Исследование квадратного трехчлена




Скачать 260.89 Kb.
НазваниеИсследование квадратного трехчлена
страница1/5
Дата08.10.2012
Размер260.89 Kb.
ТипИсследование
  1   2   3   4   5





Квадратный трехчлен - основная функция школьной математики - между прочим, не самая примитивная. Умение использовать предоставляемые им ресурсы для решения задач в большой степени характеризует уровень математического мышления изучающего школьную алгебру. В данной работе дается обоснование этого тезиса и приведены примеры конкретного применения свойств квадратичной функции. Стимулирующим фактором является то обстоятельство, что при решении какой бы то ни было задачи с параметрами рано или поздно приходится (и удается) задачу переформулировать в терминах квадратного трехчлена и решить ее с привлечением свойств этой универсальной функции.


Исследование квадратного трехчлена


Определение. Квадратным трехчленом относительно переменной x называется выражение вида f(x) = ax2 + bx + c (1), где a, b, cR, a0.


Квадратный трехчлен - обычный многочлен степени 2. Спектр вопросов, формулируемых в терминах квадратного трехчлена, неожиданно оказывается чрезвычайно широким. Поскольку задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, занимают традиционно почетное и видное место в письменных выпускных школьных и вступительных вузовских экзаменах, очень важно научить школьника (будущего абитуриента) неформальному (то есть творческому) владению разнообразными приемами и методами такого исследования. В данной методической разработке фиксируются основные утверждения о квадратном трехчлене (теорема Виета, расположение корней относительно заданных точек числовой оси, техника обращения с дискриминантом), решаются задачи различных типов и разных уровней сложности. Главный идеологический вывод заключается в том, что в школьной математике существуют насыщенные глубоким содержанием фрагменты, доступные учащемуся и не требующие привлечения средств математического анализа и иных разделов так называемой “высшей математики”.


Графиком трехчлена (1) является парабола; при a<0 ее ветви направлены вниз, при a>0 - вверх. Расположение параболы относительно оси Ox зависит от значения дискриминанта D = b2 - 4ac: при D>0 имеются две точки пересечения параболы с осью Ox (два различных действительных корня трехчлена); при D=0 - одна точка (двукратный действительный корень); при D<0 действительных корней нет, следовательно, нет и точек пересечения параболы с осью Ox (при этом, если a<0, график лежит целиком лежит ниже, если a>0 - выше оси Ox). Стандартным приемом является следующее представление трехчлена (с помощью выделения полного квадрата):

f(x) = ax2 + bx + c = = . Это представление позволяет легко строить график посредством линейных преобразований графика функции y=x2; координаты вершины параболы: .

Это же преобразование позволяет сразу решить простейшую задачу на экстремум: найти наибольшее (при a<0) или наименьшее (при a>0) значение функции (1); экстремальное значение достигается в точке и равно .


Одно из основных суждений о квадратном трехчлене –


Теорема 1 (Виета). Если x1, x2 - корни трехчлена (1), то

(формулы Виета).


С помощью теоремы Виета можно решать многие задачи, в частности, те, в которых требуется сформулировать условия, определяющие знаки корней. Две следующие теоремы являются непосредственными следствиями теоремы Виета.


Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

D = b2 - 4ac 0, x1x2 = > 0,

при этом оба корня положительны при x1 + x2 = > 0,

и оба корня отрицательны при x1 + x2 = < 0.

.

Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

D=b2 - 4ac > 0, x1x2 = < 0,

при этом положительный корень имеет больший модуль при x1 + x2 = > 0,

и отрицательный корень имеет больший модуль при x1 + x2 = < 0.


Доказываемые ниже теоремы и следствия эффективно могут (и значит, должны) применяться при решении задач с параметрами.


Теорема 4. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были меньше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат левее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 1,а и 1,б).




Рис. 1

Доказательство.

Необходимость. Если трехчлен (1) имеет действительные корни x1 и x2 (может быть, совпадающие), x1 x2 и x1 < M, x2 < M , то , (x1 - M) (x2 - M) > 0, x1 + x2 < 2M; иначе x1x2 - (x1 + x2)M + M2 > 0, M > (x1 + x2)/2. По формулам Виета , поэтому , или , ч.т.д.

Достаточность. Пусть . Рассуждаем от противного. Предположим, что , , тогда - противоречие с условием. Если же , то (x1 - M)(x2 - M)0, x1x2 - (x1 + x2)M + M2 0, откуда , af(M) 0 - вновь противоречие с условием; остается только возможность x1 < M, x2 < M, что и требуется доказать. Теорема доказана.


Теорема 5. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M, то есть точка M лежала бы в интервале между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия, af(M)<0

(рис. 2,а и 2,б).



Рис. 2

Доказательство.

Необходимость. Если трехчлен (1) имеет действительные корни x1 и x2 , x12 и x12>M , то (x1 - M)(x2 - M)<0, x1x2 - (x1 + x2)M + M2 < 0. По формулам Виета , поэтому , или af(M)<0, ч.т.д.

Достаточность. Пусть af(M)<0. Рассуждаем от противного. Предположим, что , или , , тогда (x1 - M)(x2 - M)0,

x1x2 - (x1 + x2)M + M2 0, откуда , af(M)0 - противоречие с условием; остается только возможность , что и требуется доказать. Теорема доказана.


Теорема 6. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат правее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 3,а и 3,б).




Рис. 3

Доказательство. Необходимость. Если трехчлен (1) имеет действительные корни x1 и x2 (может быть, совпадающие), x1 x2 и x1 > M, x2 > M , то , (x1-M)(x2-M)>0, x1 + x2 > 2M; иначе x1x2 - (x1 + x2)M + M2 > 0, M < (x1 + x2)/2. По формулам Виета , поэтому , или , ч.т.д.

Достаточность. Пусть . Рассуждаем от противного. Предположим, что , , тогда - противоречие с условием. Если же , то (x1 - M)(x2 - M)0, x1x2 - (x1 + x2)M + M2 0, откуда , af(M) 0 - вновь противоречие с условием; остается только возможность x1 > M, x2 > M, что и требуется доказать. Теорема доказана.


Следствие 1. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M < N), то есть оба корня принадлежали интервалу (M,N), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 4,а и 4,б).




Рис. 4


Следствие 2. Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M < N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

меньший корень при этом лежит вне отрезка [M,N]

(рис. 5,а и 5,б).



Рис. 5


Следствие 3. Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M < N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия, ;

больший корень при этом лежит вне отрезка [M,N]

(рис. 6,а и 6,б).




Рис. 6


Следствие 4. Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M < N), то есть отрезок [M,N] целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 7,а и 7,б).




Рис. 7


Разумеется, аналитическая и геометрическая интерпретации результатов теорем 4-6 и следствий 1-4 эквивалентны, и стратегической целью является выработка навыков точного перевода с одного языка на другой. Особенно важно продемонстрировать, как “визуализация” (“графический взгляд”) помогает безошибочно записать формальные условия, необходимые и достаточные для выполнения требований задачи.


Укажем типичные задачи, решаемые с помощью доказанных теорем (более общо - решаемые на основании свойств квадратного трехчлена).

  1   2   3   4   5

Похожие:

Исследование квадратного трехчлена iconРабочая программа элективного курса Зарапиной Татьяны Алексеевны «Вокруг квадратного трехчлена»
«персонажу», который всем хорошо знаком квадратному трехчлену. Казалось бы, про него все учащимся известно: как корни на­ходить,...
Исследование квадратного трехчлена icon«Основные понятия, связанные с квадратными уравнениями» (2 ч)
Виета; овладение умениями разложения квадратного трехчлена на множители, решения квадратного уравнения по формулам корней квадратного...
Исследование квадратного трехчлена iconСанкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет кафедра национальная безопасность программа учебного курса «Подготовка к егэ по математике»
Решение квадратных уравнений; теорема Виета, применение ее при решении квадратных уравнений и в тождественных преобразованиях; разложение...
Исследование квадратного трехчлена iconТема №113: Преобразования графиков функций в школьном курсе математики Примерное содержание
Преобразование графиков с деформациями: построение графиков y = af (X), y = f (ax). Построение графиков функций с модулями: y =...
Исследование квадратного трехчлена iconКонспект урока по алгебре в 8 классе «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»
Цели: ввести понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня; сформировать умение извлекать квадратные корни; развивать...
Исследование квадратного трехчлена iconПрограмма элективного курса по математике для учащихся 9 классов «Исследование квадратного уравнения»
Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы диагностики знаний, а также тем, что очень часто квадратные...
Исследование квадратного трехчлена icon1 Комплектная линия розлива масла 12. 000 бут/час в 1л бутылку круглого и квадратного типа
Комплектная линия розлива масла 12. 000 бут/час в 1л бутылку круглого и квадратного типа
Исследование квадратного трехчлена iconТике (база 9 классов)
Формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (ах² + 2кх + с =0)
Исследование квадратного трехчлена iconКалендарно-тематическое планирование уроков математики в 9 классе
Презентация «Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции»
Исследование квадратного трехчлена iconТики с применением информационных технологий по теме
Отработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница