Эффективность применения процедуры восполнения напряжений при решении краевых задач нелинейной теории упругости методом конечных элементов

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ ВОСПОЛНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ О. С. Столбова, А. А. Роговой Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия В механике деформируемого твердого тела численная реализация принципа виртуальных перемещений методом конечных элементов (МКЭ) приводит к достаточно хорошей аппроксимации поля перемещений, но к значительно худшей аппроксимации поля напряжений. В настоящее время существуют различные методы восполнения (улучшения) поля напряжений для задач, решаемых МКЭ в рамках вариационной постановки Лагранжа, неравнозначные как по точности, так и по сложности реализации. В линейной механике во многих случаях возможен компромисс между точностью и сложностью методов построения полей напряжений. В нелинейной механике такой компромисс проблематичен. Обычно нелинейные задачи линеаризуют и решают пошаговым методом. Применение при этом на каждом шаге простого, но менее точного метода получения напряжений, приводит к быстрому накоплению ошибки в них. Более точные, а, значит, и более сложные методы получения поля напряжений требуют значительного времени счета задачи. Используемая процедура восполнения напряжений, описанная в работе [1], позволяет строить поля напряжений с той же точностью, что и лучшие методы восполнения, но значительно быстрее. Рассмотрим вариационную постановку краевой задачи механики деформируемого твердого тела в форме Лагранжа (например, в начальной конфигурации) [2, 3] , (1) где и – поверхность и объем тела в начальной конфигурации, – поверхностные силы в начальной конфигурации (на поверхности ), – массовые силы, – плотность материала в начальной конфигурации, – тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода, – мера деформации Коши-Грина, – вектор перемещений из начальной конфигурации в текущую. Для решения нелинейных задач линеаризируем исходные уравнения, основываясь на кинематике наложения малых деформаций на накопленные конечные. Вектор перемещений и радиус-вектор в текущей конфигурации представляются в виде , , где и – векторы перемещений из начальной конфигурации в промежуточную и из промежуточной в текущую (приращение перемещений), – радиус-вектор в промежуточной конфигурации, – малая положительная величина (характеризует близость промежуточной и текущей конфигураций). Относительно промежуточной конфигурации получаем , , . Здесь и – градиенты места из начальной конфигурации в текущую и промежуточную, соответственно, , – тензор малых деформаций относительно промежуточной конфигурации, – оператор Гамильтона относительно промежуточной конфигурации. Тензор Пиолы-Кирхгофа второго рода может быть представлен в виде , где – третий главный инвариант , определяющий относительное изменение объема, – тензор четвертого ранга, определяющий отклик материала на малые деформации относительно промежуточной конфигурации. Запишем связь поверхностных сил на (в начальной конфигурации) и (в текущей конфигурации): , где – внешняя нормаль на . Поверхностные силы , в свою очередь, представим в виде . Таким образом, решение нелинейной задачи сводится к последовательному решению линейных на каждом шаге задач. Численную реализацию линейной задачи на каждом шаге будем осуществлять обычным методом конечных элементов (см., например, [4]), для чего вектор аппроксимируем, согласно МКЭ, через его узловые значения и функции формы : , . (2) Здесь – множество номеров элементов, прилегающих к -му узлу в объеме , а и – число узлов и конечных элементов. В результате получается значение вектора приращения перемещений в узлах . Применим процедуру восполнения напряжений на каждом шаге. Для этого внутри тела выберем достаточно гладкую поверхность , образованную поверхностями примыкающих к ней двух слоев конечных элементов и делящую тело на две части. Если отбросить одну часть тела, то ее силовым воздействием на оставшуюся, ограниченную поверхностью , будет вектор распределенного усилия , неизвестный на , при этом . Записывая вариационное уравнение (1) в приращениях для области , ограниченной поверхностью , приходим к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода, определяющей на поверхности . Аналогично (2) аппроксимируем , используя его узловые значения и те же самые функции формы. Таким образом, и имеют одинаковый порядок аппроксимации. Для нахождения узловых значений , применим метод наименьших квадратов и, в силу некорректности задачи по Адамару, воспользуемся регуляризаторами А. Н. Тихонова с различными параметрами регуляризации. Поступая аналогично для другой поверхности , проходящей через тот же -ый узел, получаем значение вектора в этом узле, соответствующее другой поверхности. Зная на каждом шаге и , получим систему уравнений для нахождения компонент тензора Пиолы-Кирхгофа первого рода , , где и – внешние единичные нормали к поверхностям и в -ом узле в начальной конфигурации. Описанная процедура была реализована на плоской задаче нелинейной теории упругости. Рассматривалась задача о растяжении квадратной пластины, находящейся в условиях плоской деформации (сечение бесконечно длинного стержня), усилиями . Весь процесс растяжения разбивался на шагов, на каждом шаге . Задача решалась на сетках с треугольными конечными элементами. Поведение материала описывалось упрощенным законом Синьорини [2, 3] , где – тензор напряжений Коши, – тензор деформации Альманси, – первый инвариант , – единичный тензор. Константы материала в данной задаче: , . Поля напряжений определялись на основе дифференцирования полученных полей перемещений (обычный метод), снижающем на единицу порядок аппроксимации первых по сравнению с последними. При этом разрывное поле напряжений, соответствующее линейной аппроксимации поля перемещений, приводилось к узлу обычным методом усреднения по элементам, примыкающим к нему (поля напряжений при квадратичной и кубической аппроксимациях поля перемещений – непрерывные). Кроме этого поля напряжений для каждой из этих аппроксимаций поля перемещений строились на основе описанной процедуры восполнения напряжений при параметрах регуляризации и . Процедура восполнения напряжений позволяет строить поле напряжений той же точности (того же порядка аппроксимации), что и поле перемещений. Работа выполнена в научной школе (гранты Президента РФ НШ-8055.2006.1 и НШ-3717.2008.1) при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-96019). литература 1. Rogovoy A.A. The stress recovery procedure for the finite element method // Computers and Structures. – 1997. – V. 63. – №. 6. – P. 1121–1137. 2. Лурье А.И. Теория упругости. – М: Наука, 1970. – 939 с. 3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М: Наука, 1980. – 512 с. 4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 464с.

Похожие:

	Исследование влияния вращения на частоты колебаний Решения краевых задач ищутся в виде асимптотических рядов. Приближенные аналитические решения сравниваются с результатами, полученными...		О вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума коссера
	1. Цели и задачи учебной дисциплины, ее место в учебном процессе Целью дисциплины является изучение элементов теории конечных автоматов, основных этапов абстрактного и структурного синтеза конечных...		С использованием хаотической нейронной сети аннотация Рассмотрено место задачи кластеризации в Проведен анализ классических методов кластеризации и их недостатков. Обоснована необходимость применения нейронных сетей при решении...
	Теория упругости Меры и тензоры деформации Коши-Грина и Альманзи. Способы выражения тензоров деформации через вектор перемещения. Тензор напряжений...		Программа наименование дисциплины: Теория конечных графов Основной целью освоения дисциплины является изучение классической теории конечных графов, а также применение методов теории конечных...
	Программа наименование дисциплины: Теория конечных графов Цели и задачи дисциплины: Основной целью освоения дисциплины является изучение классической теории конечных графов, а также применение...		Диагностическая работа по математике в формате егэ 17 февраля 2010 г. Класс 11а Стад Град. Результаты показали, что обучающиеся допускают ошибки при решении логарифмических уравнений, при решении задач на движение,...
	Решение задач с помощью систем уравнений Для успешного решения математических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории...		Методические указания по выполнению лабораторной работы №5 по курсу «Безопасность жизнедеятельности» Цель работы: ознакомиться с приборами и методом измерения характеристик вибрации; изучить влияние массы, трения и упругости системы...