Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11




Скачать 420.2 Kb.
НазваниеIii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11
страница4/6
Дата16.03.2013
Размер420.2 Kb.
ТипИсследование
1   2   3   4   5   6

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ


Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе MathCAD, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL или CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом. Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например функции f(x)=l/x это будут точки вблизи х=о. При попытке найти ее производную при х=о будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, вы делите на ноль) Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10100, то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что вы не имеете дело с точкой сингулярности.


В заключении этой главы хочу привести пример ТИПИЧНОЙ ОШИБКИ:

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример:



Его первые две строки вычисляют производную cos(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной cos(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции cos(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому MathCAD воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения косинуса в точке х=0. 5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен - в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

ГЛАВА III

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ.

В начале данной главы, считаю необходимым поместить краткую математическую справку, так как думаю, что большинство читателей не помнят наизусть ни только плана исследования функции, ни, уж тем более, многих математических формул и выкладок. Поэтому, чтобы не затруднять поисками читателей в разных математических справочниках, и, чтобы не быть голословным, привожу далее основные математические данные, необходимые для понимания этой главы. Я ограничился самыми минимальными рассуждениями, необходимыми для понятия данной главы.

В чём же состоит основная задача исследования функции? Как я считаю, что эта задача является выполненной, когда по найденным аналитическим путём данным (максимумов, минимумов, промежутков возрастания, и т. д.), мы знаем поведение функции на всех промежутках интервала, на котором она определена, т. е., можем построить её график. Поэтому, прежде чем пытаться исследовать функцию на MathCADе, советую на первое время проанализировав её вручную и построив график, сравнить полученные результаты с графиком, построенным MathCAD. Если видно несоответствие, следует искать ошибку (прежде всего у себя, т. к. вероятность ошибки MathCAD мала – он строит графики, разлагая функции в ряд и аппроксимируя их).

В принципе, в MathCAD, для того, чтобы построить график, необязательно исследовать функцию. Можно всё сделать буквально нажатиями трёх кнопок (описано ниже). Но это не интересно. Гораздо интереснее, сначала проанализировав функцию (возможностями программы), прикинуть её график, а потом построить его, и посмотреть, всё ли в порядке.

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Сразу отмечу, что некоторые пункты плана можно опускать. Например, зачем у степенной функции у=ах искать период?

I.

  1. область определения функции;

  2. область значения функции;

  3. чётность – нечётность;

  4. периодичность;

  5. асимптоты;

  6. точки пересечения графика с осями координат;

II. Исследование функции по 1-ой производной:

  1. участки монотонности (возрастания, убывания);

  2. максимумы, минимумы;

III. Исследование функции с помощью второй производной:

выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Поясню некоторые пункты плана. С областью определения, значения, чётностью, периодичностью, точками пересечения графика с осями координат, надеюсь, всё понятно (кому нет – обратитесь за помощью к учебным пособиям по мат. анализу, благо таковых куча).

Затруднения, на мой взгляд, из I части исследования могут вызвать асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между переменной точкой кривой и этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.

Асимптоты разделяются на вертикальные и наклонные (горизонтальные асимптоты есть частный случай наклонных асимптот).

Откуда приходим к ПРАВИЛУ 1: для отыскания вертикальных асимптот, нужно найти те значения х, при которых функция обращается в бесконечность (lim y(x)  ). Их может быть бесконечно много.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconТема №113: Преобразования графиков функций в школьном курсе математики Примерное содержание
Преобразование графиков с деформациями: построение графиков y = af (X), y = f (ax). Построение графиков функций с модулями: y =...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПреобразование графиков функций
Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconНаучно-практическая конференция «Старт в науку» Секция: информатика
Построение рисунка полученного при построении нескольких графиков функций в одной системе координат
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля»
Программа курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» адресована учащимся 9 класса, имеющим интерес к изучению...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconIii. Нахождение области определения, области значения обратных тригонометрических функций, построение их графиков
Функция у = sin Х монотонна и принимает все значения от -1 до 1 на отрезке-;; Значит, по теореме об обратных функциях она обратима,...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconТики моу «сош №14» г. Чебоксары Пузариной В. С. по теме «Преобразование графиков функций»
Упражнения Построение графика функции y= -f(X) Построение графика функции y=f(-X)
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма вступительн ого экзамена по математике
Неравенства с одной переменной. Решение линейных и квадратных неравенств с одной переменной
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 icon5. Решение уравнений графическим способом
С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций,...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПлан-конспект урока взаимное расположение графиков линейных функций
...
Iii «исследование функций одной переменной. Построение графиков» 11 iconПрограмма междисциплинарного государственного экзамена по специальности 090102 Компьютерная безопасность блок 1
Непрерывность действительных функций одной действительной переменной. Классификация точек разрыва. Свойства функций непрерывных на...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница