Лекция №19 Банаховы алгебры




Скачать 154.28 Kb.
НазваниеЛекция №19 Банаховы алгебры
страница1/2
Дата02.05.2013
Размер154.28 Kb.
ТипЛекция
  1   2

Лекция № 19



Банаховы алгебры


Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению в теорию банаховых алгебр, т.е. банаховых пространств, в которых определено умножение элементов.

Определение и примеры банаховых алгебр. Напомним, что линейным пространством называется непустое множество элементов, в котором введены две операции – сложение элементов и умножение их на числа, удовлетворяющие восьми аксиомам, сформулированных в лекции № 8.

Определение 1. Линейное пространство называется алгеброй, если в нем введена еще одна операция – умножение, которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. .

  2. , .

  3. .

  4. Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Заметим, что единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент также обладал бы свойством (4), то мы бы получили .

  1. Если операция умножения коммутативна, т.е. если выполняется аксиома , то алгебру называют коммутативной алгеброй.

Коммутативные алгебры с единицей и будут, в основном, предметом нашего изучения. Всюду в этой лекции числовое поле, над которым рассматриваются наши алгебры, это поле комплексных чисел .

В лекции № 9 было введено понятие нормированного пространства, т.е. линейного пространства, снабженного нормой , удовлетворяющей трем аксиомам.

Определение 2. Нормированное пространство называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей, и при этом выполнены еще две аксиомы:

  1. .

  2. .

Если еще нормированная алгебра полна (т.е. является банаховым пространством), то она называется банаховой алгеброй.

Отображение называют гомоморфизмом алгебры и , если выполнены условия

, (1)

, (2)

. (3)

Две алгебры, и , называются (алгебраически) изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1)(3).

Нормированные пространства и называют изометричными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1) и (2) и, кроме того, условию

.

Определение 3. Две банаховы алгебры и называются изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм , являющийся изометрией и как нормированных пространств.

Примеры банаховых алгебр. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Комплексные числа – простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой , ().

Комплексные числа образуют поле . В нем для всех элементов, кроме нуля, определено деление – операция, обратная умножению. Можно показать, что есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем.

Пример 2. Пусть – некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через линейное пространство всех непрерывных комплекснозначных функций , заданных на с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа, в котором норма определяется равенством

.

Ранее рассматривался частный случай этой коммутативной банаховой алгебры – это алгебра . Единицей в этой алгебре служит функция .

Задача 1. Убедитесь, что действительно есть коммутативная банахова алгебра.

Пример 3. Алгебра аналитических функций в круге состоит из всех функций комплексного переменного , определенных и непрерывных в круге



и аналитических внутри этого круга. Определим умножение в как обычное умножение функций, и зададим норму формулой

.

таким образом превращается в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Пример 4. Алгебра , элементами которой являются последовательности комплексных чисел, для которых . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то определим как такую последовательность , где

.

Так определенная операция умножения элементов из называется сверткой.

Пример 5. Рассмотрим Винерово кольцо , элементами которого являются последовательности всех двусторонних абсолютно суммируемых последовательностей



комплексных чисел с нормой . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то произведение (свертку) определим как такую последовательность, члены которой определяются как

.

Так определенная операция умножения элементов из , называемая сверткой, превращает банахово пространство в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Задача 2. Убедитесь, что и действительно есть коммутативные банаховы алгебры. Укажите единичные векторы этих алгебр.

Пример 6. Банахова алгебра ограниченных линейных операторов. Пусть – банахово пространство. Рассмотрим пространство всех линейных непрерывных операторов, отображающих в себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (суперпозиции) операторов. превращается в банахову алгебру, если ввести обычную операторную норму

для любого .

Все факты, которые убеждают нас в том, что – банахова алгебра, нами уже доказаны ранее. Алгебра – важнейший пример некоммутативной банаховой алгебры с единицей, в качестве которой выступает тождественный оператор : .

Обратимые элементы.

Определение 4. Элемент , принадлежащий коммутативной банаховой алгебре с единицей, называется обратимым, если существует такой элемент , что

, где – единица алгебры .

Элемент называется обратным к и обозначается через : .

Лемма 1. Если расстояние от некоторого элемента до единицы алгебры не превосходит , т.е. , то – обратимый элемент.

Доказательство. Обозначим ; тогда и . Таким образом, отыскание обратного к свелось к отысканию обратного к . Рассмотрим ряд . Так как , то этот ряд сходится по норме банахова пространства к некоторому , т.е. . Утверждается, что является обратным к . Действительно,



Таким образом,

, где . (*)

Лемма доказана.

Замечание 1. Принято считать, что .

Лемма 2. Если последовательность элементов банаховой алгебры такова, что при , где – единица алгебры , то существует при достаточно больших , и при .

Доказательство. Действительно, если , то , т.е. существует такое , что . Тогда, согласно леммы 1, каждый из обратим при , и в силу равенства (*)

., ().

Отсюда видно, что

,

и, поскольку , то

.

Так как , т.е. при , то

.

Отсюда видим, что . Лемма доказана.

Замечание 2. Равенство – это просто сумма числового ряда, которая легко вычисляется. Действительно, если число таково, что , то обозначим через сумму

; Тогда .

Вычитая из первого равенства второе, получаем: , откуда . Поскольку при , то отсюда получаем равенство .

Обозначим через множество обратимых элементов коммутативной банаховой алгебры . Тогда, по доказанному, внутренность единичного шара с центром в единице содержится в , т.е.

.

Но множество обратимых элементов не исчерпывается внутренностью единичного шара с центром в единичном элементе нашей алгебры.

Лемма 3. Множество обратимых элементов банаховой алгебры представляет собой открытое множество в . Операция перехода от к непрерывна.

Таким образом, множество обратимых элементов представляют собой топологическую группу по умножению.

Доказательство. Пусть . Докажем, что тогда существует такое, что если , то . Введем обозначение . Тогда

,

так как , т.е. существует. Далее,

при ,

Тогда , т.е. элемент содержится внутри единичного шара с центром в единице нашей алгебры и, следовательно, согласно леммы 1 он обратим. Но тогда обратим и как произведение двух обратимых элементов. Далее, так как при , то согласно леммы 2 при достаточно малом имеем: . Поэтому

при .

Тем самым доказано, что операция перехода от к непрерывна. Лемма доказана.

  1   2

Похожие:

Лекция №19 Банаховы алгебры iconПрограмма по алгебре и дискретной математике по направлению
Магистерская программа будет реализовываться кафедрой алгебры и дискретной математики Ургу (кадм) с привлечением научных сотрудников...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconУрок викторина за курс алгебры 7 класса
Образовательная: закрепить и обобщить основной и дополнительный материал к учебнику алгебры 7 класса в форме викторины
Лекция №19 Банаховы алгебры iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое строение лекция III 51 развитие значения слов в онтогенезе лекция IV 67 развитие понятий и методы их исследования лекция V 91 «семантические поля»
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРеспублики Беларусь Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра высшей алгебры
Тавгень О. И. – доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей алгебры ммф, бгу
Лекция №19 Банаховы алгебры iconРеспублики Беларусь Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра высшей алгебры
Тавгень О. И. — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры ммф, бгу
Лекция №19 Банаховы алгебры iconТематический план изучения курса алгебры и начал анализа в 11 классе
Тематическое планирование уроков алгебры и начал анализа составлено в соответствии с текстом учебника Колмогорова А. Н. и др
Лекция №19 Банаховы алгебры iconИз истории отечественной компьютерной алгебры
...
Лекция №19 Банаховы алгебры iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Методы решения уравнений»
Урок можно проводить при повторении курса алгебры и подготовки к егэ, а также как обобщающий урок по теме «Решений уравнений»
Лекция №19 Банаховы алгебры iconКурс лекций Москва 2008 Содержание Лекция Введение 3 Лекция Научные знания в средневековой Руси и окружающем мире 9 Лекция История науки и техники в XIV первой половине XVII вв. 19
Лекция Развитие науки и техники в России в Новое время (вторая пол. XVII-XVIII вв.) 26
Лекция №19 Банаховы алгебры iconПрограмма дисциплины «дополнительные главы алгебры»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 62 (прикладная...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница