Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера




НазваниеМатематическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера
Дата17.10.2012
Размер26 Kb.
ТипДокументы
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ В КООРДИНАТАХ ЭЙЛЕРА

Р. Ю. Ананьев, Е. Б. Кузнецов

Московский государственный технический университет (МАИ), Москва, Россия

В настоящей работе рассматривается вопрос об использовании координат Эйлера при численном решении задач нелинейного деформирования. При численном решении статических задач сильного нелинейного деформирования с использованием метода продолжения решения по параметру предлагается применять не вмороженные координаты Лагранжа, а пространственные координаты Эйлера. В качестве примера рассмотрена одномерная задача.

При описании конечных деформаций в механике деформируемого твердого тела используют обычно координаты Лагранжа [1]. Конечной целью описания этих деформаций является, как правило, определение напряженно-деформированного состояния точек тела, для которого задаются первоначальная форма, условия закрепления и нагрузка, также требуется определить и форму участков, ограничивающих тело, перемещения которых явным образом не заданы. Обычно для решения этой проблемы используются криволинейные координаты Лагранжа, что при больших деформациях приводит к громоздким выражениям для тензоров напряжений и деформаций. Кроме того, при численном решении конечно-элементная сетка, построенная в координатах Лагранжа, может сильно искажаться. Поэтому использование координат Эйлера, например, в гидромеханике обусловлено тем, что искомыми величинами в ней являются не перемещения частиц, а их скорости.

Этот подход характерен тем, что в каждый момент продолжения решения требуется определить поле производных от неизвестных величин по параметру, которое можно понимать, как поле скоростей этих величин в координатах Эйлера, не изменяющихся в процессе продолжения решения.

Постановка задачи. Уравнения равновесия тела, отнесенные к криволинейным координатам Эйлера (), в случае отсутствия внешних массовых и поверхностных моментов взаимодействия будут иметь вид [4], [5]



Здесь – плотность тела, – компоненты вектора массовых сил, – контравариантные компоненты тензора напряжений, – символы ковариантного дифференцирования.

Если в системе криволинейных координат заданы ковариантные компоненты вектора u перемещения точек тела при деформировании, то составляющие тензора конечной деформации в координатах Эйлера будут вычисляться по формулам [6], [7] где символы ковариантного дифференцирования определены соотношениями , – символы Кристофеля второго рода, вычисляемые через компоненты метрического тензора g.

Одномерная задача в нелинейном случае. Уравнения равновесия и выражения для компонентов тензора конечной деформации, записанные в ортогональной декартовой системе координат Эйлера (), имеют вид

, .

Граничные условия для стержня, один конец которого закреплен, а другой нагружен усилием можно задать в виде , где , – координата незакрепленного конца стержня.

Для случая существует точное решение этой нелинейной задачи, которое и будет сравниваться с численным.

Вывод. Исследование полученного численного решения показало, что использование переменных Эйлера при больших перемещениях и конечных деформациях является эффективным. Введение параметра позволяет упростить применение конечно-разностного метода в статических задачах механики деформируемого твердого тела.

литература

1. Новожилов В.В. Теория упругости. – Л.: Судпромгиз, 1958. – 370 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т1. – М.: Наука, 1970. – 492 c.

3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 247 с.

4. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. – М.: Наука, 1969. – 336 c.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 c.

Похожие:

Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconПрограмма наименование дисциплины Экономико-математическое моделирование в инфокоммуникациях
Магистерская специализация «Математическое моделирование оптических наноструктур»
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconМатематическое моделирование воздействия детонации на тонкостенные конструкции
Ключевые слова: математическое моделирование, взрывное нагружение, упругопластическая среда
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconМатематическое моделирование воздействия детонации на тонкостенные конструкции
Ключевые слова: математическое моделирование, численные методы, взрывное нагружение, упругопластическая среда
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconМатематическое моделирование гемодинамики
Специальность 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconУчебно-методический комплекс экономико-математическое моделирование для специальности: 080105 «Финансы и кредит»
Темы итоговых письменных контрольных работ по курсу "Экономико-математическое моделирование". 21
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconРабочая программа дисциплины «Математическое моделирование»
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам, утвержденной приказом Министерства...
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconПрограмма составлена в соответствии с учебным планом специальности 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
Целью дисциплины является изучение теории нелинейного программирования (НП) и численных методов решения задач нп, которые находят...
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconОрдена ленина
Численное моделирование лазерных неустойчивых резонаторов с зеркалами произвольной формы в неортогональных координатах
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconIi международную научно-практическую конференцию
Секция 11 Математическое моделирование. Применение математических и инструментальных методов для решения прикладных задач
Математическое моделирование задач нелинейного деформирования в координатах эйлера iconМатематическое моделирование биологических процессов
Цель дисциплины «Математическое моделирование биологических процессов» изучение методов, применяемых при математическом моделировании...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница