Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей




НазваниеВячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей
страница3/4
Дата07.05.2013
Размер0.68 Mb.
ТипАвтореферат
1   2   3   4
§5 с помощью пропагатора (12) получено ГИУ задачи с оператором (1).

В §6 получено ГИУ смешанной задачи об области, составленной из клина и усеченного клина с общей вершиной, а затем для общей косослоистого полупространства (задача 2Б) с помощью построения интегрально-матричного пропагатора §4 и удовлетворения условиям сопряжения с помощью метода §1. Отыскание неизвестных граничных напряжений для косослоистой среды в виде суммы приводит к однотипным ГИУ относительно каждого слагаемого :

Kj q( j) = , (13)

, j=1,2

(ær)(æρ) Mj ( τ ) τ shπτ

(ær)(æρ) Hj (τ,τ'shπτ dτdτ'

Hj (τ,τ') =[ ejTQ(τ | π-αN+1 , μN )• He2 ][ ejTQ(| π-αN+1 , μN )• e1] -1



Mj (τ) =[ ejTQ(τ | π-αN+1 , μN )• e2 ][ ejTQ(τ | π- αN+1 , μN )• e1] -1

e1T=(1,0) . e2T=(0,1), j=1,2


В формулах (13) матрица Q(τ|π-αN+1 , μN ) вычисляется с помощью интегрально-матричного пропагатора P, описанного выше, а матрица H находится из некоторого рекуррентного интегрально-матричного соотношения.

Изучены вопросы разрешимости построенных ГИУ (13) и указан способ построения их приближенного решения.

В §7 рассмотрена задача для неоднородно – упругой градиентной клиновидной среды при установившихся колебаниях её границы. Для её решения предложена схема дискретизации, превращающая градиентную среду в кусочно-однородную, состоящую из n клиновидных компонент, с кусочно-постоянным модулем сдвига и плотностью . Получено ГИУ дискретизированной задачи д методом §3 и дано обоснование предельного перехода в пространствах Соболева-Слободецкого от задачи д к исходной .

В ГЛАВЕ IV рассмотрены не изучавшиеся ранее в общей постановке плоские смешанные задачи установившихся колебаний однородных и кусочно-однородных клиновидных областей. В §1 получено специальное матричное представление фундаментального тензора колебаний в полярной системе координат:

(14) Здесь — угол между контуром разреза и направлением от точки источ­ника в точку наблюдения , расстояние между этими точками, функция Ханкеля, коэффициент Пуассона, волновое число для упругих поперечных волн. Выражение (14) позволяет получить используемое далее интегрально–матричное представление фундаментального тензора, связанное с преобразованием Конторовича-Лебедева.

В §2 получены основные ГИУ плоских смешанных задач (4А) для однородной клиновидной упругой среды с закрепленной или свободной нижней гранью на основе использования тензора Грина, удовлетворяющего тем же граничным условиям. При этом оказывается, что главная составляющая оператора левой части получающихся при этом граничных интегральных уравнений совпадает с базовым оператором, изученным в главе II и допускающим точное обращение. Результаты базируются на использовании представлений общих решений динамической теории упругости типа Папковича–Нейбера, полученных в работе Зильберглейта А.С. и Златиной И.Н. (Докл. АН СССР. 1976. Т.227.№1.С.71-74.), которые в случае установившихся колебаний принимают вид :

(15)



, ,

,

(16)



В формулах (16) волновые числа продольных и поперечных упругих волн соответственно, контур лежит выше . Неизвестные функции в подынтегральных выражениях (16) регулярны и убывают при в полосе комплексной плоскости , на границах которой выполняются соотношения:


, (17)


Контуры интегрирования расположены в полосе и удовлетворяют условиям излучения. При таком выборе неизвестных функций условия в нуле и на бесконечности уже удовлетворены. Удовлетворение граничным условиям и использования результата теоремы 4 приводит к линейным соотношениям между трансформантами Конторовича-Лебедева от векторов амплитуд смещений и напряжений при в форме векторной краевой задачи теории аналитических функций со сдвигом в комплексной плоскости. Решение этой краевой задачи порождает ГИУ типа (1) с подынтегральной матрицей-функцией ядра вида:

, (18)

Матрицы-функции в (18) имеют одинаковую структуру, а их элементы являются суммами произведений гиперболических, тригонометрических и степенных функций. В частности, матрица имеет следующее представление:



(19)

,

Матрицы-функции имеют вид, аналогичный матрице , матрица-функция имеет вид, аналогичный матрице , матрицы - постоянные. Матрица-функция в равенстве (18) имеет своими элементами функции, действительные на действительной оси и мероморфные в комплексной плоскости . В случае отсутствия нулей и полюсов функции на действительной оси для исследования вопросов разрешимости ГИУ с матрицами-функциями (18), (19) применимы все результаты главы II, а его решение будет иметь вид (4). При этом первоначально рассматривается случай . Затем это условие удается ослабить до условия с помощью методов аналитического продолжения. Установлено наличие конечного числа нулей и полюсов на действительной оси для некоторого критического угла раствора клина, методика отыскания которого описана в главе VI. Решение ГИУ в этом случае сводится к применению методов факторизации, детально разработанных в работах Бабешко В.А.

Результаты §§1,2 проиллюстрированы в процессе исследования ГИУ смешанной задачи о колебаниях массивного тела с наклонным излучающим включением в связи с математическим моделированием явления акустической эмиссии в упругой среде.

В §3 построены матричные пропагаторы для получения ГИУ колебаний составных клиновидных сред в условиях плоской деформации. Установлено, что при формировании этих пропагаторов достаточно рассмотреть отдельно 2 задачи для однородной клиновидной среды: 1) задачу с закрепленной нижней гранью; 2) задачу со свободной нижней гранью. При этом пропагаторы оказываются блочными матрицами вида:

(20)

Матрицы определяются в задаче 1), а матрицы в задаче 2). Для получения (20) существенно использован результат теоремы 4. При этом общая структура указанных матриц имеет вид (19), ГИУ смешанной задачи (4С) имеет вид (1). В частности, для 2-х компонентного клина с закрепленной нижней гранью, углами раствора компонент и параметрами матрица имеет следующие составляющие:

(21)

(22)

где единичная и нуль-матрицы соответственно.

В §4 с помощью интегрального представления тензора Грина (14) и пропагатора (20) построен пропагатор P , аналогичный (12), для установившихся плоских колебаний усеченной клиновидной среды с внутренними углами в виде блочного интегрально-матричного оператора. На основе построенного операторного пропагатора (20) с использованием матриц (21), (22) получено ГИУ смешанной задачи о плоских колебаниях косослоистого полупространства (задача 3Б) , имеющее вид, аналогичный (12).

В ГЛАВЕ V исследуется проблема концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородного клина (4Ск) с произвольным (гладким или кусочно-непрерывным) законом изменения модулей по угловой координате. Изучается характер зависимости показателя сингулярности напряжений в вершине клина от его угла раствора , при этом асимптотика напряжений имеет вид полярный радиус). Для исследования поставленных задач и получения уравнения относительно параметра предложены 3 подхода.

В §1 описан 1-й подход, основанный на методе дискретизации, состоящем в аппроксимации неоднородного клина кусочно – однородным, составленным из однородных клиновидных компонент, и дано построение ГИУ смешанной задачи методом интегральных преобразований.

На основе этого подхода методом ГИУ рассмотрена задача о концентрации напряжений в кусочно-однородной клиновидной среде при наличии колебаний антиплоского сдвига. Левая часть уравнения для определения параметра порождается знаменателем (11) подынтегральной функции ядра ГИУ.

В параграфе дано исследование критических углов раствора , начиная с которых в вершине угла появляется особенность у напряжения. Как показывают результаты численного анализа для 3-х компонентной клиновидной среды (Рис.1) критический угол раствора существенно зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины. В частности, для однородной клиновидной среды в условиях колебаний антиплоского сдвига получается известное значение критического угла раствора






Рис.1. =Imz , k = μmax / μmin)


В §2 описан 2-й подход, основанный на вариационном методе и состоящий в сведении исходной проблемы к некоторой нелинейной спектральной задаче для квадратичного пучка операторов:

. (23)

Последующее применение прямых численных методов, связанных с вариационным подходом, приводит к приближенному уравнению относительно параметра сингулярности напряжений . Рассмотрены задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородно упругого клина с произвольным законом изменения упругих модулей по угловой координате . Исследованы особенности появления концентрации напряжения для различных углов и различных законов изменения упругих модулей от (кусочно–постоянный, линейный, квадратичный). В частности, детально проанализирована структура напряжений в окрестности вершины составного клина из материалов с различными упругими свойствами. Представлены результаты численного анализа. Показано, что в условиях плоской деформации критический угол раствора неоднородной клиновидной среды также зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины.

Предложен 3-й подход, основанный на непосредственном сведении исходной проблемы к спектральной задаче для системы интегральных операторов Фредгольма II рода с их последующей конечномерной аппроксимацией.

Сравнение результатов решения одних и тех же задач, полученных с помощью рассмотренных методов, обнаруживает их совпадение. Численно исследованы особенности появления концентрации напряжений для произвольных законов изменения упругих модулей, получены величины критических углов раствора клина, отделяющих области с наличием и отсутствием концентрации напряжений в угловой точке.

В §3 дано аналитическое исследование вопроса о существовании критических углов раствора неоднородной клиновидной среды, удовлетворяющих условию . Доказан результат, устанавливающий факт существования вышеупомянутых критических углов при выполнении некоторых условий.

В ГЛАВЕ VI изучен характер формирования волнового поля смещений в упругой клиновидной среде. Дано аналитическое исследование условий возникновения поверхностных волн при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды. Установлена математическая корректность факта существования интерфейсной (каналовой) волны в кусочно-однородной клиновидной среде.

В §1 получены функционально-инвариантные решения динамических уравнений теории упругости в клиновидной среде с помощью формул Зильберглейта А.С., Златиной И.Н. для общего решения в случае произвольного возбуждения упругой клиновидной среды:




(24а)

(24b)


где произвольные аналитические функции, фазовые скорости поперечных и продольных волн соответственно. Если аналитические функции в (24) имеют вид , то построенные решения локализуются в окрестности линии .

В §2 на основе метода вариационных неравенств доказан результат, являющийся математическим отражением известного физического принципа предельной амплитуды.

Доказана основная теорема, устанавливающая факт существования решений (24b), отвечающих поверхностным волнам типа Релея в клиновидной среде при определенных критических значениях угла её раствора в условиях установившихся колебаний.

Теорема 5. Пусть операторы уравнений динамической теории упругости в однородной клиновидной области с углом раствора и границами действуют в гильбертовом пространстве со скалярным произведением , порождающим смешанную норму пространства Тогда для обобщенной краевой задачи:

(25)

всегда найдётся такое что , для которого существует соответствующее решение вида (24b).

Доказательство теоремы основано на свойствах голоморфности билинейных форм (25) как функций и известных результатов в области

спектральных задач теории колебаний.

В §3 предложен метод изучения характера формирования волнового поля смещений свободной поверхности при установившихся плоских колебаниях клиновидной среды (задача 4Ап) , соответствующих функциям в формулах (24b). С помощью выражений (24a,b) для определения фазовой скорости поверхностной волны получено уравнение, которое оказывается уравнением Релея.

Решение этого уравнения в случае клиновидной среды имеет смысл лишь при условии существования критических углов раствора , для которых возможен отыскиваемый режим колебаний. На основе использования вариационного принципа Гамильтона-Остроградского и принципа предельной амплитуды в формулировке §2 для случая установившихся колебаний получено уравнение, из которого определяются критические углы раствора :

(26)

В процессе применения вариационного подхода осуществлялось разложение искомого решения по системе функций, удовлетворяющих уравнениям (24а,b) и заданным граничным условиям, полнота которой была предварительно установлена в следующей ниже теореме.

Теорема 6. Система полна в пространстве , , .

Доказательство основано на результатах по теории аппроксимации функций в комплексной плоскости.

Ниже для некоторых геологических пород приведена сравнительная Таблица 1 фазовых скоростей s волн сдвига и скоростей поверхностных волн Релея в клине, а также найденные по формулам (26) с помощью математического пакета Maple-8 критические углы раствора клина, при которых эти поверхностные волны могут наблюдаться.

Таблица 1







Материал


Скорость волны сдвига

s, км/с

Скорость поверхностной волны Релея в клине

, км/с


Критический

угол раствора клина , град

1.

Почвы песчано-глинистые, сухие

0,100

0,150

0,200

0,300

0, 092

0,138

0,184

0,276

81,9

81,2

80,6

79,4

2.

Мерзлота, лед

1,250

1,350

1,450

1,150

1,242

1,334

70,6

69,9

69,1

3.

Известняк

1,300

1,420

1,520

1,196

1,306

1,394

70,2

69,3

68,5

4.

Глина водонасыщенная

1,750

1,850

1,610

1,702

66,8

66,0



При этом фазовые скорости указанных в таблице волн и критические углы раствора удовлетворяют соответственно неравенствам: .

В §4 исследован вопрос о возможности локализации волнового процесса в составной клиновидной среде, составленной из 2-х упругих клиньев с углами раствора и общим ребром (задача 4Аи). Исследована проблема существования режима колебаний, порождающих интерфейсную (каналовую) волну типа Стоунли, не обладающую дисперсией. Указанная волна локализована в окрестности линии раздела клиновидных компонент.

Удовлетворение условиям сопряжения при решении краевой задачи с помощью (24a,b) для составной клиновидной среды с однородными краевыми условиями приводит к уравнению для определения фазовой скорости распространения интерфейсных волн на границе раздела сред:

(27)



Аналитическое исследование уравнения (27) позволяет установить наличие у него действительного корня при определенных соотношениях между отношениями волновыми сопротивлений поперечных волн, отношениями скоростей поперечных волн, отношениями механических жесткостей контактирующих сред. Ниже приведена сравнительная Таблица 2 фазовых скоростей интерфейсных волн в 2-х компонентной клиновидной среде и волн Стоунли в 2-х компонентном пространстве. В качестве материалов контакта выбраны реальные геологические породы.

Таблица 2




Материалы

контакта


Скорости волн сдвига

s, км/с


Отношение

волновых сопротивлений,



Скорость

волны Стоунли

, км/с

Скорость

интерфейсной волны в 2-х компонентном

клине

, км/с




1.

Водонасыщенные грунты-

-мерзлота, лед

1,35

1,25

0,7

1,190


1,000


2.



Известняк-

- водонасыщенная

глина

1.75

1.52


0.82

1.519

1.516

1,85

1,80

0,83

1,740

1,390

1,85

1,75

0,88

1,750

1,450

3.

Доломит-

-гранит

3,60

3,60

0,98

3,530

3,460



При этом фазовая скорость интерфейсной волны в таблице 2 оказывается меньше скорости волны Стоунли при контакте полупространств из тех же материалов. Как и в случае факта существования поверхностных волн типа Релея, интерфейсные волны в составной клиновидной среде появляются лишь при критических углах раствора клиновидных компонент, которые определяются из уравнения типа (26) и удовлетворяют условию .

На Рис.2 представлены результаты численного анализа зависимости действительного корня уравнения (27), определяющего относительную фазовую скорость интерфейсной волны , от отношения волновых сопротивлений контактирующих клиновидных сред в окрестности границы раздела сред L для различных значений коэффициентов Пуассона . Точками на графиках помечены результаты, вычисленные на основе реальных данных из таблиц геофизических наблюдений, сплошная линия на графиках – результат полиномиального сглаживания.

В излагаемом параграфе сформулирован также результат, устанавливающий факт существования критических углов раствора клиновидных компонент, для которых на границе раздела сред составной клиновидной среды появляется интерфейсная волна. В рассматриваемой ситуации доказана теорема, аналогичная теореме 5.



Рис.2.

На основе численного анализа с использованием математического пакета Maple-8 составлена таблица контактного соответствия реальных геологических пород клиновидной формы. В этой таблице наряду с указанием основных волновых характеристик контактирующих пород приведены расчетные значения максимальных критических углов раствора клиновидных компонент , на границах контакта которых появляется каналовая волна. Её фазовая скорость подсчитана и помещена в таблице для случаев контакта ряда различных геологических сред клиновидного типа. Описанная таблица не приведена в автореферате ввиду её громоздкости. Как следует из справочных материалов по сейсморазведке под ред. Номоконова В.П. (М.Недра.1990.), полученные выше результаты согласуются с имеющимися данными геофизических наблюдений.

1   2   3   4

Похожие:

Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconСтатья 62 Некоторые интегральные тождества математической физики
Грина построены три группы интегральных соотношений, верных для функций, заданных на границе области. Тождества пригодны для исследования...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрайс-лист на продукцию, продаваемую в киосках мгсу
Дискретные и дискретно-контитуальные реализации метода граничных интегральных уравнений
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconМетод сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции упругих волн на цилиндрических включениях
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при прохождении плоских волн...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПаспорт учебного кабинета информатики
Анатольев Вячеслав Николаевич, Анатольева Эльвира Васильевна 2009-2010 уч год: Анатольев Вячеслав Николаевич, Андреева Жанна Ниловна,...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconИсследование новых моделей задач математической физики и создание алгоритмов их решения. В рамках этого проекта: подпроект «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений»
Математические проблемы алгебры, топологии, теории приближения функций и приложения
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма государственного экзамена по специальности для студентов-магистрантов
...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛитература Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966
Основные понятия, уравнения и формулы классической (линейной) теории упругости. Тензоры дисторсии, вращения и деформации. Определение...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛекция Содержание
Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 68 Математика Программа обсуждена на заседании кафедры ит
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Определитель матрицы. Свойства определителя. Метод Крамера...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconГоувпо «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» Факультет информационных систем и технологий
Исследование, нлу, методы решения нелинейных уравнений, метод Ньютона, метод касательных, метод хорд, метод половинного деления,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница