Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации




Скачать 127.96 Kb.
НазваниеРеспублики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации
Дата05.05.2013
Размер127.96 Kb.
ТипРешение


Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации


Государственное УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»


Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.


Методические указания и задания контрольной работы №2

для студентов-заочников

всех специальностей


Могилев 2004


УДК 517.2/3

ББК 22.161.1


Рекомендовано к опубликованию

комиссией методического совета

Белорусско-Российского университета


Одобрено кафедрой «Высшая математика» «_____»____________2004 г.,

протокол №


Составители: Червякова Т. И., Ромская О. И., Плешкова С.Ф.


Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов-заочников. В работе изложены методические рекомендации, контрольные задания, образцы решения задач по разделу «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных». Задания предназначены для студентов всех специальностей заочной формы обучения.


Учебное издание


Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных


Технический редактор А.А. Подошевко


Компьютерная верстка Н.П. Полевничая


Рецензенты Л.А. Новик


Ответственный за выпуск Л.В. Плетнев


Подписано в печать . Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ №_________


Издатель и полиграфическое исполнение:

Государственное учреждение профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

Лицензия ЛВ №243 от 11.03.2003 г., лицензия ЛП №165 от 08.01.2003 г.

212005, г. Могилев, пр. Мира,43


© ГУВПО «Белорусско-Российский

университет», 2004

Введение


Настоящие методические указания содержат материал по изучению раздела «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных».

После изучения темы студенту рекомендуется выполнить контрольную работу и выслать ее для проверки.

Контрольную работу выполняют в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать номер, название дисциплины, указать свою группу, фамилию, инициалы и номер зачетной книжки.

Номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра зачетной книжки – 0, номер варианта равен 10.

Решение задач необходимо проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом условие каждой задачи полностью переписывают перед ее решением. В тетради обязательно оставляют поля.

Решение каждой задачи следует излагать подробно, давать необходимые пояснения по ходу решения со ссылкой на используемые формулы, вычисления проводить в строгом порядке. Решение каждой задачи доводить до ответа, требуемого условием. В конце контрольной работы указать использованную при выполнении контрольной работы литературу.


Вопросы для самостоятельного изучения


  1. Производная функции: определение, обозначение, геометрический и механический смыслы. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

  2. Непрерывность дифференцируемой функции.

  3. Правила дифференцирования функции одной переменной.

  4. Производные сложной и обратной функции.

  5. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

  6. Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

  7. Дифференциал функции: определение, обозначение, связь с производной, свойства, инвариантность формы, геометрический смысл, применение в приближенных вычислениях значений функции.

  8. Производные и дифференциалы высших порядков.

  9. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

  10. Правило Бернулли-Лопиталя, его применение к вычислению пределов.

  11. Монотонность и экстремумы функции одной переменной.

  12. Выпуклость и перегибы графика функции одной переменной.

  13. Асимптоты графика функции.

  14. Полное исследование и построение графика функции одной переменной.

  15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b].

  16. Понятие функции нескольких переменных.

  17. Предел и непрерывность ФНП.

  18. Частные производные ФНП.

  19. Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП.

  20. Дифференцирование сложных и неявно заданных ФНП.

  21. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков ФНП.

  22. Экстремумы (локальный, условный, глобальный) ФНП.

  23. Производная по направлению и градиент.

  24. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.



Решение типового варианта


Задача 1. Найти производные от функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)


Решение. При решении заданий а)-в) применим следующие правила дифференцирования:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) 6)

7) ;

8) если , т.е. - сложная функция, то .

На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.

1 ,

8 ,

2 ,

9 ,

3 ,

10 ,

4 ,

11 ,

5 ,

12 ,

6 ,

13 .

7 ,





Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:

а) .



Ответ:


б).



Ответ:

в) .



Ответ:

г) .

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:

.

Применим свойство логарифмов: . Тогда .

Дифференцируем обе части равенства по :

;

;

;

.

Ответ: .

д) .

Функция задана неявно в виде . Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :

.

Выразим из уравнения :

;

.

Ответ: .

е)

Функция задана параметрически Производная такой функции находится по формуле: .





Ответ:

Задача 2. Найти дифференциал четвертого порядка от функции .


Решение. Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал называется дифференциалом второго порядка.

Дифференциал n-го порядка определяется по формуле: , где n=1,2,…

Найдем последовательно производные.

.

.

.

Ответ: .


Задача 3. В каких точках графика функции касательная к нему параллельна прямой ? Сделать рисунок.


Решение. По условию касательные к графику и заданная прямая параллельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между собой.

Угловой коэффициент прямой .

Угловой коэффициент касательной к кривой в некоторой точке находим из геометрического смысла производной:

, где - угол наклона касательной к графику функции в точке .

.

Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых составим уравнение

.

Решив его, найдем абсциссы двух точек касания: и .

Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания: и .

Сделаем рисунок.




Ответ: (-1;-6) и .

Замечание: уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

,

уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

.


Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

.

Решение. Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

  1. найти область определения функции;

  2. исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;

  3. исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

  4. найти точки пересечения графика функции с осями координат;

  5. исследовать функцию на монотонность и экстремум;

  6. найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

  7. найти асимптоты графика функции;

  8. для уточнения графика иногда целесообразно найти дополнительные точки;

  9. по полученным данным построить график функции.


Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

  1. .

  2. Функция имеет точку разрыва и непрерывна для всех из области определения.

  3. .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

  1. С осью Ох: .

Точка - точка пересечения с осью Ох.

С осью Оу: .

Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

  1. Находим производную.



при и не существует при .

Критические точки: и .

Исследуем знак производной функции на промежутках .



Функция убывает на интервалах ; возрастает – на интервале .




  1. Находим вторую производную.



при и не существует при .

Критические точки второго рода: и .



Функция выпукла на интервале , функция вогнута на интервалах .

Точка перегиба , .

  1. Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота.

Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки .



Найдем наклонные асимптоты





Тогда - горизонтальная асимптота

  1. Найдем дополнительные точки:



  1. По полученным данным строим график функции.




Задача 5. Правило Бернулли-Лопиталя сформулируем в виде теоремы.

Теорема: если две функции и :

  1. бесконечно малые или бесконечно большие при ;

  2. дифференцируемы в окрестности точки ;

  3. в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки;

  4. существует конечный (или бесконечный) предел , то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных, т.е.

.


Найти пределы, применяя правило Бернулли-Лопиталя:

а) ; б) ; в).

Решение. а) ;

б)



в).

Применим тождество . Тогда




Задача 6. Дана функция . Найти , , .

Решение. Найдем частные производные.

;

.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:

.

.

Ответ: , , .


Задача 7 Продифференцировать:

  1. сложную функцию

  2. функцию, заданную неявно: .

Решение. а) Производная сложной функции находится по формуле:



; ;

Ответ:

б) Если функция задана неявно уравнением , то ее частные производные находятся по формулам:

, .

, , .

; .

Ответ: , .


Задача 8 Найти локальные, условные или глобальные экстремумы функции:

  1. ;

  2. при условии, что ;

  3. , где .


Решение. а) Найдем критические точки функции, решив систему уравнений:







- критическая точка.

Применим достаточные условия экстремума.

Найдем вторые частные производные:

; ; .

Составляем определитель (дискриминант):



Т.к. , то в точке М0 (4; -2) функция имеет максимум.

.

Ответ: Zmax=13.

б) , при условии, что .

Для составления функции Лагранжа применим формулу

, где

- данная функция,

- уравнение связи.

Имеем .

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой уравнений:

поэтому

из полученного уравнения имеем: .

Для x1=1, y1=1, т.е. М1 (1; 1).

Для x1= -1, y1= -1, т.е. М1 (-1; -1).

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака дифференциала 2-го порядка функции Лагранжа d2L для найденных значений х, у,  при условии, что dx2+dy2≠0.

.

.

,
Для в точке М1 (1; 1) функция имеет условный максимум.

Для в точке М2 (-1; -1) функция имеет условный минимум.



Ответ:


в) Построим область D.




Найдем критические точки.

;





Так как внутри треугольника , то на можно сократить. Тогда



Точка лежит внутри треугольника.

.

Исследуем функцию на границе области D.

  1. [ОА]: .

z=0, т.е. экстремумов нет.

  1. [ОВ]: .

z=0, т.е. экстремумов нет.

  1. [АВ]: .

.

.

,

, .

Так как - граничная точка, то берем .

, т.е. точка .

.

Находим значения функции в вершинах треугольника.

.

Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

; .

Ответ: ; .


Список литературы


  1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1985., т.1.

  2. Жевняк Р.М. Высшая математика. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук.- Мн.: Выш.шк.,1986., ч.1.

  3. Гусак А.А. Высшая математика (том 1). – Мн.: Тетра-Системс,1998.

  4. Руководство к решению задач по высшей математике./ Под ред. Е.И. Гурского – Мн.: Вышэйшая школа, 1989. – Ч.1.

  5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 1)./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – Мн.: Высш. шк., 1986.

  6. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1973.

  7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1968.


Похожие:

Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconГосударственного комитета по делам молодежи республики беларусь
Министерство труда Республики Беларусь, Министерство экономики Республики Беларусь, Министерство образования Республики Беларусь...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconМинистерства архитектуры и строительства республики беларусь
Совета Министров Республики Беларусь от 16 ноября 2001 г. N 1668 "О мерах по обеспечению перехода на новые условия начисления амортизации"...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconО некоторых вопросах среднего специального образования
Совета Министров Республики Беларусь от 19 июля 2011 г. N 969 "О делегировании полномочий Правительства Республики Беларусь на принятие...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconМинистерство транспорта и коммуникаций республики беларусь постановление
Совета Министров Республики Беларусь от 10 февраля 2003г. №150 «О государственных нормативных требованиях охраны труда в Республике...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconМинистерства энергетики республики беларусь
Совета Министров Республики Беларусь от 10 февраля 2003 г. N 150 "О государственных нормативных требованиях охраны труда в Республике...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconЗарегистрировано в Национальном реестре правовых актов
Беларусь от 15 июня 1993 года "О пожарной безопасности" и в целях совершенствования взаимодействия по обнаружению и тушению пожаров...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации icon26 февраля 2008 г. N 16 об утверждении перечней средств обучения, учебного оборудования для общеобразовательных учреждений и специальных учреждений образования
Закона Республики Беларусь от 5 июля 2006 года "Об общем среднем образовании", Положения о Министерстве образования Республики Беларусь,...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconМинистерства транспорта и коммуникаций республики беларусь
Совета Министров Республики Беларусь от 10 февраля 2003 г. N 150 "О государственных нормативных требованиях охраны труда в Республике...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconИнструкция о порядке заселения обучающихся в общежития
На основании Положения о Министерстве образования Республики Беларусь, утвержденного постановлением Совета Министров Республики Беларусь...
Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации iconМинистерства жилищно-коммунального хозяйства республики беларусь
Совета Министров Республики Беларусь от 24 октября 2001 г. N 1529 (Национальный реестр правовых актов Республики Беларусь, 2001 г.,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница