Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11




Скачать 420.2 Kb.
НазваниеIii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11
страница6/6
Дата16.03.2013
Размер420.2 Kb.
ТипИсследование
1   2   3   4   5   6

ВНИМАНИЕ В выражении, обведенном овалом я нашёл площадь этого самого прямоугольника, ограниченного линиями у=6, х=х(t1) и х=х(t2). Всего лишь длину (у=6) умножил на ширину: . Нужно помнить, что вычитать надо не параметры t2 - t1 , а значение функции х от этих параметров!!!




Поработаем теперь с полярными координатами (16.15). Здесь нужно найти площадь, ограниченную следующими функциями, заданными в полярных координатах: .

Для начала построим их графики:

1
Предел изменения радиуса
. Выбираем из панели Graph оператор построения полярного графика: В появившемся на рабочем лисе окна построения полярного график а начинаем заполнять метки: В метку, обведённую прямоугольником заносим аргумент функции, т.е. - два раза (ставя запятую) так как у нас две функции, в обведённую овалом сами функции через запятую (я заранее определять их я не стал). Далее по аналогии с полярным графиком щёлкаем два раза в окне, где построен график и выбираем в меню форматирования графиков пункт пересечение. В этом примере я рекомендую увеличить предел изменения радиуса до 2, 5 (указан стрелкой на рисунке). В результате выполнения этих действий должно получиться примерно следующее:



Искомая площадь заштрихована на рисунке.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА В полярных координатах S=.

Как видно из рисунка (это можно легко доказать и с помощью математики: поу словию мы считаем радиус r всегда положительным, т.е. и . Значит, решая тригонометрическое уравнение и, находя так называемое главное решение, имеем: .) пределы интегрирования есть и . Искомая площадь получается вычитанием из большой окружности маленькой, т.е. S=.

В задании 17.15 нужно вычислить длину дуги, заданной в декартовом ортонормированном базисе.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА Lв декарт. коорд.= .

Действуем стандартным методом:

  1. Определяем функцию , где по условию. Здесь даже нет необходимости строить график – пример только лишь на применение формулы.

  2. Вводим соответствующую формулу:

  3. Нажимаем CTRL+, ввод и получаем ответ: . Для удобства я посчитал его в численной форме.

ПРИМЕЧАНИЕ У меня почему-то в этом примере, когда я после определения функции, стал считать отдельно символьно y’, программа в качестве ответа писала следующее: . Наверное, это связано с тем. что она брала какие-то данные из других номеров (я делал их все в одном файле), в то время, как создав новый документ. Расчёт был произведён правильно.

В примере 18.15 необходимо вычислить длину дуги L, но функции заданы уже в параметрической форме.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА Lпар. ф.= .

Определяем зависимость у и х от t, т.е функции , . По условию - это и будут наши пределы интегрирования. Далее вводим соответствующую формулу, нажимаем  и получаем символьный результат: . Опять же, считаю, что нет необходимости строить график – пример только на применение формулы.

Разберём последний пример в этой главе – 19.15. Здесь мы имеем дело с функцией, заданной в полярных координатах: .

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА Lпол. к.= .


По условию имеем, что . Для наглядности привожу график этой функции:




Синим и зелёным пунктиром построены пунктиром построены графики прямых соответственно φ= и φ=0, являющихся, по-существу, пределами интегрирования. Сама кривая называется кардиоида.

Осталось ввести формулу и получить результат: .

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным. Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Интегрирование, дифференцирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе, что очень удобно

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести -°° (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD. Конечно, символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций. Но далее мы углубляться не будем. Ибо это уже не простейшие вычисления.

ГЛАВА V

НЕМНОГО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБЫ.


И в заключении хочу рассмотреть один пример из линейной алгебры (9.15). Одной из основных задач линейной алгебры является нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы. Нам дана квадратная матрица: . Требуется найти её собственные вектора и соответствующие им собственные значения.

Очевидно, первое, что нам нужно сделать – это ввести матрицу. Набираем на клавиатуре любую, желательно, латинскую букву (этой букве мы присвоим (определим) нашу матрицу – также бы мы сделали на бумаге для уменьшения громоздкости выкладок), оператор присваивания , нажимаем на кнопку с изображением матрицы (если данная панель не видна, щёлкаем левой кнопкой мыши на похожем значке в панели математика). В появившемся диалоговом окне «вставить матрицу» в русской версии: или в соответствующем окне в английской версии: задаем количество строк и количество столбцов в матрице и нажимаем OK или INSERT (вставить) и матрица появляется на рабочем листе в таком виде: . Щёлкаем мышью по первой метки и вводим первый элемент матрицы с клавиатуры. Перемещаясь клавишей TAB по меткам вводим последовательно остальные её элементы: . Далее используем спец.функции MathCAD.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА: По существу мы должны решить следующее уравнение в матричной форме: . Чтобы столбец векторов имел не тривиальное (нулевое) решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A был равен 0.

Нам потребуются всего лишь две функции: - eigenvals (A) – находит вектор собственных чисел матрицы А, и eigenvec(A, λ) – находит собственные вектора. Соответствующие данному числу λ.

Из меню вставка выбираем пункт «функция» (или щелкаем на значок функции в панели STANDART (стандартная)). В появившемся диалоговом окне из меню «категория функций» выбираем пункт «VECTOR and MATRIX», а из меню «названия функции сначала функцию с названием eigenvals и нажимаем ENTER:


На рабочем листе появится следующее: . В метку вводим ту букву, какую присвоили в начале матрице. Нажимаем = с клавиатуры и получаем ответ: .

Далее вставляем функцию с названием eigenvec по той же схеме. В первую метку вводим букву, соответствующую матрице, во вторую первое собственное значение, т.е. 7. Нажимаем = и получаем ответ: Эти действия необходимо повторить для двух других собственных значений: , .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Описанные мною действия, как многим может показаться, демонстрируют использование MathCAD в качестве обычного калькулятора с расширенным набором функций. Но это не так!

MathCAD может использоваться для оцифровки звука из звуковых файлов, для вставки и редактирования рисунков и т.д. К сожалению, остались не рассмотрены эти и многие другие возможности MathCAD - линейная и не линейная регрессия, возможности по работе с трехмерной графикой, функции нескольких переменных, работа с циклами… Это связано с ограниченностью по времени и размеру данной работы, ибо вообще-то это – курсовой проект. Эти и многие другие темы подробно рассмотрены в Центре ресурсов (к сожалению, он на английском языке).

Конечно, те возможности, которые я попытался описать выше (удачно или нет – судить вам) составляют вряд ли 10 % от всего того, что можно делать с помощью программы. Ведь, по существу, считая даже простенький интеграл на MATHCAD, мы составляем именно свою программу (жалко, что она не может быть откомпилирована, т.е. стать независимым приложением).

Может быть, опытным пользователям покажется, что данное пособие написано уж через чур подробно, но я рассчитывал на неподготовленных читателей, и вообще это пособие может послужить началом к более крупной и серьёзной работе, в которой будут описываться все, в том числе и расширенные возможности MATHCAD. А пока на это нет времени…

Теперь о том, что я думаю о 2001 версии MathCAD. Быть может это моё субъективное мнение, но MathCAD 2000 мне показался лучше. Я работал с полурусифицированной английской версией MathCAD 2000, затем с 2001-й версией, но она хоть и русифицирована больше и качественней, каких-то сверхновых функций не имеет (добавлены спецфункции по работе со звуком, графикой, WEB), а установка MATHCAD 2001 стала намного сложнее. Насчёт возможностей: какие-то номера я делал в 2001, какие-то в 2000-й и разницы не почувствовал. Плохо то, что документ, сделанный в 2001 версии никогда не открывается в 2000-й, а документ, сделанный в 2000-й не всегда откроется в 2001. Кроме всего этого, MathCAD-2001 думает почему-то намного дольше 2000-го (возможно. Это связано с реализацией новых алгоритмов)

Можно сделать вывод, который уже как бы неявно фигурировал с самого вступления - для профессионального математика, возможно, что функций и возможностей MathCADа покажется недостаточным, а для студента, не проводящего ни каких суперрасчётов - чтобы проверить тот же самый Типовой Расчёт, вполне хватит. Более серьезным вычислителям можно порекомендовать использовать такие пакеты как MATLAB, MAPLE и др.

На этом считаю необходимым завершить этот кратенький очерк о MathCAD. Спасибо, до свидания…


1   2   3   4   5   6

Похожие:

Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconТема №113: Преобразования графиков функций в школьном курсе математики Примерное содержание
Преобразование графиков с деформациями: построение графиков y = af (X), y = f (ax). Построение графиков функций с модулями: y =...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПреобразование графиков функций
Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconНаучно-практическая конференция «Старт в науку» Секция: информатика
Построение рисунка полученного при построении нескольких графиков функций в одной системе координат
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля»
Программа курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» адресована учащимся 9 класса, имеющим интерес к изучению...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconIii. Нахождение области определения, области значения обратных тригонометрических функций, построение их графиков
Функция у = sin Х монотонна и принимает все значения от -1 до 1 на отрезке-;; Значит, по теореме об обратных функциях она обратима,...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconТики моу «сош №14» г. Чебоксары Пузариной В. С. по теме «Преобразование графиков функций»
Упражнения Построение графика функции y= -f(X) Построение графика функции y=f(-X)
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма вступительн ого экзамена по математике
Неравенства с одной переменной. Решение линейных и квадратных неравенств с одной переменной
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 icon5. Решение уравнений графическим способом
С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций,...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПлан-конспект урока взаимное расположение графиков линейных функций
...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма междисциплинарного государственного экзамена по специальности 090102 Компьютерная безопасность блок 1
Непрерывность действительных функций одной действительной переменной. Классификация точек разрыва. Свойства функций непрерывных на...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница