|=f(x), у = |f(|x|)| , y = ||x|-a |-|х|-х и т. д.;

-развивать умения составлять алгоритм построения графиков;

-воспитывать аккуратность при построении графиков.

Задачи исследования: использование различных методов исследования (теоретический, практический, исследовательский), расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля и решение задач, выходящих за страницы школьных учебников.

Работа посвящена разбору способов построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Для построения графиков таких функций необходимы теоретические знания о понятии абсолютной величины. Графики в силу своей наглядности помогают глубже вникнуть в суть исследования.

II.Основная часть


Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Определение: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа a называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или .

Абсолютную величину числа а принято обозначать |а| и читать "абсолютная величина числа а" или "модуль числа а". Из определения абсолютной величины числа следует, что



Если известен график функции f, то не составляет труда построить график функции | f |.

Мы знаем, что

Поэтому достаточно построить график функции f, после чего часть полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить относительно этой оси.

 1.Построение графика функции у = |f(х)|.

1.Построить график функции у = f(х).

2.Часть графика, лежащую не ниже оси ОХ, оставить без изменения.

Часть графика, лежащую ниже оси ОХ, симметрично отобразить относительно оси ОХ.

2.Построение графика функции у = |f(|x|)|

  1. Построить график функции y = f(x) для x ;

  2. Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат;

  3. Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси. (рис 1,5,6,7,12,14,17,)

3.Построение графика функции у = f ( |х| ).

1. Построить график функции у = f(х).

2.Удалить часть графика функции у = f(х), находящуюся слева от оси ОY.

Часть графика, лежащую на оси ОY и справа от неё симметрично отобразить относительно оси ОY.

Так как f (|-x|) = f (|x|), то функция y = f (|x|)

чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции

f (x), находящиеся слева от оси Оу, а все точки, лежащие на оси Оу и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси Оу. (рис 3,10, 11 )

4.Построение графика уравнения |у |= f), где f(x)>0

По определению абсолютной величины уf(x) где f(x)>0 . Строго говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х будут соответствовать два значения функции: + f(x) и –f(x). Последовательность действий:

  1. Установить, для каких х выполняется условие f(x)>0

  2. На найденных промежутках значений х построить график функции

у = f(x);

  1. Осуществить зеркальное отражение графика относительно оси Ох

(рис 13)

5.Построение графика уравнения |у | = | f(х) |

1.Построить график функции y = f(х).

2.Построить график функции y = - f(х).

3.Объединение графиков – искомый график.

6.Построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно


а)| | у |– | х | | = 2

По определению абсолютной величины |y|=|x| ± 2 или |х|=|у| ± 2

| | у |– | х | | = 2 б) | | | х| – 2| + |у|-2| = 2








По определению абсолютной величины |х|-2|+|у|-2=±2, |у|=2-||х|-2|±2

Так как график «функции» симметричен относительно двух осей. Построим сначала для первой координатной четверти, т. е. при x≥0, y≥0, при этом уравнение «функции» примет вид |x - 2|+ y=4, |x - 2|+ y=0.

Уравнению |x - 2|+ y=0 удовлетворяет только одна пара значений x =2, y=0.

Рассмотрим первое уравнение:

а) при о≤ x ≤ 2 и x-2≤ 0, тогда – x+2+ y=4, y= x+2;

б) при x >2, x-2 >0 и тогда x-2+ y=4, y= 6-x.

Строим графики полученных прямых в первой четверти. Далее осуществляем последовательное двукратное зеркальное отражение графиков относительно оси Оx , а затем оси Оy.


7.Построение графиков вида y = |||x-a |-|х|-х и т. д


Построить графики функции можно следующим путём:

1.Найдём подмодульные нули (точки перелома функции)

2..Исследуем функцию на каждом из промежутков, ограниченных точками перелома. (рис 2,4,8,9, 15,16,18 )


III.Приложение



Примеры: линейных функций

1. у=||х|-1| у

Подмодульные нули: х=0

Для у=|х|-1

1)х>0 у=х-1

2)х<0 у=х-1

Строим график у=|х|-1

Преобразуем на график у=||х|-1|


2. у=||х|-1|+х

Подмодульные нули: х=0 у

х=±1


1
1) (-∞; -1) у=|х|-1+х=-х-1+х=-1


2

х

-1
2) (-1; 0) у=1-|х|+х=1-(-х)+х=1+2х


-1
3) (0; 1) у=1-х+х=1

4) [1; +∞) у=х-1+х=2х-1


3. у=||х|-1|-|х|

Подмодульные нули: х=0, х=±1 у

1) (-∞ ; -1), у=-х-1-(-х)=-х-1+х=-1

2) (-1; 0), у=1+х-(-х)=1+х+х=2х+1

3) (0; +1), у=1-х-х=1-2х

4) (1; +∞), у=х-1-х=-1


у

4.

Подмодульные нули: х=0, х=1

  1. (-∞;-1) у=-х-1+х+х=х-1 1 1 х

  2. (-1; 0) у=1+х+х+х=3х+1 1

  3. (0; 1) у=1-х-х+х = 1-х

  4. (1;∞) у=х-1-х+х=х-1



5.

Поэтапное строение графика

  1. у

1




0 1 х


2) у

х

1


у

3)

0 1 х


4) у




0 1 х




5) у





1

0 1 х


6.

Подмодульные нули: х=, х=0 для

1) (- ;-1) у=-х-1-(-х)= -х-1+х=-1

2) (-1; 0) у=1+х-(-х)=1+х+х=1+2х=2х+1

3) (0; 1) у=1-х-х=1-2х у

4) (1;+) у=х-1-х=-1 1 х

а) -1


у б)


1

х

0 1


7.

Подмодульные нули: х=-1, х=1

а) строим

1) (-;-1) у=-х-1+(-х+1)-3=-х-1-х+1-3=-2х-3

2) (-1; 1) у=1+х+1-х-3=-1

3) (1; +) у=х+1+х-1-3=2х-3 у

1

0 1 х




б) строим у

1




0 1 х


8.

х0 у

1) (-;0) 1

2) (0; +) 0 1 х

-1


9.

Построение:



1) : ;

2) : ;


3) : , .




Квадратичных функций

10.

Подмодульные нули: х=±1 у


1
1) (-;-1) у=х² -1-х²=-1 у

2) (-1;+1) у=1-х²-х²=-2х²+1

3) (1; +) у=х²-1-х²=-1 0 1 х


11.

Подмодульные нули: х=±1

1) (-;-1) у=х²-1-х²+х=-1+х у

2) (-1;+1) у=1-х²-х²+х=-2х²+х+1

3) (1;+) у=х²-1-х²+х=-1+х 1


0 1 х


12. у

Подмодульные нули: х=0, х=±1

а) строим у=х²-|х| 1

1) (-;-1) у=х²+х 0 1 х

2) (-1;0) у=х²+х

3) (0;+1) у=х²-х

4) (1;) у=х²-х

у


б) строим 1


0 1 х


13. |у|=х2-4х

Равенство |y|=f(x) не задает функции, поскольку при f(x)>0 имеет два значения у, соответствующие данному значению х: у=f(x) и y=f(-x), а при f(x)<0 – ни одного такого значения




Дробно- рациональных функций

14. у=||х|-1/х|

х0

Подмодульные нули: при х=1, х 0 у

Строим для

1) (-; 0) у=-х-1/х

2) (0; 1) у=х-1/х 0 1 х

3) (1; +) у=х-1/х Преобразуем для у=||х|-1/х|

15. у=1/(|х|-1)

Подмодульные нули: х=о, х±1 у

1) (-; 0) у=1\-х-1

2) (0; +) у=1/х-1

0 1 х




16.у=|х/(х+1)|



Различных комбинаций элементарных функций

17. у

Подмодульные нули: х=0

1) (-; 0) 0 1 х

2) (0; +)

18. у

1) (-; 0) +х -1 0 х

2) (0; +)





IV. Заключение


Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут серьёзный математический вопрос – построение графиков функций, содержащих знак модуля.

В ходе работы мы рассмотрели теоретический материал по абсолютной величине и решили практические задачи. Многообразие видов таких функций, различия в построениях их графиков, приобретение новых знаний, сделало нашу работу интересной и увлекательной.

В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных, квадратичных, дробно-рациональных и других функций. Научилась преобразованию графиков, содержащих знак модуля. Работу над темой хочу продолжить в следующем году построением графиков тригонометрических, показательных и логарифмических функций.

V. Использованная литература.




  1. .Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.

  2. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»

  3. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.

  4. С.Н. Старков. Математические формулы и графики функций. – СПб.; Питер, 2007

  5. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва, «Просвещение».





Похожие:

Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconПрограмма курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля»
Программа курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» адресована учащимся 9 класса, имеющим интерес к изучению...
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconТема №113: Преобразования графиков функций в школьном курсе математики Примерное содержание
Преобразование графиков с деформациями: построение графиков y = af (X), y = f (ax). Построение графиков функций с модулями: y =...
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconПреобразование графиков функций
Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля icon5. Решение уравнений графическим способом
С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций,...
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconТики моу «сош №14» г. Чебоксары Пузариной В. С. по теме «Преобразование графиков функций»
Упражнения Построение графика функции y= -f(X) Построение графика функции y=f(-X)
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconЛабораторная работа №3 Построение карт изодинам T, карт графиков t и роз направленности
Построение карт изодинам т и карт графиков т является важным элементом обработки данных магнитной съемки. Масштаб таких карт соответствует...
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconПлан-конспект урока взаимное расположение графиков линейных функций
...
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconРешение задач
Решение неравенств, содержащих знак модуля, методом введения новой переменной. 28
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconНаучно-практическая конференция «Старт в науку» Секция: информатика
Построение рисунка полученного при построении нескольких графиков функций в одной системе координат
Исследовательская работа Построение графиков функций, содержащих знак модуля iconIii. Нахождение области определения, области значения обратных тригонометрических функций, построение их графиков
Функция у = sin Х монотонна и принимает все значения от -1 до 1 на отрезке-;; Значит, по теореме об обратных функциях она обратима,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница