Аналитическая геометрия и линейная алгебра типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальностям

Министерство образования Республики Беларусь


Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь

по естественнонаучному образованию


УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра образования

Республики Беларусь

________________ А.И.Жук

________________


Регистрационный № ТД-______/тип.


АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Типовая учебная программа

для высших учебных заведений по специальностям

1-31 04 02 Радиофизика, 1-31 04 03 Физическая электроника,

1-98 01 01 Компьютерная безопасность (по направлениям)

(направление 1-98 01 01-02 Компьютерная безопасность (радиофизические методы и программно-технические средства))

СОГЛАСОВАНО Председатель Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию ________________ В.В. Самохвал ________________	СОГЛАСОВАНО Начальник управления высшего и среднего специального образования Министерства образования Республики Беларусь ________________ Ю.И. Миксюк ________________ Ректор Государственного учреждения образования «Республиканский институт высшей школы» _________________ М.И. Демчук ________________
	Эксперт-нормоконтролер ________________ С.М. Артемьева ________________

Минск 2009


Составители:


Н.Г. Абрашина-Жадаева − заведующая кафедрой высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук Российской Федерации, доцент;


Л.Л. Березкина – доцент кафедры высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент.


рецензенты:

Кафедра физики и высшей математики учреждения образования «Международный государственный экологический университет имени А.Д.Сахарова»;

С.С. Белявский – заведующий кафедрой высшей математики и информатики частного учреждения образования «Институт современных знаний имени А.М. Широкова», кандидат физико-математических наук, доцент.


РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

Кафедрой высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета (протокол № 9 от 29 апреля 2009г.);


Научно-методическим советом Белорусского государственного университета

(протокол № 3 от 24 июня 2009г.);

Научно-методическим советом по физике учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

(протокол № 7 от 25 июня 2009г.);

Научно-методическим советом по компьютерной безопасности учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

(протокол № 4 от 22 июня 2009 г.)


Ответственный за выпуск: Л. Л. Березкина.


Пояснительная записка


Типовая учебная программа «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» разработана для студентов специальностей 1-31 04 02 Радиофизика, 1-31 04 03 Физическая электроника, 1-98 01 01 Компьютерная безопасность (направление 1-98 01 01-02 радиофизические методы и программно-технические средства) в соответствии с требованиями типовых учебных планов специальностей 1-31 04 02 Радиофизика, 1-31 04 03 Физическая электроника, 1-98 01 01 Компьютерная безопасность (направление 1-98 01 01-02 радиофизические методы и программно-технические средства).

Целью изучения дисциплины является формирование систематизированных знаний и навыков по таким разделам высшей математики, как аналитическая геометрия и линейная алгебра.

Основная задача дисциплины – обеспечить глубокую подготовку, выработать навыки исследования и решения типовых задач аналитической геометрии и линейной алгебры.

Дисциплина базируется на знании математики в объеме программы общего среднего образования.

В результате изучения дисциплины обучаемый должен:

знать:

– методы аналитической геометрии и линейной алгебры;

– основы функционального анализа и теории групп;

уметь:

– производить действия над матрицами;

– решать алгебраические системы уравнений;

– исследовать форму и ориентацию линий и поверхностей.

Объем дисциплины составляет 202 учебных часа, в том числе 108 аудиторных часов, из них: лекции – 60 часов, практические занятия – 48 часов.


Примерный тематический план

№ п/п	Название темы	Лекции	Практические занятия	Всего
1	Элементы векторной алгебры	6	8	14
2	Прямые и плоскости	3	8	11
3	Кривые и поверхности второго порядка	7	8	15
4	Матрицы и определители	5	2	7
5	Системы линейных уравнений	5	4	9
6	Линейные пространства	6	4	10
7	Линейные операторы.	6	6	12
8	Билинейные и квадратичные формы	6	2	8
9	Евклидовы пространства	4	2	6
10	Линейные операторы в евклидовых пространствах	4	4	8
11	Элементы тензорной алгебры	6		6
12	Элементы теории групп	2		2
	Итого	60	48	108

Содержание учебного материала


1. Элементы векторной алгебры. Понятие вектора. Свободные и связанные векторы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Аффинная система координат. Скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведения. Критерии коллинеарности, компланарности и перпендикулярности векторов.

2. Прямые и плоскости. Основные виды уравнений прямой на плоскости и в пространстве. Уравнения плоскости. Пучок прямых на плоскости и плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости в пространстве.

3. Кривые и поверхности второго порядка. Определения эллипса, гиперболы, параболы и их канонические уравнения. Директрисы и эксцентриситет эллипса и гиперболы. Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы. Определение канонического уравнения второй степени. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследование поверхностей второго порядка методом параллельных сечений.

4. Матрицы и определители. Матрицы и линейные операции над ними. След матрицы. Умножение и транспонирование матриц. Блочные матрицы. Определение определителя и его свойства. Теорема об определителе произведения двух матриц. Теоремы аннулирования и замещения. Обратная матрица.

5. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения и их связь с системами линейных уравнений. Правило Крамера. Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Теорема о ранге произведения матриц. Теорема о базисном миноре. Критерий совместности системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений. Общее решение неоднородной системы. Метод Гаусса исключения неизвестных.

6. Линейные пространства. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом. Линейная зависимость и независимость. Базис и координаты. Связь между размерностью и базисом. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств. Преобразование базиса и координат, матрица перехода. Подпространства. Линейная оболочка системы элементов линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

7. Линейные операторы. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Действия над операторами. Обратный оператор. Изоморфизм линейных пространств. Образ и ядро линейного оператора. Пространство линейных форм. Собственные значения и собственные векторы. Присоединенные векторы. Условия приводимости квадратной матрицы к диагональному виду. Канонический вид линейных операторов. Жорданова нормальная форма матрицы.

8. Билинейные и квадратичные формы. Билинейная форма и ее матрица. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса. Симметричная билинейная форма. Квадратичные формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Закон инерции. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

9. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Вещественные и комплексные евклидовы пространства, псевдоевклидовы пространства. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Существование ортогонального базиса. Матрица Грама и ее свойства. Разложение пространства в прямую сумму подпространств. Изоморфизм евклидовых пространств.

10. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Ортогональные, унитарные, эрмитовы и симметричные матрицы. Сопряженный линейный оператор и его матрица. Самосопряженные линейные операторы и изометрии. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора. Приводимость эрмитовых и симметричных матриц к диагональному виду. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм. Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.

11. Элементы тензорной алгебры. Общее определение тензора. Алгебраические операции над тензорами, прямой и обратный тензорный признаки. Тензоры в евклидовых пространствах. Операции поднятия и опускания индексов. Ортогональный тензор.

12. Элементы теории групп. Понятие группы. Основные свойства групп. Группа преобразований Лоренца.


Информационно-методическая часть


Рекомендуемые темы практических занятий

1. 
   Векторы и линейные операции над ними..
   
2. 
   Скалярное и векторное произведения.
   
3. 
   Смешанное и двойное векторное произведения.
   
4. 
   Прямая на плоскости.
   
5. 
   Плоскость и прямая в пространстве.
   
6. 
   Линии второго порядка.
   
7. 
   Поверхности второго порядка.
   
8. 
   Матрицы и определители.
   
9. 
   Системы линейных уравнений.
   
10. 
    Линейные пространства.
    
11. 
    Линейные операторы.
    
12. 
    Собственные и присоединенные векторы. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Жорданова нормальная форма матрицы.
    
13. 
    Билинейные и квадратичные формы.
    
14. 
    Евклидовы пространства. Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.
    

Рекомендуемые формы контроля знаний


Контрольные работы:

1. 
   Элементы векторной алгебры.
   
2. 
   Прямые и плоскости. Кривые и поверхности второго порядка.
   
3. 
   Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.
   
4. 
   Линейная зависимость и независимость. Знакоопределенность квадратичных форм. Собственные и присоединенные векторы, жорданова нормальная форма матрицы. Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка.
   

Коллоквиумы:

1. 
   Элементы векторной алгебры. Прямые и плоскости. Линии и поверхности второго порядка.
   
2. 
   Линейные пространства и линейные операторы.
   

Рекомендуемая литература


Основная

1. 
   Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.— М.: Наука, 1981.– 224 c.
   

1. 
   Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. — М.: Наука, 1984. — 294 c.
   

2. 
   Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. — М.: Наука,1980.– 328 с.
   
3. 
   Русак, В.Н. Кypс вышэйшай матэматыкi. Алгебра i геаметрыя, аналiз функцый адной зменнай / В.Н. Русак, Л. Шлома, В.К. Ахраменка, А.Крачкоускі.  — Мн.: Вышэйшая школа, 1994. — 431 c.
   
4. 
   Березкина, Л.Л. Линейная алгебра / Л.Л. Березкина. — Мн.: БГУ, 2008.– 183 c.
   
5. 
   Абрашина-Жадаева, Н.Г. Аналитическая геометрия в примерах и задачах / Н.Г. Абрашина-Жадаева, Л.Л. Березкина, А.Н. Ковальчук, Н.К. Филиппова. — Мн.: РИВШ, 2008.–156 c.
   
6. 
   Бурдун, А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А.А. Бурдун, Е.А. Мурашко, М.М. Толкачев, А.С. Феденко. — Мн.: Унiверсiтэцскае, 1999.– 302 c.
   

Дополнительная

1 Милованов, М.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч.1 / М.В. Милованов, М.М.Толкачев Р.И. Тышкевич, А.С. Феденко.  — Мн.: Вышэйшая школа, 1984.– 302 с.

2. 
   Милованов, М.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Ч.2 / М.В. Милованов, М.М.Толкачев Р.И. Тышкевич, А.С. Феденко.  — Мн.: Вышэйшая школа, 1987. – 300 с.
   
3. 
   Шикин, Е.В. Линейные пространства и отображения / Е.В. Шикин. — М.: МГУ, 1987. — 308 c.
   
4. 
   Апатенок, Р.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.Б Хейнман. —   Мн.: Вышэйшая школа, 1986. — 285 с.
   
5. 
   Апатенок, Р.Ф. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, В.Б. Хейнман. — Мн.: Вышэйшая школа, 1990. – 186 с.