Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика




Скачать 136.15 Kb.
НазваниеНаучно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика
Дата07.10.2012
Размер136.15 Kb.
ТипИсследовательская работа


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №53» г. Брянска

тел. 524991


НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»


ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА


Ортотреугольник и его свойства


Математика


Выполнили:

ученицы 11 А класса

Великоцкая Ирина Олеговна

Иваныкина Виктория Владиславовна

Силютина Алина Сергеевна


Руководитель:

учитель математики

Драп Людмила Стальевна


г. Брянск

2012 год

Введение

В геометрии многие задачи можно решать различными способами. Одни из них проще, другие сложнее. И часто для более простого решения задач необходима информация, не изучаемая на обычных уроках геометрии.

Ортотреугольник как раз и является этой дополнительной темой. Кроме того, ортотреугольник мало изучен: известны лишь некоторые его свойства, мало используется его применение в решении задач.

Также нам, как ученицам 11 класса, предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, в котором так же присутствуют задачи и по геометрии.

Именно поэтому мы решили рассмотреть эту тему при выборе темы работы.

Цели нашей работы:

  1. исследование ортотреугольника и его свойств

  2. составление главы несуществующего учебника

Задачи:

  1. рассмотреть историю открытия ортотреугольника

  2. познакомиться с современными представлениями об ортотреугольниках

  3. рассмотреть известные свойства ортотреугольника

  4. рассмотреть задачи с ортотреугольниками

  5. систематизировать полученные знания

  6. составить главу несуществующего учебника

Методы работы над проектом:

анализ источников информации, решение задач.

История открытия ортотреугольника

Фаньяно деи Тоски Джулио Карл (06.12.1682 - 26.09.1766)

Итальянский математик и инженер, член Лондонского королевского общества и Берлинской Академии Наук.

В бытность свою школе (коллегии в Риме) не чувствовал никакого влечения к математике, но впоследствии принялся за ее изучение, притом без всякой посторонней помощи. В непродолжительном времени после того уже выступил с самостоятельными трудами в ее области. Значительнейшие из его мемуаров в области дифференциальных уравнений и первых оснований учения об эллиптических функциях печатались в "Giornale de letterati d'Italia". В двух статьях, помещенных в этом журнале в 1714 и 1715 гг., он в первой предложил, а во второй дал решение задачи отделить на параболе 4-й степени 1-го рода, представляемой уравнением x4 = у, дугу так, чтобы разность между нею и другою дугою, данною на той же параболе, выражалась прямою линиею. В 1716 г. в том же журнале появилась статья, содержащая известную теорему ее автора. В двух следующих за тем статьях 1717 и 1720 гг. Фаньяно занимался дифференциальными уравнениями, содержащими квадратные корни, а в ряде других статей исследованиями, относящимися к лемнискате. Эти исследования он считал из всех, им произведенных, самыми важными. Он показал деление квадранта лемнискаты на 2, на 3 и на 5 равных частей и возможность алгебраического деления квадранта лемнискаты на n частей, если n представляется формами 2.2 m, 3.2m, 5.2m, где m есть число целое и положительное. Некоторые из этих исследований Фаньяно были продолжены спустя несколько лет Эйлером, давшим им общий вид и указавшим на их основной принцип. То и другое было достигнуто им при помощи употребления в соответствующих изысканиях общего интеграла, названного впоследствии эллиптическим интегралом первого рода.

Италия, начало XVIII века. Фаньяно деи Тоски поставил перед собой следующую задачу: Вписать в данный остроугольный треугольник треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне большего треугольника лежала одна вершина вписанного треугольника.

Ответом стал именно ортотреугольник. А сама задача получила название «задача Фаньяно».

Понятие об ортотреугольнике

Ортотреугольник (ортоцентрический треугольник) треугольника ∆ABC — треугольник, вершины которого являются основаниями высот ∆ABC.

Пусть дан треугольник АВС (рис.1). Проведем высоты этого треугольника из его вершин – АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения высот О является ортоцентром треугольника АВС. Соединим точки А1, В1, С1.

Получим треугольник А1В1С1, который и является ортотреугольником треугольника АВС.

Свойства ортотреугольника.

1. Задача Фаньяно. Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.

2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника. Следовательно, ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

3. Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

4. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника: , , . (рис.2)

5. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит: (рис.2)

Р=2АА1*sin CAB=2BB1*sin ABC=2CC1*sin BAC

6. Точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда стороны полученного ортотреугольника параллельны сторонам исходного треугольника. (рис. 3)

Теорема о подобии треугольников

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

Дано:Δ-остроугольный, , -высоты, , а .

Найти: углы треугольника .

Доказательство:

(рис. 4, Приложение) Прямоугольные треугольники и имеют общий угол при вершине С, они подобны, поэтому .

Из этого равенства следует, что в треугольниках и стороны, прилежащие к общему углу при вершине С, пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников подобен . В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, поэтому угол , .

Аналогично можно доказать подобие треугольников и ; и , если провести высоту CC1. При этом , и .

Как следствие данной теоремы, верно следующее утверждение:

Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.

Среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только ортотреугольник обладает указанным свойством.

Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника

Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника.

Дано: ΔABC-остроугольный, СС1, ВВ1, АА1-высоты.

Доказать: точка Н пересечения высот ΔABC является точкой пересечения биссектрис Δ A1B1C1.

Доказательство (рис. 5, Приложение):

Пусть в остроугольном треугольнике ABC точки A1, B1, C1.обозначают основания высот. Докажем, что точка Н пересечения высот треугольника ABC является точкой пересечения биссектрис треугольника A1B1C1.

На сторонах и треугольника , как на диаметрах, построим окружности. Точки , , принадлежат этим окружностям. Поэтому , как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. , как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. , как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности.

Следовательно, , то есть является биссектрисой угла . Аналогичным образом показывается, что и являются биссектрисами углов и , ч.т.д.

Справедливо и обратное утверждение:

Если на сторонах АВ, ВС, СА остроугольного треугольника АВС взяты точки , , соответственно, при этом , и ,то точки А1, В1 и С1 являются основаниями высот треугольника АВС.

Теорема Фаньяно

Среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник.

Дано: ΔАВС и вписанные в него Δ

Доказать: ортотреугольник имеет наименьший Р

Доказательство (рис. 6, Приложение):

Воспользуемся следующим приемом: попробуем выстроить стороны вписанного треугольника в ломаную линию. Тогда периметр будет не меньше отрезка, соединяющего концы этой ломаной. А наименьший периметр будет соответствовать случаю, когда стороны ломаной лежат на одной прямой.

Итак, пусть точки A1, B1, С1 лежат на сторонах треугольника ABC 1 — на стороне ВС и т. д.). Отразим точку А1 симметрично относительно сторон АВ и АС, получив точки А2 и А3 соответственно. Длина трёхзвенной ломаной равна периметру треугольника . Для того, чтобы периметр был наименьшим (равным отрезку ) нужно, чтобы вершины В1 и С1 лежали в точках пересечения отрезка со сторонами треугольнике и АС. Осталось понять, как выбрать точку А1 на стороне ВС таким образом, чтобы длина отрезка была наименьшей. Для этого заметим, что треугольник равнобедренный (), а угол при его вершине А равен и потому не зависит от выбора точки А1.

Итак, при движении точки А1 по стороне ВС углы треугольника не меняются, а его линейные размеры будут наименьшими, когда наименьшей будет сторона А2А, которая равна А1А. Значит, A1Aвысота, опущенная на сторону ВС.

Мы видим, что существует единственный вписанный треугольник наименьшего периметра, его вершина А1 — основание высоты. Если провести те же рассуждения с вершинами В1 C1, получим, что они также являются основаниями высот (поскольку треугольник минимального периметра — единственный!)

Замечание: в случаях прямоугольного или тупоугольного треугольника задача не имеет решения.

Решение задач с применением ортотреугольника.

Задача 1.

Дано: Δ АВС , и – высоты треугольника АВС.

Доказать: Δ ≈ ΔАВС . Найти: k

Решение: подобен треугольнику АВС по теореме 2.1. Коэффициент подобия . В прямоугольных треугольниках и , . Значит, .

Ответ: .

Следствием данной задачи будет следующее утверждение: каждая сторона ортотреугольника равна произведению противолежащей стороны на косинус противолежащего угла исходного треугольника.

Задача 2. (рис. 7, Приложение)

Дано: ΔАВС остроугольный, <ВАС= α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно.

Найти: SΔАВС / SΔAPQ.

Решение: Поскольку и - высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому

Задача 3 (рис. 8 и 9, Приложение)

Дано: ΔАВС-остроугольный, АD, ВЕ и СF-высоты.

Доказать: pR=Pr, где p-периметр ΔEDF, Р – периметр ΔАВС.

Решение:

1. Т.к. и согласно задаче 1 , то . ,

, поэтому .

  1. Пусть О – центр описанной окружности , R – ее радиус. Тогда Т.к. по т. синусов , то после подстановки, получаем .

  2. Аналогично и , т.е. . Поскольку и , то .ч.т.д.

Задача 4. (рис. 10, Приложение)

Дано: ΔABC, AB = BC, AA1, BB1, CC1-высоты, AC = 9, A1C1 = 7.

Найти: периметр ΔABC.

Решение:

  1. Т.к. подобен , то и (1)

  2. по гипотенузе и острому углу, т.к рассматриваемые треугольники прямоугольные, .

  3. Т.к. и , отсекая пропорциональные отрезки, то ||.

  4. подобен , т.е. .

  5. Пусть , тогда , . Известно, что , , поэтому, подставив данные в (1), получим , т.е. . Ответ: .

Задача 5. (рис. 11, Приложение)

Дано: ΔABC-равнобедренный, AC = 4 и AB = 8, AA1, BB1, CC1-высоты.

Найти: периметр ΔA1B1C1 и CC1.

Решение:

  1. Т.к. - равнобедренный, то - высота, медиана, биссектриса ;.

2. Т.к. подобен , то .

3. .

4. Т.к. подобен , то; .

5. ||, а это значит, что подобен .

6. .

7. По т. Пифагора .

Ответ: ; .

Задача 6 (рис. 12, Приложение)

Дано: ΔАВС-остроугольный, и .

Найти: A1, B1, C1

Решение: 1. Строим высоты , , .

подобен .

подобен .

2.-высотный. ;

; .

Ответ: ; ; .

В некоторых задачах ЕГЭ по математике так же используются ортотреугольники. Например:

Из остроугольных вершин треугольника АВС (рис. 13, Приложение) проведены высоты к противоположным сторонам ВК, СЕ, АМ. Найти все углы треугольника АСВ, если в треугольнике КЕМ углы равны 30, 60 и 90 градусов.

Дано: ΔАВС, высоты ВК, СЕ, АМ. ЕМК=90о, ЕКМ=30о, КЕМ=60о.

Найти: А, В, С.

Решение: 1. Точки К, М, Е – основания высот ΔАВС. Значит ΔКЕМ – ортотреугольник ΔАВС.

2. СЕМ=(1/2)*КЕМ=30о, ЕКВ=(1/2)*ЕКМ=15о, КМА=(1/2)* ЕМК=45о, т.к. высоты ΔАВС являются биссектрисами углов ΔКЕМ(по свойствам ортотреугольника).

3. ЕМВ=90о-КМА=45о; МЕВ=90о-СЕМ=60о;

Тогда из ΔМЕВ В=180о-ЕМВ-МЕВ=75о.

4. КЕА=90о-СЕМ=60о; АКЕ=90о-ЕКВ=75о;

Из ΔАКЕ А=180о-КЕА-АКЕ=45о.

5. СКМ=90о-ЕКВ=75о; СМК=90о-КМА=45о;

Из ΔСКМ С=180о-СКМ-СМК=60о.

Ответ:В=75о А=45о С=60о

Практическая часть

В практической части своей работы мы проверим главное свойство ортотреугольника: из всех вписанных треугольников ортотреугольник имеет наименьший периметр.

Пусть нам дан произвольный остроугольный треугольник (рис.14, Приложение). Построим вписанные в него треугольники ABC, PQS, MNK, EFD так, чтобы на каждой стороне треугольника лежала вершина вписанного. Среди них треугольник АВС является отротреугольником.

Измерим каждую сторону вписанного треугольника и вычислим их периметры.

Треугольник ABC: AB=7см, BC=7.7 см , AC=8.2 см, P=22.9 см.

Треугольник PQS: PQ=11.1 см, PS=10.9 см, SQ=4.2 см, P=26.2 см.

Треугольник MNK: MN=6.8 см, NK=6.6 см, KM=11.2 см, P=24.6 см.

Треугольник EFD: ED=6.1 см, FD=9 см, EF=8.8 см, P=23.9 см.

Итак, сравнивая полученные результаты, мы получаем, что ортотреугольник действительно имеет наименьший периметр из всех вписанных треугольников в данный треугольник.

Заключение.

Итак, с первого взгляда наша тема кажется сложной и непонятной. Что не удивительно, ведь большинство учеников общеобразовательных школ даже не имеют понятия об ортотреугольнике. В их числе оказались и мы.

Но эта тема, как и все остальные в математике, для понимания требует хотя бы основных знаний. В ходе работы мы узнали много неизвестного нам ранее материала. Мы познакомились с понятием ортотреугольника, узнали, как построить ортотреугольник для любого произвольного треугольника. Рассмотрели свойства ортотреугольника и связанные с ним теоремы. А так же мы решили задачи с ортотреугольником. Вся эта информация вошла в главу несуществующего учебника для изучения темы «Ортотреугольник». И мы уверены, что эти знания пригодятся нам при сдаче экзамена по математике. Поэтому мы довольны проделанной работой.

Список литературы

  1. http://www.math.ru/history/people/Fagnano

  2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Ортотреугольник

  3. http://www.brocgaus.ru/text/103/466.htm

  4. http://www.brocgaus.ru/text/103/466.htm - статья В.В.Бобынина.

  5. Большая Советская Энциклопедия – http://bse.sci-lib.com/

  6. «Новые встречи с Геометрией», автор: Коксетер Г. М., Грейтцер С., издательство: Москва. Наука.1978г

Приложения




рис. 1

рис. 2




рис. 3




рис. 4




рис. 5




рис. 6



рис. 7




рис. 8




рис. 9




рис. 10




рис. 11




рис. 12




рис. 13




рис. 14







Рис. 15 Ход работы




Рис. 16 Ход работы



Рис. 17 Ход работы


Рис. 18 Ход работы



Похожие:

Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconИсследовательская работа на тему «Проблемы оптимизации двигательного режима гимназистов»
Научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» (Предметная область Экология)
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconМеждународная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку» качество пищевых продуктов: микробиологический и химический анализ
Международная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconНаучно-исследовательская работа по теме «Исследование коэффициента трения подошв школьной сменной обуви о различные поверхности»
Международная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconНазвание работы
Международная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconКомплексный анализ качества питьевой воды в
Международная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconОценка экологической составляющей туристско-рекреационного потенциала брянской области
Международная научно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconГородская научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» Правильные многогранники вокруг нас
«Средняя общеобразовательная школа №4 г. Брянска с углубленным изучением отдельных предметов»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconГородская научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» Исследование содержание Витамина с в продуктах
«Средняя общеобразовательная школа №4 г. Брянска с углубленным изучением отдельных предметов»
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconМеждународная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»
Часто науку математику характеризуют как «сухую» логическую дисциплину, развивающую интеллект, но не душу
Научно-практическая конференция школьников «первые шаги в науку» исследовательская работа ортотреугольник и его свойства Математика iconНаучно-практическая конференция школьников и педагогов «Первые шаги в науку»
Технология индивидуализированного воспитания (Школа творчества Волкова И. П.) и практическое применение технологии творческого развивающего...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница