Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей




НазваниеВячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей
страница2/4
Дата07.05.2013
Размер0.68 Mb.
ТипАвтореферат
1   2   3   4
ГЛАВА II посвящена вопросам сведения краевых задач динамики антиплоского сдвига 1А, 2А, 3А, 1Б, сформулированных в §1, главы I для однородных клиновидных областей, к эквивалентным ГИУ и изучению вопросов их разрешимости. Указанные краевые задачи формулируются для уравнения Гельмгольца. При получении ГИУ применяются методы интегральных преобразований Фурье, Лапласа и Конторовича-Лебедева. Рассмотрены случаи, когда источники на границе рассматриваемых сред, реализуют как установившиеся колебания, так и стохастическое возбуждение.

В §1 для задач установившихся колебаний антиплоского сдвига в однородной клиновидной среде дано построение функции Грина на основе методов интегрального преобразования Фурье и Конторовича-Лебедева. Тогда интегральное представление регулярного решения уравнения Гельмгольца с помощью построенной функции Грина для задачи (2А) приводит к ГИУ следующего вида :

K (1)



Здесь вектор амплитуд смещений, заданных в полосе на верхней грани клина и на разрезе J , компонентами вектора являются амплитуды неизвестных напряжений в области задания источников колебаний на грани клина и их скачка на разрезе J, функции Iv(z), Kv(z) - модифицированные функции Бесселя. Матрица-функция 2-го порядка K(z) является четной, положительной определенной на вещественной оси и мероморфной в комплексной плоскости z с полюсами и нулями zk = 1, 2,…) в области Im z > 0. Предполагается также у матрицы-функции K(z) наличие П- полосы регулярности в окрестности вещественной оси , и выполнение асимптотической оценки . Контур интегрирования расположен в полосе регулярности Г2 П и в задачах стационарной динамики определяется условиями излучения.

При использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева применен метод Фока, основанный на предварительном рассмотрении случая . Переход к случаям и, в частности, , где волновое число в задачах колебаний упругой среды, осуществляется методами аналитического продолжения.

При отсутствии разреза J клиновидная область становится однородной, а матрица-функция K(z) превращается в скалярную функцию K(z), положительную на вещественной оси Im z =0 и мероморфную в комплексной плоскости z с сохранением всех остальных свойств, описанных выше.

К скалярному ГИУ с главной частью типа (1) и указанными свойствами ядра в данном параграфе приведены смешанные задачи 1А,2А, 3А, 1Б. Оператор K левой части (1) оказывается главной частью ГИУ всех остальных рассматриваемых в данной работе задач и в дальнейшем называется базовым.

В §2 детально изучены вопросы обратимости базового оператора K в скалярном и матричном случаях. Для этого в уравнении (1) контур интегрирования Г2 П деформируется в полосе регулярности в действительную ось , что позволяет ввести пространство обобщенных решений уравнения (1) с нормой:

(2)



Исследование вопросов обратимости оператора K эквивалентно исследованию вопросов разрешимости ГИУ (1). Условие разрешимости устанавливается на основе использования классического результата Рисса о единственности представления линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве со скалярным произведением, порождающим норму (2). Далее доказывается ряд вспомогательных результатов на основе непосредственных оценок, устанавливающих эквивалентность пространства пространству дробной гладкости Соболева-Слободецкого , что позволяет сформулировать основной результат этого параграфа.

Теорема 1. Оператор K однозначно обратим, как оператор,

действующий в пространствах Соболева-Слободецкого

K

В §3 дается вывод ГИУ задачи (5А) и осуществлено исследование вопросов его разрешимости. Указанные вопросы возникают при математическом моделировании процесса нестационарных колебаний, связанных с появлением случайных источников границе области, где они задаются в форме аналитической функции от винеровского случайного процесса wt. В математической постановке при этом возникают начально-краевые задачи со случайными условиями. В настоящем параграфе рассмотрена смешанная задача динамики клиновидной среды с граничными условиями, частично носящими случайный характер. На основе применения интегрального преобразования Лапласа по временной координате к волновому уравнению и начально-граничным условиям задачи, а затем преобразования Конторовича-Лебедева с последующим обращением этих преобразований, получено скалярное ГИУ стохастических колебаний задачи:

(3)



В соотношениях (3) функция Лежандра, момент выхода винеровского wt случайного процесса на границу, неизвестное случайное поле контактных напряжений, аналитическая функция w, параметр скорость распространения волн сдвига. Функция четна, мероморфна в комплексной плоскости z , имеет в ней однократные нули и полюса с конечной плотностью распределения. При этом и обладает асимптотикой . В окрестности действительной оси существует полоса регулярности функции , содержащая контур ( ).

Исследованы вопросы разрешимости ГИУ (3) и свойства случайного поля его решений (контактных напряжений). Результаты исследований сформулированы в виде теоремы, аналогичной теореме 1, в терминах пространств со смешанной нормой , где норма пространства средней ограниченной осцилляции берется по временной координате t .

В §4 разработан метод точного обращения базовых операторов, основанный на теореме, устанавливающей структуру решения ГИУ.

Теорема 2. ГИУ (1)имеет единственное решение, представимое в виде:

(4)

,

Контур Г2 лежит вышеГ1П, матрица результат факторизации .

Доказательство теоремы основано на сведении ГИУ к некоторой треугольной системе интегральных уравнений II рода относительно неизвестных вектор-функций с помощью метода факторизации, развитого в работах академика РАН Бабешко В.А.

Для задач об антиплоских гармонических колебаниях упругого клина с за­крепленной или свободной нижней гранью (2А), а также крутильных колебаниях упругого конуса (3А), функция K(z) имеет соответственно вид:



В целях проверки достоверности результата рассмотрена смешанная задача об антиплоских колебаниях упругого полупространства под действием симметричной или антисимметричной нагрузки, соответствующая случаям 1), 2) при . Методы работ Бородачева Н.М. (Прикл. мех. 1973. Т.9. вып.5. С. 231-234)., Рвачева В.М. (Прикл.матем. и механ.1956. Т. 20. № 2. С.248-254.) позволяют построить точное решение указанной задачи. Непосредственная проверка устанавливает его совпадение с (4).

Аналогичный результат получен и в случае нестационарного возбуждения клиновидной области (задача 5А).

В ГЛАВЕ III представлены 2 новых подхода, позволяющие осуществить построение аналитических решений задач 2С, 2Д для неоднородных клиновидных областей.

В §1 рассмотрен 1-й из них, названный методом сингулярных интегральных соотношений, который связан с удовлетворением условиям сопряжения на границе раздела сред и основан на следующем ниже результате.

Введем классы Смирнова Ер(П), р>0, функций Ф(z), суммируемых в полосе регулярности П, содержащей действительную ось R1, и удовлетворяющих условию :

Теорема 3. Если в классе Е1(П) имеет место равенство

(7)

, (8)

то почти всюду на имеет место равенство:

Доказательство вытекает из асимптотических свойств интеграла (8), результатов работы Forristall G.Z., Ingram J.D.(SIAM J.Math.Anal.1972.No.3.P.561-566.) теорем об убыва­нии целых функций и формул Сохоцкого в классах Е1(П). Применение результата теоремы приводит к получению некоторых линейных соотношений между преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений, которые возникают в результате удовлетворения условиям сопряжения. На основе этого подхода получено ГИУ смешанной задачи (2С).

Второй подход является более общим и основан на методах интегральных преобразований обобщенных функций. При этом подходе к решению задач динамики составной клиновидной области уравнения колебаний, граничные условия и условия сопряжения на границах раздела сред с различными упругими и волновыми характеристиками рассматриваются как следствия вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В формулируемой ниже теореме установлен специальный математический результат, с помощью которого оказалось возможным трансформировать условия сопряжения в форму линейных соотношений между интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений в специально выбранных пространствах обобщенных функций. Пространство обобщенных функций, сопряженное к пространству основных функций, помечено штрихом.

Теорема 4. Для выполнения соотношения

1ρ)F1(τ) = 2ρ)F2(τ) , , æ1,2 >0 (9) необходимо и достаточно выполнения условия

æ1- F1(τ) = æ2- F2(τ) , τ (10)

понимаемого в смысле равенства обобщенных функций из ,

построенных на пространстве основных функций (A,B >0) :





где ψ(z)- преобразование Меллина функции .

В §2 в целях проверки результата проводилось сравнение обоих подходов на примере решения смешанной (контактной) задачи (2С) об антиплоских колебаниях 2-х компонентной клиновидной среды . При этом оказывается, что ГИУ относительно неизвестных контактных напряжений, полученные с помощью обоих подходов, полностью совпадают .

В §3 на основе последнего из подходов §2 разработан метод операторных пропагаторов, позволяющих связать граничные значения смещений и напряжений на соседних границах составной клиновидной среды. Рассмотрена смешанная задача (2С) о колебаниях n-компонентного клиновидной среды с жестко закрепленной (либо свободной) нижней гранью. При этом пропагатор оказывается матрицей, позволяющий получить скалярный вариант ГИУ (1) с параметром и подынтегральной функцией , определяемой следующим рекуррентным соотношением:

(11)


В соотношении (11) углы определяют последовательные границы клиновидных компонент, - углы раствора компонент.

В §4 для задачи построен интегрально-матричный операторный пропагатор P усеченно-клиновидной области с внутренними углами в условиях антиплоских колебаний, который связывает на ее полубесконечных границах 1,2 трансформанты Конторовича-Лебедева векторов , составленных из компонент смещений и напряжений сдвига на каждой из этих границ соответственно:

(P )

(P ) (12)



В
1   2   3   4

Похожие:

Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconСтатья 62 Некоторые интегральные тождества математической физики
Грина построены три группы интегральных соотношений, верных для функций, заданных на границе области. Тождества пригодны для исследования...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрайс-лист на продукцию, продаваемую в киосках мгсу
Дискретные и дискретно-контитуальные реализации метода граничных интегральных уравнений
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconМетод сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции упругих волн на цилиндрических включениях
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при прохождении плоских волн...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПаспорт учебного кабинета информатики
Анатольев Вячеслав Николаевич, Анатольева Эльвира Васильевна 2009-2010 уч год: Анатольев Вячеслав Николаевич, Андреева Жанна Ниловна,...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconИсследование новых моделей задач математической физики и создание алгоритмов их решения. В рамках этого проекта: подпроект «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений»
Математические проблемы алгебры, топологии, теории приближения функций и приложения
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма государственного экзамена по специальности для студентов-магистрантов
...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛитература Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966
Основные понятия, уравнения и формулы классической (линейной) теории упругости. Тензоры дисторсии, вращения и деформации. Определение...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛекция Содержание
Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 68 Математика Программа обсуждена на заседании кафедры ит
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Определитель матрицы. Свойства определителя. Метод Крамера...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconГоувпо «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» Факультет информационных систем и технологий
Исследование, нлу, методы решения нелинейных уравнений, метод Ньютона, метод касательных, метод хорд, метод половинного деления,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница