Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей




НазваниеВячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей
страница1/4
Дата07.05.2013
Размер0.68 Mb.
ТипАвтореферат
  1   2   3   4


На правах рукописи


Беркович Вячеслав Николаевич


МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЕЙ


01.02.04 – механика деформируемого твердого тела


Автореферат


диссертации на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук



Ростов-на-Дону – 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета и в Ростовском филиале федерального Московского государственного университета технологий и управления


Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Пожарский Дмитрий Александрович

доктор физико-математических наук,

профессор Чебаков Михаил Иванович


Ведущая организация – НИИ механики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И.Лобачевского


Защита диссертации состоится 22 ноября 2011 г. в 16-30 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова , 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211 .


С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.


Автореферат разослан _____________2011 г.


Ученый секретарь

диссертационного совета Боев Н.В.


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях продиктована необходимостью более адекватного моделирования и анализа процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сочетание горизонтально-слоистых, клиновидных и косослоистых областей, обусловлена возрастанием научно-теоретического и практического интереса к исследованию волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых в машиностроении, при создании высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на использовании свойств поверхностно активных волн .

Актуальность математического моделирования процесса распространения нестационарных возмущений в клиновидной области со случайными источниками внутри среды, либо на её границе, обусловлена возрастающим интересом к использованию методов акустической эмиссии для целей неразрушающего контроля при оценке состояний предразрушения изделий ответственного назначения.

Теоретическое изучение вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах актуально для оценки напряженного состояния в местах стыка разнородных сред, оптимального сочетания материалов, в связи с развитием методов контроля прочности в конструкциях, содержащих ребра и угловые точки.


Целью исследований является разработка методов анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамической теории упругости с разрывом граничных условий для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых упругих областей на основе развития метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), исследования вопросов их разрешимости и разработки методов построения приближенных решений, анализа характера формирования волнового поля, возбуждаемого источниками колебаний на границах, а также изучение вопросов концентрации напряжений в окрестности угловых точек.


Научную новизну составляют:

– изучение новых классов смешанных динамических задач теории упругости для клиновидных и косослоистых областей, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиям сопряжения на границах раздела;

– теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной и косослоистой области при определенных условиях, методика определения скоростей возникающих при этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела;

– решение смешанной задачи о возбуждении в клине внешними как детерминированными, так случайными источниками на основе сведения начально-краевой задачи к эквивалентному ГИУ с исследованием вопросов его разрешимости и выявлением аналитической структуры решения;

– изучение вопросов концентрации напряжений в угловых точках неоднородных клиновидных областей в случаях произвольной зависимости механических характеристик от полярного угла.


Методика исследований


В качестве основного метода исследования в диссертации выбран метод, состоящий в сведении рассматриваемых краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований к эквивалентным граничным интегральным уравнениям (ГИУ), в их детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения решений исходных задач. В процессе построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории упругости и теории дифракции: методы теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы и методы факторизации, методы теории аналитических функций, теории интерполяции целых функций и функциональных пространств, теории аппроксимации, теории случайных процессов, функционального и численного анализа.


Достоверность полученных результатов обусловлена применением современных математических подходов при анализе динамических уравнений теории упругости в клиновидных областях, использованием вариационных принципов, строгими постановками краевых задач теории упругости с их детальным исследованием методом ГИУ. Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости поставленных задач и получающихся при этом ГИУ. Достоверность результатов, полученных разработанными в диссертации методами, основана на сравнении в частных случаях с решениями известных задач, полученных с помощью других подходов и методов.


НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Исследован новый класс динамических смешанных задач для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.

2. Получены новые функционально–инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.

3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободной поверхности однородной и в окрестности линий раздела кусочно-однородной упругой клиновидной области.

4. Разработана методика расчета волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса однородной и кусочно-однородной клиновидной области.

5. Представлены методы определения показателя сингулярности напряжений в вершине клина и критических углов концентрации с произвольным (непрерывным и кусочно-непрерывным) распределением механических характеристик среды.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Излагаемые в диссертации научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» НИИ механики и прикладной математики им.акад.И.И.Воровича Южного федерального университета (Ростов н/Д, 2005,2006, 2008,2009 гг.), на Всероссийской конференции Института гидромеханики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.), на VIII Международной конференции АМАDE-2003 «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII, XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.) на семинарах кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2004-2009 гг.), на семинаре кафедры физики и математики Ростовского филиала Московского университета технологий и управления (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на заседании семинара «Механика сплошной среды» им.Л.А.Галина в Институте проблем механики АН СССР (Москва,1990г.), в Центре Южного отделения РАН при Кубанском госуниверситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на городском семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математической геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2011г.), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-на-Дону, 2011г.).


СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ


Представляемая диссертация содержит оглавление, введение, 7 глав, заключение, приложения и список литературы.

В оглавлении представлена структура диссертации с указанием глав и параграфов. Введение содержит детальный анализ состояния исследуемых проблем к настоящему времени. Основное содержание работы представлено в 7 главах, разбитых на параграфы, в которых принята сквозная нумерация формул. Заключение содержит сводку основных результатов и выводов, сформулированных по результатам исследований. Список литературы дан в алфавитном порядке и насчитывает 243 наименования отечественных и 127 зарубежных источников. Объем основного текста, включая список литературы, составляет 340 страниц.

Приложения содержат необходимые вспомогательные сведения, таблицы и доказательства некоторых промежуточных результатов, представляющих самостоятельный интерес и облегчающих чтение основного текста. Объём приложений составляет 112 страниц.

По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 110 в изданиях для публикаций по докторским диссертациям из списка, рекомендованного в перечне ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата. Работы 3,4 выполнены в соавторстве с Трипалиным А.С., а работы 17,21,23 выполнены в соавторстве со Шварцманом М.М. В указанных выше работах соискателю принадлежит математическая постановка смешанных задач на основе их сведения к ГИУ, исследование вопросов разрешимости и разработка алгоритма построения решения.

БЛАГОДАРНОСТИ


Автор диссертации выражает глубокую признательность своему учителю, академику РАН, профессору Бабешко В.А. за постоянный интерес, внимание и поддержку настоящей работы, а также благодарит коллектив кафедры теории упругости Южного федерального университета за ценные замечания при обсуждении полученных результатов.


ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ


Введение содержит историю рассматриваемых в работе проблем и детальный обзор отечественной и зарубежной литературы по состоянию в настоящее время вопросов, связанных с исследованием волновых процессов в клиновидных и косослоистых областях.

В качестве начальной и наиболее распространенной модели приповерхностного фрагмента земной коры в математической геофизике для решения задач сейсморазведки обычно выбирается горизонтально-слоистая структура, представляющая собой пакет горизонтально расположенных однородных пластов, находящихся в различных условиях контакта. Значительный вклад в изучение указанного выше класса задач внесли отечественные исследователи Александров В.М., Бабешко В.А., Ворович И.И., Белоконь А.В., Бреховских Л.М., Ватульян А.О., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Годин О. А., Калинчук В.В., Кучер В.И., Каштан Б.М., Молотков Л.А., Петрашень Г.И., Пряхина О.Д., Пузырев Н.И., Смирнова А.В., Селезнев М.Г., Чебаков М. И. и др. Аналогичным проблемам посвящены работы зарубежных авторов Dunkin J.W., Harkrider D.G., Franssens G.A., Woodhouse J.H., Gilbert E., Backus G.E. и др.

Несмотря на весьма детальную изученность основных и смешанных задач динамической теории упругости неоднородной горизонтально-слоистой среды, возможности её использования все же ограничены, поскольку далеко не все фрагменты земной коры могут быть смоделированы указанным образом.

Следующей по сложности и степени адекватности моделью фрагмента земной коры в геофизике является косослоистая область, составленная из клиновидных и усеченно-клиновидных однородных упругих компонент с различными механическими и геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.

В работе Петрашень Г.И. (Учен. зап. ЛГУ, №177. Л. 1954), по-видимому, впервые было обращено внимание на проблему теоретического изучения процесса распространения возмущений в косослоистой области. Вопросы построения решений основных и смешанных задач динамической теории упругости в областях рассматриваемого типа до сих пор оставались открытыми, а теоретические исследования отмеченных проблем не обнаружены в открытой печати , в отечественных работах и справочных изданиях по вибросейсморазведке Гурвич И.И., Боганик Г.И., Номоконов В.П.(ред.) Саваренский Е.Ф, Шнеерсон Б.М., Майоров В.В., Пузырев Н.Н., Чичинин И.С., Лёвшин А.Л. и др., в работах аналогичного направления и изданиях известных зарубежных авторов Sheriff P., Geldard L., Payton C.E., Walton G.G., Neidell N.S. и др.

Смешанные задачи динамической теории упругости для однородных клиновидных областей на начальном этапе исследования изучались в антиплоской постановке. Результаты в указанном направлении содержатся в работах отечественных авторов Бабешко В.А., Бабича В. М., Бородачева Н.М., Рвачева В.М., Уфимцева П.Я., Шанина А.В., а также зарубежных авторов Achenbach J.D., Hudson J.A., Fuchs K., Craster R.V., Ellis Robert M. и др.

Рассмотрение плоских краевых задач установившихся колебаний однородной клиновидной среды ранее было в основном связано с изучением дифракции плоских волн от угловых областей. Впервые точное решение плоской задачи о дифракции нестационарной плоской упругой волны на гладком твердом клине произвольного угла раствора было получено Костровым Б.В. (ПММ.1966. Т.30. Вып.1.) Вопросам дифракции плоских волн от угловых областей посвящены также работы Петрашень Г.И., Николаева Б.Г., Коузова Д.П., Поручикова В.Б., Исраилова М.Ш., Oberhettinger F. И др., в которых использован подход, основанный на методе функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева. В работах последующих лет авторы Шанин А.В., Budaev B.V., Bogy D.B., Norris A.N., Osipov A.V., Davis A.M. исследовали задачи дифракции на клине методом динамических потенциалов в сочетании с использованием метода Зоммерфельда – Малюжинца и метода факторизации. Описанию результатов применения этих же методов, а также лучевого метода к изучению акустических волн в клиновидной области, вычислительным аспектам и вопросам разрешимости проблем дифракции на упругом клине посвящены работы Бабича В.М, Боровикова В.А., Лялинова М.А., Можаева В.Г., Смышляева В.П., Fradkin L.J., Gridin D., Kamotski V., и др.

Рассмотрению плоской основной краевой задачи теории упругости об установившихся колебаниях прямоугольного клина при наличии источников гармонических колебаний на его гранях посвящены работы Bogy D.B., Wang K.C., Wong H.L., Luco J.E. и др., в которых был применен метод суперпозиции решений соответствующих задач об установившихся колебаниях 2-х упругих полуплоскостей. Метод суперпозиции при решении основных краевых задач о плоских и антиплоских колебаниях клиновидной среды был использован также Селезневым М.Г., Ляпиным А.А. Плоские задачи динамического нагружения упругих областей с угловыми точками контура рассматривались в работах Морозова Н.Ф. и Суровцовой И.Л. методом динамических потенциалов для специальных случаев задания граничных условий. Значительный вклад в разработку методов решения задач о колебаниях однородного клина внесен Добрушкиным В.А.

Исследование волновых процессов в кусочно-однородных клиновидных средах проведено в работах Улитко А.Ф., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Проблемы дифракции упругих волн для кусочно-однородной клиновидной среды в дальнейшем были рассмотрены в работах Budaev B.V., Gaustesen A.K., Walton J.R. и др.

Изучению процессов возникновения и распространения поверхностных и интерфейсных (каналовых) волн в упругих телах посвящено значительное число работ. Начало исследований в этих направлениях было заложено в работах Rayleigh J.W., Stonely R., Love А. и др. Детальное исследование процессов возникновения поверхностных и интерфейсных волн в горизонтально-слоистых средах содержится в монографиях Бабешко В.А., Глушкова Е.В., Зинченко Ж.Ф., Бабича В.М., Молоткова И.А., Вильде М.В., Гринченко В.Т., Мелешко В.В., Гетмана И. П., Устинова Ю.А. и др. В работах академика РАН Бабешко ВА. выдвинут «принцип локализации» волнового процесса при установившихся колебаниях упругих полубесконечных однородных или кусочно-однородных сред, детально обоснованный для задач динамики горизонтально-слоистой среды. Для случая кусочно–однородной клиновидной среды этот принцип нашел еще одно подтверждение в настоящей диссертации. Исследование интерфейсных явлений на границе упругой клиновидной и жидкой среды имеется в работах Croisille J.-P., Lebeau G., Shanin,A.V, Krylov,V.V., Piet J.F., de Billy M.и др.

Исследованию вопросов концентрации напряжений в окрестности угловой точки однородной упругой клиновидной среды в условиях статического нагружения посвящено большое число работ, начиная с работ Williams M. L., Zak A.R. , Аксентян О. К., Александрова В.М., Воровича И. И., Сметанина Б.И., Лурье А.И., Матвеенко В.П., Партона В.З., Перлина П.И., Уфлянда Я.С., Пожарского Д. А. и др. Отмечено существование критического угла концентрации , начиная с которого в его вершине появляется степенная особенность напряжений . При этом критический показатель сингулярности находится из некоторого трансцендентного уравнения. Задачи концентрации напряжений для двухслойного клина исследовали Вайшельбаум В.М., Гольдштейн Р.В., Холмянский М.Л., Bogy D.B, Hein V.L., Erdogan F., Theocaris P.S., Gdontos E.E., Thireos C.G.и др. Вычисление и исследование критического показателя сингулярности как при статических, так и при динамических режимах нагружения кусочно-однородной клиновидной среды дано в работах Аксентян О.К., Лущик О.Н., Вовк Л.П., Соболь Б.В., где изучены области изменения параметров, для которых характерно появление бесконечных напряжений в вершине составной 2-х, 3-х и 4-х компонентной клиновидной среды.

Исследование нестационарной и стохастической динамики упругой среды для классических областей проводилось как отечественными авторами Болотиным В.В., Волоховским Ю.В., Гончаренко В.М., Диментбергом М.Ф. Сеймовым В.М., Пальмовым В.А., Чигаревым А.В. и др., так и зарубежными авторами Shaw R.P., Grandall S.H., Iwan W.D., Lutes L.D., Karnopp D., Scharton T.D., Schmidt G., Stassen H.G. и др. Исследование проблемы стохастического возбуждения клиновидной среды представлено в ряде работ Бабича В.М, Budaev B.V., Bogy D.B. и др. в связи с задачами дифракции на клине.

Вопросы разрешимости краевых задач I,II,III рода для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с кусочно-гладкой границей рассмотрены в работах Андряна А.А., Заргаряна С.С. , Мазьи В.Г., Назарова С.Ф., Пламеневcкого Б.А. и др.

Ниже дается краткое содержание основных результатов диссертации.


В ГЛАВЕ I в классической форме даны математические постановки всех основных рассматриваемых в настоящей диссертации классов смешанных задач о колебаниях упругих клиновидных и косослоистых областей в условиях плоской или антиплоской деформации. Колебания возбуждаются источниками смещений, находящимися на части свободной поверхности клина. В случае кусочно-однородной клиновидной или косослоистой области к граничным условиям добавляются условия жесткого контакта на границах раздела областей.

В §1 даны постановки смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях однородной клиновидной области, одна из граней которой свободна или жестко закреплена, а на другой заданы источники колебаний. При этом ставятся следующие задачи: колебания однородной клиновидной среды (задача 1А); колебания клиновидной среды с радиальным дефектом J конечной длины, на котором заданы источники колебаний (задача 2А); крутильные колебания сдвига конической упругой среды (задача 3А); колебания усеченной клиновидной среды (задача ).

В §2 даны постановки смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях неоднородных клиновидных областей с условиями §1. Ставятся следующие задачи: колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 2С); колебания неоднородной клиновидной области с непрерывным распределением упругих механических параметров (задача 2Д); колебания косослоистого полупространства (задача2Б).

В §3 приведены постановки смешанных задач установившихся колебаний клиновидной среды в условиях плоской деформации. Рассмотрены следующие задачи: плоские колебания однородной клиновидной среды (задача 4А); колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 4С); колебания косослоистого полупространства (задача 3Б).

Для всех вышеперечисленных классов задач ставятся проблемы перехода от их классических постановок к граничным интегральным уравнениям (ГИУ) с изучением вопросов их разрешимости, исследованием характера формирования волновых полей в рассматриваемых средах и изучением вопросов концентрации напряжений в угловых точках.

В §4 дается постановка задач анализа процессов локализации колебательного процесса в клиновидной области в условиях плоской деформации: проблема существования поверхностных волн и анализ поля смещений на границе однородной клиновидной области (задача 4Ап); проблема существования интерфейсных (каналовых) волн и анализ поля смещений на границе раздела сред кусочно-однородной клиновидной области (задача 4Си).

В §5 рассматривается постановка нестационарной смешанной задачи динамики клиновидной области при ее возбуждении стохастических источниками смещений сдвига на границе, задаваемыми в форме винеровского случайного процесса: стохастическое возбуждение упругой клиновидной области (задача 5А).

  1   2   3   4

Похожие:

Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconСтатья 62 Некоторые интегральные тождества математической физики
Грина построены три группы интегральных соотношений, верных для функций, заданных на границе области. Тождества пригодны для исследования...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрайс-лист на продукцию, продаваемую в киосках мгсу
Дискретные и дискретно-контитуальные реализации метода граничных интегральных уравнений
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconМетод сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции упругих волн на цилиндрических включениях
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при прохождении плоских волн...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПаспорт учебного кабинета информатики
Анатольев Вячеслав Николаевич, Анатольева Эльвира Васильевна 2009-2010 уч год: Анатольев Вячеслав Николаевич, Андреева Жанна Ниловна,...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconИсследование новых моделей задач математической физики и создание алгоритмов их решения. В рамках этого проекта: подпроект «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений»
Математические проблемы алгебры, топологии, теории приближения функций и приложения
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма государственного экзамена по специальности для студентов-магистрантов
...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛитература Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966
Основные понятия, уравнения и формулы классической (линейной) теории упругости. Тензоры дисторсии, вращения и деформации. Определение...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconЛекция Содержание
Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 68 Математика Программа обсуждена на заседании кафедры ит
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Определитель матрицы. Свойства определителя. Метод Крамера...
Вячеслав Николаевич метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей iconГоувпо «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» Факультет информационных систем и технологий
Исследование, нлу, методы решения нелинейных уравнений, метод Ньютона, метод касательных, метод хорд, метод половинного деления,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница