Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями;




НазваниеСборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями;
страница1/7
Дата06.05.2013
Размер1.94 Mb.
ТипСборник задач
  1   2   3   4   5   6   7


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ


ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»


СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


для студентов дневного отделения

физико-математического факультета

специальность «Прикладная информатика»


Воронеж 2008

УДК 519.2 (076.1)


Составитель:


кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко


Сборник задач по теории вероятностей для студентов дневного отделения физико-математического факультета специальность «Прикладная информатика» / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2008. – 75 с.


Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; элементы комбинаторики и вычисление вероятностей; условная вероятность; схема Бернулли.

Предназначен для студентов 2 курса специальности «Прикладная информатика» дневного отделения физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.


© Гордиенко Н.А., составление, 2008


Содержание

Предисловие 3

Избранные задачи теории вероятностей

Глава 1. Случайное событие и операции над ними

§1. Случайное событие 6

§2. Множество элементарных событий 11

§3. Операции над событиями 12

Глава 2. Наука о подсчете числа комбинаций – комбинаторика

§1. Общие правила комбинаторики 20

§2. Выборки элементов 21

§3. Выборки с повторениями 25

Глава 3. Вероятность события 31

Глава 4. Операции над вероятностями

§1. Вероятность суммы несовместных событий 46

§2. Вероятность суммы совместных событий 49

§3. Условные вероятности 51

§4. Вероятность произведения независимых событий 53

§5. Формула полной вероятности 54

Глава 5. Независимые повторные испытания

§1. Формула Я. Бернулли 58

§2. Формула Муавра–Лапласа 65

§3. Формула Пуассона 67

§4. Формула Лапласа 69

Возникновение и развитие теории вероятностей как науки 73

Литература 77


Предисловие


В книге «Госпожа удача» У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики все еще не стал общепринятым среди деятелей образования. Надо надеяться, что элементы теории вероятностей, насколько возможно, будут представлены в среднем образовании...»

С тех пор как были написаны эти строки, широко развернулась реформа математического образования; того, чего желал У. Уивер, мы отчасти достигли – сейчас вероятность изучают в средних школах многих стран, и вопрос о том, когда она войдет составной частью в школьные программы всех стран, есть не более чем вопрос времени.

В вузах курс теории вероятностей читается в основном на старших курсах. Именно этим объясняется потребность в составлении сборника задач по теории вероятностей для студентов младших курсов.

Основная часть, которая носит название «Избранные задачи теории вероятностей» состоит из пяти глав.

Первая глава «Случайные события и операции над ними» состоит из трех параграфов. Основная цель раздела – дать первоначальные понятия, необходимые в дальнейшем при решении вероятностных задач, и научиться их различать. С этой целью в первом параграфе «Случайное событие» на основании разобранных примеров вводится понятие случайного события, а также двух частных видов событий: достоверного и невозможного; приводится 42 примера, как на определение вида события, так и на словесную оценку события («маловероятно», «нулевая вероятность», «стопроцентная вероятность»). Во втором параграфе «Множество элементарных событий» вводится на конкретных примерах понятия множества и подмножества элементарных событий. В третьем параграфе «Операции над событиями» подробно представлены следующие операции: сложение, умножение, вычитание. Они рассматриваются сначала для частных случаев, затем в общем виде и графически (в виде круговых диаграмм); решается 15 разнотипных задач.

Во второй главе «Наука о подсчете числа комбинаций – комбинаторика» изучаются вопросы о том, сколько различных выборок, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Данная глава включена в настоящий сборник потому, что иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, т.к. методы комбинаторики существенно помогают при решении задач теории вероятностей осуществлять подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях. Данный раздел, в свою очередь, состоит из трех параграфов. В первом параграфе «Общие правила комбинаторики» вводятся правила суммы и произведения. Во втором параграфе «Выборки элементов» рассматриваются выборки без повторений, а именно перестановки, размещения и сочетания; решается 10 задач. В третьем параграфе «Выборки с повторениями» даются определения размещений, сочетаний и перестановок с повторениями; приводится 7 задач с решениями на данную тему.

Третья глава «Вероятность события» – это фактически основа курса. В ней даются определения классической и геометрической вероятностей; решаются 58 разнотипных задач; рассматриваются вероятности достоверного и невозможного событий.

Четвертая глава «Операции над вероятностями» состоит из пяти параграфов. В первом – «Вероятность суммы несовместных событий» – дается формула и правило нахождения суммы вероятностей, а также геометрическая интерпретация формулы; приводится с решениями 6 задач. Второй параграф – «Вероятность суммы совместных событий» – имеет ту же структуру.

Пятая глава «Независимые повторные испытания» состоит из 4 параграфов. В первом параграфе «Формула Я. Бернулли» рассматривается следующая проблема: «Как определить вероятность того, что при n повторных испытаниях событие произойдет ровно m раз»? Эту проблему решил ученый Я. Бернулли и вывел формулу, которая так и называется формула Я. Бернулли. На применение этой формулы решается 25 задач (приводятся задачи как на непосредственный подсчет вероятностей, так и обратные задачи на нахождение числа n). Во втором параграфе «Формула Муавра–Лапласа» рассматривается ситуация, когда вычисление вероятности с помощью формулы Я. Бернулли громоздко и затруднительно из-за больших значений n и m. Данную проблему решили математики А. Муавр и Лаплас. Они вывели формулу, которая так и называется формулой Муавра–Лапласа. На применение этой формулы приводится 9 задач. В третьем параграфе «Формула Пуассона» рассматривается ситуация, когда имеем дело с редко происходящими событиями, т.е. формула Муавра дает результаты, которые значительно отклоняются от результатов, полученных по формуле Я. Бернулли. Данной проблемой занимался Пуассон и вывел формулу для нахождения вероятности в данном случае. На применение этой формулы приводится 3 задачи. В четвертом параграфе «Формула Лапласа» решается проблема определения вероятности того, что при n испытаниях событие А произойдет не менее a и не более b раз. Данную проблему решил Лаплас. Здесь приводится 5 задач.

В заключении описывается история возникновения и становления теории вероятностей как науки.


ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Глава 1. Случайные события и операции над ними


§ 1. Случайное событие


Часто приходится размышлять над такими терминами, как «вероятность», «случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда заменяются разными синонимами, но суть их не меняется. Оттенок они получили вполне определенный. Теперь договоримся, что как назвать.

Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться и цифра. То, что появился герб, – случайное событие.

Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или вообще не встретить знакомых.

То, что он встретил именно трех, — случайное событие.

В этих примерах случайные события — последствия определен­ных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).

На основании только что разобранных примеров можно составить следующую характеристику случайного события.

Случайным событием называется такой исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим два частных вида событий.

Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий экспери­мент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт прово­дить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это досто­верное событие.

Достоверным событием называется такое событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Произведено три выстрела по мишени. «Произошло пять попаданий» — невозможное событие.

Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе — не­возможное событие.

Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится сло­во «анахронизм» — невозможное событие.

Невозможным событием называется такое событие, которое за­ведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий.

Случайные события принято обозначать большими буквами ла­тинского алфавита A, В, С с индексами или без них1. Достоверное событие будем обозначать U, невозможное — V.


Задачи


Задача 1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.

Решение.

1) Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся ро­дились 30 января – случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).

2) Второе событие – невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Случайным образом открывается учебник литературы и нахо­дится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы «К»; 2) с буквы «Ь».

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может как произой­ти, так и не произойти в описанных условиях.

2) Второе событие – невозможное, так как в русском языке нет слов, начинающихся с буквы «ь».

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 3. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из списка журнала VIII класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может, как произойти, так и не произойти (если выбрана девочка) в описанных условиях.

2) Второе событие – тоже случайное, так как в классе могут не только дети – одногодки, но и дети, родившиеся на год раньше или на год позже нормы (7 лет при поступлении в школу плюс 7 лет учебы).

3) Третье событие невозможное, так как 14-месячьный ребенок физически не может учиться в VIII классе.

4) Четвертое событие – достоверное, так как каждый ученик класса, безусловно, старше двух лет.

Ответ: 1) случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное.

Задача 4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипела при t = 80°С; 2) когда температура упала до –5° С, вода в луже замерзла.

Решение.

1) В описанных условиях (вода чистая, атмосферное давление нормальное) это событие невозможное, так как температура кипения воды при нормальном давлении равна 100° С. При 80° С вода могла бы закипеть на вершине горы высотой 7000 метров (в районе Сочи таких гор нет). При нормальном давлении и температуре 80° С может закипеть бензин.

2) В описанных условиях это событие невозможное, так как температура плавления воды при нормальном давлении равна 0° С, то есть вода замерзает при 0° С. Снижение этой температуры для воды имеет место при повышении давления.

Ответ: 1) невозможное; 2) невозможное.

Задача 5. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Решение.

Описанное событие – достоверное, так как необходимым условием образования треугольника является то, что длина каждой его стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. Поскольку треугольник существовал, то обязательно выполнялось это условие.

Ответ: достоверное.

Задача 6. Для каждого из описанных событий определите каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков ровна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.

Решение.

1) Это событие случайное, так как может произойти или не произойти в описанных условиях.

2) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не менее 1 очка, следовательно, сумма выпавших очков не может быть меньше 2.

3) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не более 6 очков, следовательно, сумма выпавших очков не может быть больше 12.

4) Событие случайное (может произойти, может не произойти).

5) Событие достоверное, так как сумма выпавших очков при всех возможных исходах не может быть больше 12, то есть она все­гда меньше 15.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное; 5) достоверное.

Задача 7. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:

а) день рождение моего друга – число, меньше чем 32;

б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

в) на уроке математики ученики решали математические задачи;

г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2007 году;

д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2007 году;

е) из интервала (1;2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;

з) вверх подкинули монету и она упала на землю «орлом»;

и) вверх подкинули монету и она упала на землю, встав на ребро.

Решение.

а) Достоверное событие, стопроцентная вероятность (в каждом месяце меньше 32 дней).

б) Случайное событие, маловероятно, если в школе нет обязательных физкультурных пауз на уроках.

в) Достоверное событие, стопроцентная вероятность, если это действительно был урок математики, а не какое-либо мероприятие в это время.

г) Случайное событие, маловероятно.

д) Случайное событие, достаточно вероятно.

e) Невозможное событие, нулевая вероятность: в интервале (1; 2) нет натуральных чисел.

ж) Случайное событие, достаточно вероятно (кроме смешанных, рациональных чисел, отрезок содержит также иррациональные числа, например и т. п.).

з) Случайное событие, достаточно вероятно.

и) Случайное событие, маловероятно. Отметим, что, рассматривая эксперимент с бросанием монеты, полагают, что он имеет только два возможных исхода: орел или решка. Физически возможна и остановка монеты на ребре, но в таких (очень редких) случаях обычно считают, что эксперимент не состоялся.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) достоверное; г) слу­чайное; д) случайное; е) невозможное; ж) случайное; з) случайное; и) случайное;

Задача 8. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква;

б) в написании выбранного слова есть буква «о»;

в) в написании выбранного слова нет гласных букв;

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Решение.

а) Событие достоверное, так как в русском языке нет существи­тельных, состоящих только из согласных букв.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное (см. пункт а).

г) Событие случайное.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) невозможное; г) слу­чайное.

Задача 9. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго – число с. Оказалось, что:

а) число а меньше числа с;

б) число а больше числа с;

в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10);

г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

Решение.

а) Событие достоверное, так как любое число из интервала (0; 1) меньше любого числа из интервала (5; 10).

б) Событие невозможно (см. пункт а).

в) Событие случайное. Оно происходит, когда 5 < а + с < 10, и происходит, если это неравенство не выполняется. Легко видеть, что все возможные значения суммы а + с принадлежат интервалу (5; 10).

г) Событие случайное. Оно происходит, когда 10 < а + с < 11 (см. пункт в).

Ответ: а) достоверное; б) невозможное; в) случайное; г) случайное.

Задача 10. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

Решение.

а) Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре синих вынуть нельзя.

б) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.

в) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.

г) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.

Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

Задача 11. В двух урнах находятся по пять шаров пяти разных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из урны одновременно вынимают по одному шару. Охарактеризуйте указанное ниже событие как достоверное, случайное или невозможное:

а) вынуты шары разного цвета;

б) вынуты шары одного цвета;

в) вынуты черный и белый шары;

г) вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

Решение.

а) Событие случайное.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное, так как ни в одной из двух урн нет шаров черного цвета.

г) Событие достоверное, так как в каждой урне есть шары указанных цветов, и ни в одной из двух урн нет шаров других цветов.

Ответ: а) случайное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.


§ 2. Множество элементарных событий


Допустим, что при бросании игральной кости нас интересует появление определенного числа очков.

Выпадение конкретного числа очков i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) мы назовем элементарным событием и обозначим ei.

Осуществление одного элементарного события в качестве ре­зультата испытания, очевидно, исключает реализацию других.

Ясно, что при бросании игральной кости непременно произой­дет одно из элементарных событий:

e1, e2, e3, e4, e5, e6 .

Будем считать, что все эти элементарные события образуют множество элементарных событий Е; Е — достоверное событие (по определению).

Рассмотрим события:

1) А — «появление четного числа очков при бросании играль­ной кости». Этому событию благоприятствуют элемен­тарные события е2, e4, e6. Разумеется, множество этих событий является подмножеством E,

2) В — «появление числа очков не больше четырех». Этому событию благоприятствует подмножество множества элементарных событий Е:

e1, e2, e3, e4,

Таким образом, событие А может быть представлено подмножес­твом элементарных событий (е2, e4, e6), событие В—подмноже­ством элементарных событий (e1, e2, e3, e4).

Представляя события как подмножества множества элементар­ных событий, обозначим А (е2, e4, e6 ), В (e1, e2, e3, e4).

Бросаем монету. Событие Г — «появление герба» и событие Ц — «появление цифры» тоже образуют множество элементарных событий.

Если события A, В можно сравнить в смысле возможности их появления, то сравнение, например, событий А и Г смысла не имеет, потому что они представляются подмножествами разных множеств элементарных событий.


§ 3. Операции над событиями


Сложение


По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим события:

A0 — «попаданий нет»;

А1 — «одно попадание»;

A2 — «два попадания»;

A3 — «три попадания»;

A — «не больше трех попаданий».

Разумеется,

Вместе с тем событие A не содержит никаких других событий, кроме Aо, A1, A2, A3. Поэтому естественно событие A считать сум­мой событий Aо, A1, A2, A3.

Суммой событий A1, A2, A3,, Ап называется событие A, со­стоящее в появлении хотя бы одного из событий A1, A2, A3,, Ап (или А1 или A2, ..., или Ап, или нескольких из них, или всех).

Символически:

А = А1 + A2 + A3 + ... + Аn. (2.1)

Рассмотрим три события:

A — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

В — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

С — «появление не больше двух очков при бросании игральной

кости».

Нетрудно заметить, что событие С является следствием A или В, поэтому

С = A + В.

Ясно, что события A и В не могут произойти одновременно. Поэтому, представляя их разными секторами круга, получаем следующее графическое изображение события С = A + В (рис. 1). Приведем теперь графическое представление суммы событий: A — «появление больше чем 4 очка при бросании игральной кости»,

В — «появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков при бросании игральной кости»,

С — «появление больше чем 3 очка при бросании игральной кости».

Ясно, что С = А + В. Так как событию А соответствует «появ­ление или 5, или 6 очков», а событию В — «появление или 4, или 5 очков», то, изображая эти события разными полукругами, получа­ем иное представление события

Рис. 1.





Рис. 2.


С = А + В (рис. 2). То, что в рисун­ке суммы А + В одна четверть круга принадлежит и событию А и событию 5, не является случайностью: частью обоих этих событий является событие «появление 5 очков».

События А и В могут быть подмножествами одного и того же множества элементарных событий Е следующим образом: А (е5, е6), В (e4, e5)- Тогда сумма этих событий А + В представляется объединением этих подмножеств (е4, е5, е6). Вообще, если событие А представлено подмножеством A* множества элементарных собы­тий E, а событие В — подмножеством B* того же множества элемен­тарных событий, то сумма А + В будет представлена объединением A* В*.

Графическое представление суммы событий позволяет устано­вить следующие закономерности2:

1) А + В = В + А

2) (А + В) + С = А + (В + С). (2.2)


Задачи


Задача 12. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие А + В?

Решение.

Событие А+В состоит в попадании 2 выстрелов в мишень.

Ответ: попадание 2 выстрелами.

Задача 13. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

а) Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (собы­тие В).

б) «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие В)...».

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие А), больше 6 (событие В).

г) Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не более 6 раз (событие В).

Решение.

а) Учитель вызвал к доске ученика или ученицу ()

б) Царица родила сына или дочь ().

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (, то есть это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9).

г) Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз (, то есть число попаданий 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 раз).

Ответ: 4 сложных события, являющихся суммой двух несо­вместных событий.

Задача 14. Событие А – «лотерейный выигрыш 1 руб.»,

событие В – «лотерейный выигрыш 2 руб.»,

событие С – «лотерейный выигрыш 3 руб.»,

событие D – «лотерейный выигрыш 4 руб.».

В чем состоит событие A + B + C + D?

Решение.

По определению событие A + B + C + D – «по лотерее выиграно не больше 4 руб.».

Ответ: по лотерее выиграно не больше 4 руб.


Умножение


Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем со­бытия:

A — «выбранные числа кратны 2»,

В — «выбранные числа кратны 3»,

С — «выбранные числа кратны 6».

Событие С происходит, если одновременно происходят события A и В. Если одно из событий A или В не произойдет, то не про­изойдет и С. Принято такое событие С называть произведением событий A и В.

В общем случае произведение событий определяется так:

Произведением событий A1, A2, A3,, Ап называется событие А, состоящее в одновременном исполнении всех (и А1, и A2, и A3, . . ., и Аn) событий A1, A2, A3,, Ап.

Символически:

A = A1 A2 A3 Ап. (2.3)

Рассмотрим еще пример:

A — «входящий в подъезд человек — мужчина»,

В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,

С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий A и В, поэтому С = АВ.

Пусть события A и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий E так: A (е1, е2, е3), В(е2, e3, e4).

Тогда произведение АВ будет представлено пересечением этих подмножеств .





Рис. 3





Рис. 4


Вообще, если событие А представлено подмножеством А* мно­жества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством В* того же самого множества элементарных событий, то произве­дение А В будет представлено пересечением .

Изображая события А и В разными полукругами, получим сле­дующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 3).

Сравнивая события

А — «появление герба при первом бросании монеты»,

В — «появление цифры при первом бросании монеты», выяс­няем, что совместное осуществление этих событий невозможно.

Символически это записываем так:

АВ = V. (2.4)

Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 4.

Два события А и В, произведение которых невозможное собы­тие (АВ = V), называются несовместимыми событиями.

Произведение несовместимых событий представляется пустым множеством. Для таких событий А и В определение суммы событий формулируется так:

Суммой двух несовместимых событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В.

Разберемся в таких событиях:

А1 — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

A2 — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

A3 — «появление трех очков, при бросании игральной кости»,

А — «появление не больше трех очков при бросании играль­ной кости».

Имеют место следующие зависимости:

1) А = А1 + А2 + А3; 2) А1А2 = V; А1А3 = V; А2А3 = V.

Если события A1, A2, A3 и А удовлетворяют условиям (1) и (2), то событие А составлено из событий A1, A2, А3.

Рассмотрим следующие пары событий:







Естественно, события в каждой из пар считать противополож­ными. Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих пар событий:

1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:

A1 + A2=U,

B1 + B2=U,

С1 + С2= U.

2. Произведение событий каждой пары — невозможное собы­тие:

A1 A2=V,

В1 В2 = V,

С1 С2 = V.

Теперь можно ввести определение:

Если сумма событий А и В достоверное событие, а произве­дение невозможное событие, события А и В называются противо­положными.

Если А и В — противоположные события, то символически за­писываем это так:

, или

Тогда , а .


Задачи


  1. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие АВ?

Решение.

Событие АВ, по определению, состоит в попадании первыми 2 выстрелами по мишени.

Ответ: попадание первыми 2 выстрелами.

  1. Событие А1 «появление четного числа очков при бросании игральной кости»,

событие А2 – «появление 2 очков при бросании игральной кости»,

событие А3 – «появление 4 очков при бросании игральной кости»,

событие А4 – «появление 6 очков при бросании игральной кости».

Докажите:

1) ;

2) А2А3 = V;

3) .

Решение.

1) – «появление не 6 очков при бросании игральной кости», т.е. появление 1, 2, 3, 4 и 5 очков, следовательно, – «появление четного числа очков, но не 6», а значит – 2 или 4 очков. (по определению) – «появление 2 или 4 очков», что и требовалось доказать.

2) При бросании кости, она падает на одну грань, а значит не может одновременно выпасть 2 и 4 очка, следовательно, А2А3 невозможное событие.

3) – «появление не 2 очков», – «появление не 4 очков», а (по определению)– «появление четного числа очков, но не 2 и 4, т.е. 6 очков», но это есть событие .


Вычитание


А –– «наугад остановленный мужчина –– брюнет»,

В — «наугад остановленный мужчина — высокого роста»,

С — «наугад остановленный мужчина — невысокий брюнет».

Нетрудно заметить, что со­бытие С означает то, что про­изошло А, но не произошло В. Принято такое событие С считать разностью событий А и В.

Вообще, разностью событий А и В называется событие С, состоя­щее в том, что произошли те элементарные события, которые вхо­дят в А, но не входят в В. В таком случае пишем:

С=АВ. (5.7)

Если это определение выразить символами уже известных нам соотношений, то

. (2.6)




Рис. 5.


Пусть события А и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий Е, A = {e1, е, е3, е4} и В = {е2, е4}. Тогда разность событий А В представляется подмно­жеством {е1, е3}.

Геометрически разность событий изображена на рисунке 5.

Рассмотрим следующую задачу.

  1. Пусть A, В и С — события. Доказать, что А (В — С) = АВ АС.

На языке теории множеств . Получим отсюда как следствие, что



Теперь пусть . Приведем рассуждения в обрат­ном порядке:





Следовательно, равенство А (В С) = АВ АС действительно имеет место, поскольку множества А (В – С) и АВ АС состоят из одних и тех же элементарных событий.


Задачи


  1. Событие А – «попадание в мишень»,

событие В – «попадание в мишень первым выстрелом».

В чем состоит событие А В?

Решение.

По определению, событие А В состоит в попадании в мишень не первым выстрелом.

Ответ: попадание не первым выстрелом.

  1. Событие А – «получение достаточной для сдачи экзамена оценки»,

событие В «получение пятерки».

В чем состоят события А В, , .

Решение.

Событие А В – получение 4 или тройки;

событие – получение пятерки;

событие – невозможное событие(по определению).

Ответ: получение 4 или 3; получение пятерки; невозможное событие.


  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconИзбранные главы теории вероятностей
Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconУтверждаю декан фпмк а. М. Горцев "1" марта 2011 г
Изучение формального математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, возможности его использования в процессе...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconРабочая учебная программа по дисциплине Теория вероятности и математическая статистика
Методы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов являются мощным средством решения прикладных задач....
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconЗадача 1
Методические указания предназначены для студентов-заочников, изучающих самостоятельно базовый курс теории теорию вероятностей, и...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconПрограмма курса «Теория вероятностей»
Предмет и методы теории вероятностей. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента. Статистическая...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности 05. 13. 01 Системный анализ, управление и обработка информации (область технических наук)
Теория вероятностей и вероятностные модели. Условия применения вероятностных моделей. Вероятностные модели вида случайных событий,...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconТомский государственный университет факультет прикладной математики и кибернетики утверждаю
Для изучения курса необходимо усвоение студентами теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории вероятностей, теории...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconПрограмма спецкурса «Дополнительные главы теории вероятностей» для студентов 3-го курса Кафедры теории вероятностей
Неравенство Берри – Эссеена (оценка близости распределений по близости характеристических функций)
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconЭлективный курс «Элементы теории множеств, логики, комбинаторики, математической статистики и теории вероятностей»
Поэтому знание основ теории множеств, логики и теории вероятностей даёт возможность учащимся определиться в профессиональной деятельности,...
Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; iconОсобенности заочных курсов по теории вероятностей и физике развивающий курс “математика случайного”
Авангард” консультантом будет автор курса и учебника В. Н. Федосеев. Основная цель курса  развитие навыков моделирования при решении...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница