Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»




Скачать 198.7 Kb.
НазваниеРабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Дата14.10.2012
Размер198.7 Kb.
ТипРабочая программа


Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Уральский государственный горный университет»

УТВЕРЖДАЮ Председатель Методической комиссии

Института геологии и геофизики

__________________ Тагильцев С. Н.

«_____» _______________ 2008 г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ОПД.Ф.08 – Дискретная математика

Закреплена за кафедрой: математики.

Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)».

Часов по РУП: общая 180 ч., обязат.ауд. зан.108 ч., самостоятельная работа студентов – 72 ч.

Виды контроля в семестрах: экзамен в 4 семестре, 3 контрольные работы.

Программу составил:

Климов Валерий Николаевич, доцент кафедры математики.

Рабочая программа дисциплины ОПД.Ф.08 – Дискретная математика составлена на основании:

а) государственного образовательного стандарта ВПО направления подготовки дипломированных специалистов 230400 (657100) – «Прикладная математика» (рег. номер 322 тех/дс) (утверждена 05.04.2000 г.) ;

б) учебного плана специальности 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)» (утверждена 20.10.2000 г.).

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры математики.

Протокол № 21 от 26 сентября 2007 г.


Зав. кафедрой ________________ проф. Сурнев В. Б.



  1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ


Овладение фундаментальными понятиями и методами дискретной математики для последующего их использования в исследованиях по математике, информатике и теории управления.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ


Студент должен иметь представление:

- о типах логических исчислений;

- о полноте, разрешимости, адекватности логических систем;

- о булевых функциях, высказываниях, предикатах, логических формулах, тавтологиях;

- об отношениях между формулами - логической эквивалентности и логическом следовании;

- о методе резолюций в исчислении предикатов;

- о различных типах графов и способах их задания;

- о различных типах связности в графе;

- о гамильтоновых маршрутах и полумаршрутах в графе;

- о хроматических задачах теории графов;

- об «укладке» графа на плоскости;

- о применениях теории графов в прикладных науках;

- об основных задачах теории перечислений;

- о методах подсчета числа комбинаций, составленных из k элементов n-элементного множества («правило произведений»), метод производящих функций, наход «включения и исключения»);

- о приемах генерации комбинаций;

- о назначении теории алгоритмов, о задачах алгоритмически разрешенных и неразрешенных;

- об алгоритмах эффективных и неэффективных.


Студент должен знать и уметь:

- язык исчисления предикатов и исчисления высказываний;

- логические аксиомы и правила алгебраического вывода логических формул;

- алгоритмы синтаксического приведения логических формул к нормальным формам: коньюктивной, дизъюнктивной, пренексной;

- общие свойства графов – критерии планарности, связности, двусвязности, сильной связности;

- свойства графов, являющихся «деревьями»;

- свойства фрагментов графа: подграфов, маршрутов, полумаршрутов, целей, путей, циклов, контуров, клик, доль;

- простейшие типы комбинаторных конфигураций: выборки, размещения перестановки, сочетания;

- формулы для нахождения числа комбинаций этих типов;

- основное рекуррентное соотношение для сочетаний, свойства сочетаний, связь с формулой бинома Ньютона;

- полиномиальную формулу и комбинаторный смысл полиномиальных коэффициентов;

- интуитивное определение алгоритма и точное определение его с помощью машины Тьюринга;

- записывать высказывания и предикаты в виде логических формул;

- проверять истинность или ложность формул при тех или иных значениях неизвестных;

- использовать критерии тождественной истинности, логической эквивалентности, логического следования формул исчисления высказываний в терминах нормальных форм;

- находить разложения конкретных графов на максимальные подграфы – связные, двусвязные и сильно связные;

- находить в графе мосты, точки сочленения, остовные деревья, кратчайшие остовные деревья, фундаментальные системы циклов;

- применять простейшие формулы, подсчитывающие число комбинаций, для нахождения числа комбинаций более сложных типов;

- делать оценку сложности применяемых алгоритмов как сложности полиномиальной или экспотенциальной.


Студент должен иметь навыки:

- упрощения логических формул;

- исследования логических формул на тождественную истинность, логическое следование и логическую эквивалентность методами синтаксическим и семантическим;

- анализа графрв на связность, двусвязность и сильную связность;

- исследования структуры произвольного заданного графа в терминах отношений связности;

- нахождения комбинаторных чисел для использования их при оценке сложности вычислительных алгоритмов.



  1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (тематический план)


4 семестр


Тема

Часы

лекции

пр.зан.

всего

1. Логические исчисления.

22

20

42

2. Теория графов.

20

14

34

3. Элементы комбинаторики.

10

6

16

4. Элементы теории алгоритмов.

8

2

10

Всего:

60

42

102






НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА И ТЕМЫ

Обязат.

ауд.

занятий

ч.



ЛИТЕРАТУРА

(страницы)


ЛЕКЦИИ







Логические исчисления

22 ч.




  1. Язык исчисления высказываний (алфавит и формулы). Булевые функции и их ,,реализация” формулами. Логические законы. Отношения следования и эквивалентности формул. Синтаксис и семантика.,,Предметный” язык и метаязык.

4 ч.

[1] с.108,

101 – 104, 79 -82, 88 -89

  1. Понятие формальной логической теории. Формальная система гильбертовского типа и формальная система алгебраическая. Аксиомы, правила вывода, теоремы, метатеоремы алгебры высказываний.

2 ч.

[1] с.105 – 106, 108;

[3] с. 59 – 61,

[2] с.179

  1. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Приёмы упрощения нормальных форм. Совершенные нормальные формы. Алгоритм приведения формулы исчисления высказываний к нормальной форме (к совершенной нормальной форме).

4 ч.

[1] с. 88 -93;

[3] с. 61 -62

  1. Синтаксические критерии тождественной истинности, логического следования и логической эквивалентности формул исчисления высказываний. Разрешимость, полнота и адекватность алгебры высказываний. Применение нормальных форм в теории контактных схем.

2 ч.

[1] с. 92 -93;

[3] с. 63;

[6] с. 21 - 22

  1. Язык исчисления предикатов. Термы и формулы. Свободные и связанные переменные. Свободные подстановки термов. Общезначимые формулы исчисления предикатов.

4 ч.

[1] с. 118 – 122;

[3] с. 80 – 81,

228 – 229

  1. Алгебра предикатов: система аксиом, правила вывода, формальные теоремы. Полнота и неразрешимость исчисления предикатов.

4 ч.

[2] с. 226 – 228;

[1] с. 122 – 123;

[3] с.24

  1. Понятие о методе резолюций в исчислении предикатов. (2 часа;[1] с. 130 -133)

2 ч.

[2] с. 226 – 228;

[1] с. 122 – 123;

[3] с.24

Теория графов

20 ч.




  1. Графы обыкновенные, графы с кратными ребрами, ориентированные графы, помеченные графы, сети. Отношения между вершинами и ребрами, маршруты и полумаршруты, цепи и циклы, пути и контуры. Подграфы и частичные подграфы. Задание графов матрицами и списками.

4 ч.

[1] c. 191 – 196, 201 – 203;

[2] с. 108 – 114, 119 - 120

  1. Связные графы, их строение. Разложение произвольного графа на связные компоненты. Алгоритм обхода графа в глубину для нахождения связных компонент

2 ч.

[2] с. 120 – 121;

[4] с. 12, 88 - 90

  1. Двусвязные графы, их строение. Разложение произвольного графа на двусвязные компоненты (блоки). Мосты и точки сочленения.

3 ч.

[1] с. 211 – 214;

[4] с. 101 - 105

  1. Сильно связные графы; их строение. Разложение произвольного орграфа на сильно связные компоненты и соединяющие их дуги.

2 ч.

[1] с. 226 – 228

  1. Деревья. Несколько равносильных определений дерева. Ориентированные деревья. Остовные деревья в графах и их приложения: нахождение множества кратчайших маршрутов; алгоритм Краскала для построения сети наименьшей стоимости; нахождение фундаментальной системы циклов в электрических цепях.

4 ч.

[1] с. 234 – 240, 255 – 258,

260 – 261;

[4] с. 98 – 101

  1. Цикломатическое число и его связь с максимальными деревьями в графе. Графы, не имеющие циклов.

2 ч.

[1] с. 234;

[2] с. 135 - 136

  1. Планарные графы. Теорема Понтрягина – Куратовского. Задача о нахождении правильной раскраски графа.,,Проблема 4х красок’’. Хроматическое число и его оценка.,,Двухцветные” графы.

3 ч.

[1] с. 197 – 198, 283 – 284;

[2] с. 153 - 156

Элементы комбинаторики

10 ч.




  1. Простейшие комбинаторные конфигурации: выборки, размещения, перестановки, сочетания. Сочетания с повторениями.

2 ч.

[1] с. 134 – 139;

[2] с. 159 - 163

  1. Бином Ньютона. Основное рекуррентное соотношение для сочетаний; треугольник Паскаля.

2 ч.

[1] с. 144-147

  1. Полиномиальная формула. Комбинаторный смысл полиномиальных коэффициентов.

2 ч.

по лекциям

  1. Краткий обзор методов получения комбинаторных формул – метод производящих функций, метод включения и исключения, метод обращения.

2 ч.

[1] c. 151 – 157

Элементы теории алгоритмов. (8 часов)







  1. Интуитивное определение алгоритма. Примеры алгоритмов. Точное определение алгоритма с помощью машины Тьюринга.

3 ч.

[5] с. 38 – 43;[4] с. 144 – 149, 155 – 158, 168 – 169, 175 - 176)

  1. Задачи, алгоритмически разрешимые и неразрешимые. Примеры алгоритмически неразрешимых задач.

2 ч.

[5] с. 25 – 26;

[4] с. 176 – 178, 207 – 208,

214 – 215;

[1] с. 108)

  1. Оценка эффективности алгоритмов. Алгоритмы полиноминальной сложности и экспотенциальной сложности. Задачи NP – полные и NP – трудные.

3 ч.

[5] с. 25 – 26;

[4] с. 176 – 178, 207 – 208,

214 – 215;

[1] с. 108




  1. ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

4.1. Практические занятия

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Часы

Литература

1. Логическое исчисление

20 ч.




  1. Семантический анализ формул исчисления высказываний: проверка истинности, логического следования, логической эквивалентности формул.

2 ч.

[2] с. 173 – 175, 216 – 217,

[1] с. 82 - 83

  1. Представление булевых функций в виде формул исчисления высказываний.

2 ч.

[1] c.88 – 89

  1. Нормальные формы: приёмы их упрощения.

2 ч.

[3] с. 61 -62

  1. Приведение формулы исчисления высказываний к дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме; приведение к совершенной нормальной форме.

2 ч.

[1] с. 92 – 93

  1. Синтаксическая проверка тождественной истинности, логического следования, логической эквивалентности формул исчисления высказываний.

4 ч.

[1] с. 92 – 93

  1. Применение нормальных форм для упрощения контактных схем.

2 ч.

[6] с. 21 – 22

  1. Запись предикатов логическими формулами. Нахождение истинностных значений предиката, заданного формулой.

2 ч.

[3] c. 82 – 83, 87; [2] с. 224 – 225

  1. Анализ конкретных предикатов на тождественную истинность.

2 ч.

[3] c. 84 -86;

[1] c. 133

  1. Приведение формулы исчисления предикатов к пренексной нормальной форме.

2 ч.

[2] с. 228 – 229

2. Теория графов

14 ч.




  1. Исследование графа на связность и нахождение его связных компонент. (2 час;[4] с. 88 – 90)

2 ч.

[4] с. 88 – 90

  1. Исследование графа на двусвязность, нахождение его блоков, мостов и точек сочленения.

2 ч.

[1] с. 211 – 12,

[4] с. 101 – 105

  1. Исследование графа на сильную связность; нахождение его сильно связных компонент.




[1] с. 226 – 228

  1. Полное исследование графа на все виды связности.

2 ч.

[1] c. 211 – 212,

226 – 228;

[4] с. 88 -90

  1. Отыскание в графе остовных деревьев, входящих и выходящих деревьев, гамильтоновых маршрутов, максимальных клик и доль.

2 ч.

[1] с. 256,238,

266 – 267,197,

[2] с. 133 – 135,

[4] с. 94 – 96, 109,118

  1. Нахождение кратчайших остовных деревьев графа с помощью алгоритма Краскала. Нахождение фундаментальной системы циклов связного графа.

2 ч.

[1] с. 255 – 258,

[4] с. 98 -101

  1. Примеры исследования графов на планарность.

2 ч.

[1] с. 255 – 258,

[4] с. 98 -101

3. Элементы комбинаторики и теории алгоритмов.

8 ч.




  1. Подсчёт числа простейших комбинаций, отображений, способов раскладки предметов по ячейкам.

2 ч.

[1] с. 134 – 139

  1. Применение простых комбинаторных формул для подсчёта числа комбинаций иных типов.

2 ч.

[1] с. 138,

[2] с. 163 – 164, 170

  1. Некоторые приёмы генераций комбинаций.

2 ч.

[1] с. 142 – 143, 147 – 148

  1. Примеры оценки сложности алгоритмов.

2 ч.

[1] с. 89 – 90,

100 – 101, 94 – 95


РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ


  1. Формальный язык L0 исчисления высказываний; логическая интерпретация его букв, символов и формул. Понятие о метаязыке исчисления высказываний.




[1], с. 108,

101-104

  1. Реализация булевых функций формулами исчисления высказываний. Понятие о синтаксисе и семантике.




[1], с. 108,

101-104

  1. Отношения логического следования и логической эквивалентности формул. Фиктивные переменные.




[1], с. 103,

[2] с. 178 - 179

  1. Понятие о формальной теории. Система аксиом алгебры высказываний




[1], с. 103,

[2] с. 178 - 179

  1. Вывод формул в алгебре высказываний. ,,Полнота’’ и ,,адекватность” алгебры высказываний.




[1], с. 103,

[2] с. 178 - 179

  1. Формальная теорема в алгебре высказываний. Вывод формул с помощью тавтологий.




[1] с. 106,

[3] с. 59 – 61

  1. Нормальные формы в исчислении высказываний (определения) и приёмы их упрощения.




[1] с. 89,

[3] с. 61 -62

  1. Лемма о ,,протаскивании” отрицаний в формулах исчисления высказываний.




[1] c. 93

  1. Теорема о приведении формулы исчисления высказываний к нормальной форме (с описанием алгоритма).




[1] с. 92 -93

  1. Критерии (истинности, ложности, выполнимости, логического следования, логической эквивалентности формул алгебры высказываний) через нормальные формы.




[1] c. 93,[3] с. 63

  1. Понятия предиката и терма. Запись термов на языке .




[3] с. 80 -81,

228 - 229

  1. Формальный язык и формулы исчисления предикатов; их логический смысл.




[3] с. 80 -81,

228 - 229

  1. Понятие тождественно истинной формулы исчисления предикатов. Свободные подстановки термов в формулу. Понятие о логической и синтаксической эквивалентности, формул исчисления предикатов.




[1] с. 122,

[2] с. 224 - 226

  1. Система аксиом алгебры предикатов.




[1] с. 122,

[2] с. 224 - 226

  1. Правила вывода в алгебре предикатов. Полнота и адекватность.




[2] с. 226,228,

[1] с. 122,

[3] с. 224

  1. Формальная теорема в алгебре предикатов. Сокращённый вывод формул с помощью тавтологий.




[1] с. 106,

[3] с. 59 - 61

  1. Приведение формул исчисления предикатов к пренексной нормальной форме.




[2] с. 227 – 228

  1. Определение графа. Важнейшие типы графов (орграфы и неорграфы; графы с кратными рёбрами, петлями; сети, помеченные графы). Роль обыкновенных графов в общей теории графов.




[1] с. 191, 192, 199, 220 – 221;

[2] с. 108 – 110, 113

  1. Отношения между (соседними) вершинами и рёбрами графа. Маршруты и полумаршруты, пути и цепи, контуры и циклы, простые цепи и циклы.




[1] с. 191,

195 – 196;

[2] с. 119 - 120

  1. Подграфы и частичные подграфы. Остовные подграфы и остовы, клики и доли. Другие примеры подграфов.




[1] с. 194, 197;

[2] с. 114;

[4] с. 118

  1. Связные орграфы и неорграфы (с примерами). Теорема о разложении произвольного графа на связные компоненты.




[2] c. 120 – 21;

[4] с. 12, 88 – 90

  1. Понятие двусвязного графа. Мосты и точки сочленения. Гамильтоновы графы. Сравнение двусвязности, связности и сильной связности (с примерами).




[1] с. 211 – 14,

[4] с. 101 - 105

  1. Теорема о строении двусвязного графа.




[1] с. 217, 215

  1. Теорема о разложении графа на блоки.




[4] с. 101 – 105

  1. Сильно связные графы (с примерами). Теоремы о строении сильно связного орграфа и о разложении графов на сильно связные компоненты.




[4] с. 101 – 105

  1. Конструктивное определение дерева. Сформулировать ещё пять равносильных определений дерева ( в частности, конечного дерева). ([1] с. 234 – 237)




[1] с. 234 – 237

  1. Ориентированное дерево. Сформулировать равносильные определения входящего (выходящего) дерева. Терминология, связанная с ориентированными деревьями.




[1] с. 238 – 240

  1. Понятие остовного дерева. Теорема о существовании остовного дерева и теорем о максимальных деревьях графа.




[1] с. 256,

[2] с. 135

  1. Три прикладных задачи, решаемые с помощью остовных деревьев.




[1] c. 226 –28;

[4] с. 98 – 101

  1. Планарные графы. Примеры планарных и непланарных графов. Теорема Куратовского – Понтрягина (без доказательства, но с примером).




[2] с. 154 – 155;

[1] с. 197,284

  1. Задача о ,,правильной’’ раскраске графа. Задача четырёх красок. Хроматическое число и n – цветные графы. Строение двуцветных графов.




[2] с. 153 – 154

  1. Основные задачи теории перечисления. Понятие выборки. Задача о нахождении числа выборок.




[1] с. 135 – 136,

[2] с.163

  1. Понятия размещения и перестановки. Задача о числе всех размещений и числе всех перестановок конечного множества.




[1] с. 136 -137,

[2] с. 159, 162

  1. Понятие сочетания. Задача об определении числа всех сочетаний.




[1] с. 137 – 38,

[2] с. 162 – 163

  1. Формула бинома Ньютона и способы нахождения биноминальных коэффициентов.




[1] с. 145 - 147

  1. Полиномиальная формула. Комбинаторный смысл полиномиальных коэффициентов.




По лекциям

  1. Интуитивное определение алгоритма. Требования, предъявляемые к алгоритмам.




[4] с. 144 – 149

  1. Точное определение алгоритма с помощью машины Тьюринга.




[4] с. 155 – 158, 168 – 169,

175 – 176;

[5] с. 38 – 43

  1. Задачи алгоритмически разрешимые и неразрешимые. Примеры алгоритмически неразрешимых задач.




[5] с. 25 – 26,

[4] с. 176 – 178, 207 – 208,

214 – 215,

[1] с. 108


  1. Оценка эффективности алгоритмов. Алгоритмы полиномиальной сложности и экспотенциальной сложности.




[5] с. 16 – 28,

31 - 34

  1. Задачи NP – полные и NP – трудные.




[5] с. 51 – 57



5. УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Рекомендуемая литература

5.1.1. Основная литература

[1] Ф.А. Новиков. Дискретная математика. Санкт – Петербург,2001.

5.1.2. Дополнительная литература

[2] С.В.Судоплатов, Е.В.Овчинникова. Элементы дискретной математики. Москва – Новосибирск, НГТУ, 2002.

[3] О.П.Кузнецов, Г.М.Адельсон – Вельский. Дискретная математика для инженера. Москва, Энергоатомиздат,1988.

[4] В.Липский. Комбинаторика для программистов. «Мир»,1988.

[5] М.Гэри, Д.Джонсон. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. Москва, ,,Мир”,1982.

[6] В.П.Некрасов. Основы дискретной математики. Екатеринбург, УГГГА,2003.


5.2. Средства обеспечения освоения дисциплины

Учебно-методический комплекс, содержащий учебное пособие, в состав которого включены:

  1. теоретический материал,

  2. примеры решения типовых задач,

  3. задачи для самостоятельного решения.



  1. МАТЕРИАЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Компьютерный класс кафедры.


Похожие:

Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины опд. Ф. 06 Теория функций комплексного переменного Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины опд. Ф. 09 Теория вероятностей и математическая статистика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины опд. Ф. 07 Функциональный анализ Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины опд. В. 01. 01. Основы геодинамики закреплена за кафедрой математики Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины дс. 02 Некорректные и обратные задачи, методы их решения и приложения Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины сд. Ф. 08 Теория игр и исследования операций Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401 (073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401 (073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины ен. Р. 01 “основы общей геофизики ” Закреплена за кафедрой математики Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины ен. Ф. 01. 01 Алгебра и аналитическая геометрия. Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины сд. Ф. 06 Теория управления Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401 (073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401 (073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 08 Дискретная математика Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)» iconРабочая программа дисциплины ен. Ф. 01. 02 Математический анализ Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) – «Прикладная математика (ПМ)»
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница