Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время.




Скачать 95.43 Kb.
НазваниеИсследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время.
Дата19.03.2013
Размер95.43 Kb.
ТипИсследование
Юрій Карташов

Київський національний університет ім. Шевченка

(науковий напрям: математика і механіка )


Аппроксимации функционалов типа локального времени от цепей Маркова

Ключевые слова: аддитивный функционал, локальное время, аппроксимация

Вступление
    1. Тематическое положение работы


Данная работа тематически относится к разделу теории случайных процессов, который исследует предельное поведение аддитивных функционалов от процессов Маркова.
    1. Постановка проблемы


Рассмотрим последовательность процессов , которые аппроксимируют предельный процесс . Вместе с ними рассматривается функционалы от , которые в подходящем смысле аддитивны по временной переменной. Задача данной работы состоит в отыскании информации о предельном поведении , когда обладают определенными марковскими свойствами а также в применении полученных результатов к исследованию предельного поведения конкретных функционалов типа локального времени от случайных блужданий.
    1. Значение проблемы


Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. В настоящее время существует несколько подходов к исследованию проблемы работы. Фундаментальные результаты в случае, когда процессы совпадают и являются марковскими, а функционалы являются -функционалами[1], решение было дано Дынкиным, основные результаты приведены в работе [1], где достаточные условия сходимости указанных функционалов были даны в терминах их характеристик[1]. Другими фундаментальными работами являются работа [2], где в качестве процессов рассматриваются случайные блуждания, которые аппроксимируют винеровский процесс, а в качестве - функционалы локального времени. Современные результаты получены в книге [3], где доказаны утверждения, аналогичные приложениям результата [Теоремы 2.1], который допускает расширение на класс приложений с функционалами от решетчатых блужданий. Вопросы непрерывности и асимптотических свойств функционалов типа локального времени исследуются в работе [4]. Принципы инвариантности для двумерных случайных блужданий получены в работе [5].
    1. Использованная методика и содержание работы


Подход к исследованию проблемы в применении, подхода, который в некотором смысле является модификацией подхода Е.Б.Дынкина, предложенный в книге [1]. Главная идея основного результата состоит в приведении задачи о предельном поведении распределений функционалов к изучению предельного поведения их средних значений.

С помощью такого подхода получен результат о сходимости дискретных аппроксимаций локального времени в точке устойчивого процесса с . Доказано утверждение, которое устанавливает достаточные условия сходимости характеристик функционалов для некоторых достаточно обширных классов процессов и функционалов . Вместе с основным результатом это приводит к доказательству результат о сходимости дискретных аппроксимаций локального времени на множестве Кантора устойчивого процесса с .


Основная часть
    1. Основные объекты работы


Предположим, что задано последовательность процессов со значениями в локально компактном пространстве , которые осуществляют марковскую аппроксимацию[6] однородного Марковского процесса . Обозначим . Рассматриваются функционалы вида



где функции - неотрицательные борелевские функции. Функционалы являются ступенчатыми по временной переменной. Рассматриваются случайные ломаные, которые построены по этим функционалам –



Они естественно интерпретируются как случайные элементы в пространстве где Если процессы обладают марковским свойством в точках относительно натуральной фильтрации, порожденной , то по аналогии с [1] можно определить характеристику функционала как


    1. Первое основное утверждение работы


Основной результат работы выражен в следующей теореме.

Теорема 1.1


Предположим, что последовательность осуществляет марковскую аппроксимацию однородного Марковского процесса , а последовательность функционалов имеет вид (1.1). Допустим, что выполнены следующие условия:

  1. Функции ограничены и равномерно стремятся к нулю:



  1. Существует функция , которая является характеристикой -функционала от процесса , такой что для любого



  1. Функция равномерно непрерывна по пространственной переменной, то есть для любого



Тогда для случайных ломаных имеет место сходимость по распределению в



Доказательство основного результата основана на методе одного вероятностного пространства для процессов и -оценках на разность функционалов и .

В качестве приложения основного результата было получено доказательство того, что дискретные аналоги локального времени процесса в точке аппроксимируют в смысле распределения локальное время устойчивого процесса. Существенным является предположение непрерывности траекторий процессов , которые определяются как линеаризованные случайные блуждания, которые аппроксимируют однородный устойчивый процесс . Доказательство, что в такой ситуации имеет место марковская аппроксимация содержится в статье [6]. Было получено достаточно простое доказательство следующего факта.
    1. Приложение первого утверждения работы

Теорема 2.1


  1. Предположим, что процесс в условиях Теоремы 1



  1. Процессы заданы следующим образом:



где - независимые одинаково распределенные случайные величины из области притяжения устойчивого закона с параметром . На остальных участках разбиения прямой точками траектории определяются по линейности.

  1. Пусть В случае, если выполнено условие где -плотность случайной величины

имеет место сходимость



где функционал есть локальное время -устойчивого процесса в нуле.

Доказательство этого результата существенно использует предыдущий, с учетом того, что непосредственное его применение невозможно ввиду неограниченности функций . Основной этап доказательства этого утверждения состоит в доказательстве равномерной сходимости характеристик рассматриваемых функционалов, то есть проверке условия II основной теоремы.

Следующим важным этапом в исследовании проблемы стало применение основного результата к исследованию предельного поведения функционалов от процессов, которые аппроксимируют процесс, который не обладает свойством непрерывности траекторий, в то же время оставаясь процессом Маркова. Такие процессы хорошо известны как из практических проблем, так и из теоретических работ и представляют значительный интерес. Таковыми являются устойчивые процессы [7] с показателем Результат, который устанавливает достаточные условия сходимости характеристик (условия II Теоремы 1.1) представляет самостоятельный интерес и вместе с Теоремой 1.1 служит эффективным средством для доказательства сходимости функционалов типа локального времени в случаях, когда это представляется затруднительным или даже невозможным при использовании иных методов.

Предположим, что переходные вероятности процессов имеют плотности





Допустим, что характеристика допускает представление в виде

причем


    1. Второе основное утверждение работы

Теорема 2.2


Допустим, что существуют такие константы что выполнены следующие условия.

  1. Траектории процессов непрерывны, а последовательность осуществляют марковскую аппроксимацию процесса .

  2. Существует такая константа ,,





  1. Для любого функция равномерно непрерывна на и для любых



причем существует такая константа такая, что

.


  1. Существует последовательность положительных чисел , которая сходится к нулю, для которой



  1. Меры конечны и слабо сходятся к мере , и существуют такие постоянные , такие, что



  1. Постоянные удовлетворяют отношение

.

Тогда случайные ломаные, которые соответствуют функционалам , сходятся по распределению в к .

Доказательство этого утверждения использует технический результат, который состоит в оценке распределения последовательных моментов выхода процессов из парабол с параметром . Такая оценка обеспечивается условием II теоремы 2.2 и марковских свойств допредельных процессов . Аналогичные оценки имеют место также и для предельного процесса .
    1. Пример приложения второго основного утверждения работы


Несмотря на кажущуюся громоздкость условий приведенной теоремы, все они без особого труда проверяются в случае ряда приложений. В работе мы приводим пример применения теорем 1.1 и 2.2.

В качестве аппроксимаций процесса так же, как и в случае примера 2.1 были рассмотрены случайные блуждания.

В качестве были рассмотрены функционалы, которые являются дискретными аналогами локального времени случайного процесса на фрактале, типичным примером которого является множество Кантора. Таким образом, пример приложения основных результатов работы формулируется в следующем виде.

Пусть в условиях Теоремы 1.1 процессы построены так же, как и в Теореме 2.1, а функционалы заданы следующим образом

где

    мера Лебега на прямой, а -множество Кантора.

Теорема 2.3


  1. Предположим, что случайные величины имеют ограниченную на плотность, независимы и одинаково распределены, а для некоторого нормированные суммы вида слабо сходятся к устойчивой случайной величине с параметром .


Тогда для случайных ломаных , которые построены по функционалам имеет место сходимость по распределению в

,

где некоторый -функционал от предельного -устойчивого процесса . Функционал естественно интерпретировать как локальное время процесса на множестве Кантора.


Таким образом, применение основных утверждений работы, теорем 1.1 и 2.2, позволяют получить результаты о сходимости функционалов типа локального времени от цепей Маркова, которые аппроксимируют устойчивые процессы с любыми значениями параметра .


Выводы и результаты
    1. Основные результаты работы


Основными результатами работы являются утверждения 1.1 и 2.2.

Первое утверждение позволяет свести задачу исследования предельного поведения аддитивных функционалов типа локального времени от марковских цепей, которые осуществляют марковскую аппроксимацию однородного процесса Маркова , к исследованию предельного поведения средних значений этих функицоналов.

Второй результат позволяет получить достаточные условия, при которых возможным является применение первого основного результата работы.
    1. Приложение результатов работы


Вместе с основными утверждениями, которые позволяют производить доказательство сходимости функционалов типа локального времени от марковских аппроксимаций для определенного класса процессов и функционалов, существенными являются результаты приложения основных утверждений для конкретных процессов и функционалов.

Доказано, что определенные дискретные аналоги локального времени случайного блуждания на множестве Кантора при определенных условиях общего вида аппроксимирует некоторый функционал на однородном процессе Маркова, который является пределом указанных случайных блужданий.
    1. Дальнейшее применение результатов работы


Аналогично функционалам, рассмотренным в качестве примеров в рамках данной работы, могут быть исследованы другие функционалы, которые имеют вид (1.1). Применение результатов работы также может быть найдено в области исследования разностных аппроксимаций решений стохастических дифференциальных уравнений.

Использованная литература

  1. Дынкин Е.Б. Марковские процессы, Москва; «ФизматГиз», 1963.

  2. Скороход А.В., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий, Киев: «Наукова думка», 1970.

  3. Бородин А.Н., Ибрагимов И.А., Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий, Труды Математического института РАН, т.195, СПб: «Наука», 1994.

  4. Bass R.F., Khoshnevisan D. Local times on curves and uniform invariance principles, Prob. Theory Rel. Fields 92, 1992, c. 465 _ 492.

  5. Cherny A.S., Shiryaev A.N., Yor M. Limit behavior of the "horizontal-vertical"random walk and some extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle. Теория вероятностей и ее применения, т. 47, №3, 2002, с. 498 _ 517.

  6. Kulik A.M. Markov Approximation of stable processes by random walks, Theory of stochastic proccesses, 12(28) (2006), 1-2.

Похожие:

Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconРабочая программа дисциплины сд. Ф. 01 Теория случайных процессов Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов базовых знаний по теории случайных процессов, позволяющих использовать...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconРабочая учебная программа по дисциплине Теория вероятности и математическая статистика
Методы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов являются мощным средством решения прикладных задач....
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconУтверждаю декан фпмк а. М. Горцев "1" марта 2011 г
Изучение формального математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, возможности его использования в процессе...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconСамостоятельная работа 2 часа в неделю
Курс прикладной статистики является логичным продолжением курсов теории вероятностей, теории случайных процессов и математической...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconИзбранные главы теории вероятностей
Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconВ настоящее время компьютерное моделирование физических процессов находит все более широкое применение при решении самых различных задач. Фактически его можно
Фактически его можно считать новым способом познания, позволяющим на соответствующих моделях детально исследовать различные аспекты...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconРабочая программа дисциплины «Электротехника»
Целью дисциплины является формирование знаний студентов по основам теории электрических цепей и сигналов, магнитных цепей, электромагнитного...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconТомский государственный университет факультет прикладной математики и кибернетики утверждаю
Для изучения курса необходимо усвоение студентами теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории вероятностей, теории...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. iconК оценке вероятностных характеристик случайных процессов
Как известно, с помощью характеристической функции проще находить моменты распределений, используя которые можно определить интересующие...
Исследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время. icon§ Правила личной безопасности при пожаре
В настоящее время накоплен довольно обширный опыт и разработаны рекомендации по правилам безопасного поведения во время пожара. Каждому...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница