Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы




Скачать 350.42 Kb.
НазваниеНаучно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы
страница1/3
Дата03.09.2012
Размер350.42 Kb.
ТипНаучно-исследовательская работа
  1   2   3
Научно-исследовательская работа.


Доказательство неравенств.


Автор работы: Атапина Ирина Николаевна


Занимаемая должность: учитель математики

Место выполнения работы: МОУ Романовская

СОШ, Саратовская область,

Романовский район,

р.п. Романовка


2010 г.


В программе по алгебре и началам анализа для профильного уровня, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких чисел».

К сожалению, основной школьный курс почти не говорит о существовании истинного математического богатства, раскрываемого в теме «Доказательство неравенств».

Доказательства неравенств на базовом уровне рассматривается в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

На страницах новых учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев – рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Тем более, что процесс получения и изучения неравенств и их приложений неформален и мало алгоритмизуем.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.


1. Историческая справка.

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства поль­зовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), зани­маясь вычислением длины окружности, установил, что «пери­метр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π:



Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее гео­метрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство

≤ (a+b)/2 .

В «Математическом собрании» Паппа Александрийского в III в., доказывается: «Если a/b >с/d (а, b, с и d - положительные числа), то ad>bс».

Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в ­ХVIII веке после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосно­вывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный знак не­равенства будет обозначать «больше», во втором - «меньше».

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через ­74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вош­ли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге (1698-1758).

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.

Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.

Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.


2. Неравенство Коши.

Пусть а и b – неотрицательные числа. Доказать, что .

Это неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX в.Огюста Коши.

Доказательство: Составим разность левой и правой частей: (a+b)/2 -= =((a+b)-2)/2=(- )2/2 .

Получим неотрицательное число, значит, . Число называют средним арифметическим чисел а и b; число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство Коши, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не менее их среднего геометрического.

Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b. В геометрии доказано, что h=. А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе (т.е. ), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ).

Замечание: Из неравенства Коши вытекают следующие неравенства, используемые нами ранее при доказательстве предыдущих неравенств, которые широко применяются при доказательстве неравенств вообще. a+b≥2, если a и b – произвольные неотрицательные; , если a и b – произвольные положительные числа; , если a и b – произвольные ненулевые числа одного знака.

Обобщив неравенство на 3,4,5…n неотрицательных чисел знаменитый французский математик Огюстен Луи Коши доказал в 1821 г. следующее неравенство:

,

т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Равенство существует при условии, если только все n чисел равны между собой. Докажем это неравенство методом математической индукции.

Пример 1. а) Доказать, что если положительные числа х12,…хn таковы, что х1х2…хn =1, то х12+…+хn ≥n.

б) Доказать, что для любого натурального числа n≥2 справедливо неравенство

, где все числа а12,…аn положительны.

Доказательство: а) Проверим выполнение утверждения для n=2. пусть произведение двух положительных чисел х12 равно 1. поскольку ≥ ≥, получаем, что х12 ≥2, что и требовалось установить.

Предположим, что утверждение выполняется для n=к, т.е. предположим, что если х1х2…хк =1, где все множители – положительные числа х1 2 +…+хк ≥к. Докажем, что тогда из равенства х1х2…хк хк+1=1следует неравенство х1 2+ +…+хк к+1 ≥к+1.

Если х1 2 =…=хк к+1=1, то х1 2 +…+хк к+1=к+1; можно записать и так х1 2 +…+хк к+1 ≥к+1. Значит в этом тривиальном случае утверждение выполняется. Если в произведении х1х2…хк хк+1 не все множители равны 1, то найдется хотя бы одна пара чисел таких, что одно больше 1, а другое меньше 1; обозначим эти числа соответственно хк и хк+1, а их произведение обозначим Хк.

Имеем х1х2…хк-1 хк хк+1=1, т.е. х1х2… хк-1, Хк =1. поскольку произведение к положительных чисел равно 1, то и по индукционному предположению их сумма не меньше к: х1+ х2+… +хк-1к≥к.

Докажем, что Хк< хк к+1-1.

В самом деле, Хк- (хк к+1-1)=1+ хк хк+1- хк к+1=( хк-1)( хк+1-1). Выше мы отметили, что хк>1, а хк+1<1. значит, ( хк-1)( хк+1-1)<0, а потому Хк< хк к+1-1.

А теперь рассмотрим интересующую нас сумму х1+ х2+… +хк-1. Имеем: (х1+ +х2+… +хк-1)+( хк к+1)> (х1+ х2+… +хк-1)+ Хк+1.

По принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального числа n≥2.

б) Введем обозначение: А=. Справедливо равенство


=1. но тогда, согласно утверждению, доказанному в пункте а), выполняется неравенство ≥n, т.е. ≥А, что и требовалось доказать.

Приведем еще две полезные формы записи неравенства Коши:

х12+…+хn≥n

и (х12+…+хn)n≥nn х1х2x3…хn – в первой записи нет дроби, во второй – ни дроби, ни радикала. Если ими не пользоваться, то выкладки всегда будут более громоздкими.

3. Основные методы доказательства неравенств.

Задачи на доказательство неравенств особенные. Конкретных особых подходов здесь нет. Одно и тоже неравенство можно доказать различными способами. Разберем теперь наиболее часто встречающие приемы установления истинности неравенств с переменными, продемонстрировав соответствующие идеи и методы на конкретных примерах. В дальнейшем речь пойдет о неравенствах справедливость которых требует доказать на заданном множестве значений переменных. Если такое множество неуказанно, то подразумевается, что эти переменные могут принимать любые действительные значения.

4. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей.

Этот метод исследования неравенств по другому называют «Доказательство неравенств с помощью определения». Определение сравнения двух действительных чисел было приведено выше. По определению считается, что A>B, если (A-B) – положительное число. Поэтому для доказательства неравенства f(a, b…k) > g(a, b…k) на заданном множестве значений a, b…k – достаточно составить разность f(a, b…k) и убедится в том, что она положительна при заданных значениях a, b…k. Именно этим способом доказано выше неравенство Коши и некоторые свойства неравенств.

Пример 2. Доказать, что если ab>0, то ≥2.

Доказательство: имеем - 2= . Так как ab>0, то 2≥0, причем знак равенства имеет место лишь при a=b. Итак, разность - 2 неотрицательна, неравенство доказано.

Пример 3. Докажем, что любых положительных чисел a и b справедливо неравенство 4(a3+b3)≥(a+b)3

Доказательство: рассмотрим выражение А=4(a3+b3) - (a+b)3.

Сначала преобразуем его:

А=4(a+b)(а2-ab+b2)-(a+b)(а2+2ab+b2)=(a+b)(4а2-4ab+4b22-2ab-b2)= =(a+b)(3а2-6ab+3b2)=3(a+b) (a-b)2. Так как a>0, b>0, то А≥0, т.е. доказана справедливость неравенства.

4(a3+b3)≥(a+b)3.

Пример 4. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d,e справедливо неравенство

а2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e).

Доказательство. Составим и преобразуем разность а2+b2+c2+d2+e2- -a(b+c+d+e)=(-b)2 +(-с)2+(-d)2+(-e)2. Очевидно, что эта разность принимает лишь неотрицательные значения, что доказывает исходное неравенство. Кроме того, очевидно, что оно выполняется в варианте равенства тогда и только тогда, когда = b=c=d=e.

Пример 5. Докажите, что если n≥3, n N, то справедливо неравенство .

Доказательство: перейдем к доказательству равносильного данному неравенства n4> ( n+1)3 и проанализируем разность n4- ( n+1)3 . Очевидно, что n4- ( n+1)3 = n4 – n3- 3n2- 3n-1= n3 (n-3)+ 2n2(n-3)+3n(n-3)+6(n-3)+17, а значит, при n≥3, n4-( n+1)3>0 как сумма четырех неотрицательных и одного положительного слагаемого.

5. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств.

Пример 6. Докажем, что для любых положительных чисел x справедливо неравенство х+ ≥2.

Доказательство: рассмотрим неравенство ≥1 и левой части которого записано среднее арифметическое положительных чисел х и , а в правой – их среднее геометрическое.

Следовательно, неравенство≥1 справедливо на основании неравенства Коши. Но тогда на основании полученного утверждения справедливо неравенство ≥1.

Этот метод еще носит название метод синтеза. Суть этого метода заключается в синтезировании неравенства, которое требует обосновать из опорных (базисных) неравенств «законными» средствами, проистекающими из свойств числовых неравенств и методов их установления.

Опорными неравенствами являются, например, такие:

1) , где x≥0, y≥0 (неравенство Коши);

2) x+≥2, где x>0

3) -1 ≤ sin ≤1;

4) -1 ≤ cos ≤1;

5) а2≥0

6) ≥2, где ab>0.

7) (a-c)2+(b+d)2≥0, a,b,c,d - действительные числа

8) /2/2, 0<<π/2

9) sin /2< /2, 0<<π/2

Пример 7. Доказать, что для любых а, b, с R выпол­няется неравенство

а2 + b2 + с2 ≥ аb + bс + са.

Для доказательства мы применим неравенство Коши, но «по частям». Сначала - «неизвестно зачем», но это будет по­нятно позже, - умножим левую часть неравенства на 2 и пе­регруппируем слагаемые:

2(а2 + b2 + с2) = (а2 + b2) + (b2 + с2) + (с2 + а2),

и применим неравенство Коши к каждой сумме в правой части.

Имеем:

а2 + b2 ≥ 2= 2≥2аb,

так что

2(а2 + b2 + с2) ≥ 2аb + 2bс + 2са,

что и требовалось доказать.

Пример 8. Доказать, что ()n>n!,где nN, n>1.

Доказательство. Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши:

; ;

; …;; .

Перемножим эти неравенства, получим:

()n ==2=n!

Итак, ()n≥n!. Так как по условию n≠1, то первое и последнее из опорных неравенств Коши могут быть только строгими. Но тогда и после перемножения опорных неравенств полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, ()2>n!, что и требовалось доказать.

6. Метод оценивания

При решении многих задач, в частности, при рассмотрении различных функций особую роль играет оценка значения вы­ражения сверху или снизу, т. е. указание верхней или ниж­ней границы выражения. Никаких универсальных способов для нахождения такой оценки не существует, так что поиск нужной оценки является чисто эвристической, можно ска­зать, творческой работой. Оценка часто необходима не только для доказательства « готового», заданного неравенства, но и для сравнения числовых выражений, когда истинное неравен­ство требуется установить самостоятельно.


Пример 9. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d таким, что a2+b2=1, c2+d2=1, выполняется неравенство |ac-bd|≤1.

Доказательство методом усиления.

Применим свойство модуля и неравенство Коши:

|ac-bd|≤|ac|-|bd| = , что и обосновывает исследуемое неравенство.

Решение методом ослабления.

Учитывая, что a2+b2=1, c2+d2=1, заключаем:

1=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac)2-2abcd+(bd)2+(ad)2+2adbc+(bc)2=(ac- - bd)2+(ad-bc)2≥(ac-bd)2, т.к. (ad-bc)2 при

любых действительных a,b,c,d принимает только значение из полученных соотношений следует, что |ac-bd|≤1.

  1   2   3

Похожие:

Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconРабочая программа Научно-исследовательская работа в семестре направление ооп
Научно-исследовательская работа в семестре является обязательным подразделом (М 1) раздела «Практика и научно-исследовательская работа»...
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconИсследовательская работа «Использование неравенств в решении экономических задач»
Данная тема очень актуальна в наше время. С помощью неравенств задаются основные числовые множества, формулируются определения предела,...
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconНаучно-исследовательская работа Научно-исследовательская работа проводилась с участием ппс и увп окю по договорам подряда на базе ООО «Электромехатронные системы»
Подготовка и защита диссертаций (технические и экономические науки)
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconИсследовательская работа. Математика при расследовании дорожно-транспортных происшествий
Доказательство уравнений, относящихся к скорости и их использование
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы icon«Научно-исследовательская работа студентов»
Цели освоения дисциплины. Курс «Научно-исследовательская работа студентов»
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconРабочая учебная программа «научно-исследовательская работа в библиотечном деле»
Курс входит в блок специальных дисциплин, базируется на общепрофессиональных знаниях об основах научно-исследовательской работы
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconНаучно-исследовательская работа Предметная область Русский язык Автор Воронкова Диана Владимировна, ученица 8 класса
Роль междометий в речи и тексте (на примере произведений А. С. Пушкина и Н. В. Гоголя)
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconИсследовательская работа Роль ремарок в драме А. П. Чехова «Три сестры»
Районная научно-исследовательская конференция учащихся «Наука. Творчество. Развитие»
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconБековского района пензенской области исследовательская работа на научно-практическую конференцию «Старт в науку» на тему: Изготовление различных сортов мыла и исследование их качества
Исследовательская работа на научно-практическую конференцию «Старт в науку» на тему
Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы iconИсследовательская работа Предметная область: краеведение Автор работы: Желяев Павел Юрьевич, обучающийся объединения «Юный краевед»
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница