К оценке вероятностных характеристик случайных процессов




НазваниеК оценке вероятностных характеристик случайных процессов
страница1/32
Дата27.04.2013
Размер3.07 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ


Председатель ЁC д.ф.-м..н. Алероев Т.С.


К ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Шириков В.Ф., Зарбалиев С. М.


Московский государственный университет прикладной биотехнологии


Многие процессы, связанные с телеизмерением и обработкой информации, например, выделение сигналов из шумов, оптимальная фильтрация, помехоустойчивость передающих устройств и т.д. требуют знания вероятностных характеристик сигналов и помех. Эти характеристики могут быть получены методами статистического оценивания параметров случайных процессов. Однако, многие из применяемых методов статистического оценивания различных характеристик сигналов имеют определенные недостатки. К их числу можно отнести следующие: наличие ошибок, обусловленных квантованием процесса на конечное число уровней; потеря информации, обусловленная дискретной выборкой; узкая полоса частот исследуемых сигналов; необходимость аппроксимации графических изображений искомых характеристик для получения их аналитических выражений и др.

В некотором смысле свободны от указанных недостатков методы оценивания вероятностных характеристик, основанные на использовании отсчетных значений характеристической функции этого процесса. Использование оценок характеристических функций целесообразно при определении статистических характеристик смесей сигналов и помех. Вместо сложных и громоздких интегралов свертки, имеющих место при определении закона распределения смеси, мы получаем произведение характеристических функций аддитивных составляющих. Как известно, с помощью характеристической функции проще находить моменты распределений, используя которые можно определить интересующие нас вероятностные характеристики случайных процессов.

С этой целью рассмотрим расчетные алгоритмы получения оценок этих моментов, основанных на отсчетных значениях характеристической функции сигнала. При этом здесь будут приведены алгоритмы только для начальных моментов, так как центральные моменты могут быть выражены через начальные.

Как известно, начальный момент распределения вероятностей случайного сигнала порядка “p” представляется соотношением [1]:

µ §, (1)

где µ § ЁC плотность вероятностей случайного сигнала.

В свою очередь, плотность вероятностей случайного сигнала выражается следующим образом через одномерную характеристическую функцию µ § того же сигнала:

µ §, (2)

где µ § ЁC аргумент характеристической функции.

Очевидно, что реальные случайные сигналы имеют ограниченные мгновенные значения. Следовательно, плотность вероятностей реальных сигналов можно считать с вероятностью сколь угодно близкой к единице, заключенной в некотором конечном промежутке значений “µ §”

µ § (3)

Учитывая, что функция µ § на промежутке µ § удовлетворяет условиям Дирихле, её можно разложить на этом промежутке в сходящийся ряд Фурье. Коэффициенты разложения являются элементарными функциями оценок отсчетов характеристической функции через интервалы µ §, равные

µ §. (4)

Тогда в качестве оценки плотности вероятностей случайного сигнала примем выражение [3]

µ §, (5)

где µ § ЁC некоторая оценка отсчетов одномерной характеристической функции, которая получается в результате измерения либо вычисления на ЭВМ по реализациям случайного сигнала [2]; µ § ЁC отсчетные значения аргумента характеристической функции, определяемые выбранным интервалом отсчетов µ § и их количеством “µ §”:

µ §. (6)

Представив оценку µ § в виде действительной и мнимой части, выражение (5) можно записать в виде

µ §, (7)

где µ § и µ § ЁC оценки отсчетных значений соответственно действительной и мнимой составляющих характеристической функции.

Выражение (7) можно использовать в качестве алгоритма для расчета плотности распределения вероятностей случайных сигналов с помощью вычислительных средств. При этом предварительно рассчитываются оценки µ § и µ § по реализациям сигналов.

В силу свойства (4) за оценки моментов распределения можно принять функционал

µ §. (8)

Подставив (7) в соотношение (8), получим выражение для оценки начальных моментов в виде

µ §,(9)

где µ § ЁC число выбранных отсчетов случайного сигнала.

Если ввести нормировку значений сигнала вида µ § и µ §, то оценка (7) примет вид

µ §. (10)

Из представления (9) следует, что все четные моменты определяются только действительной, а все нечетные ЁC только мнимой частью характеристической функции. В частности, оценки для первых двух моментов имеют вид

µ §, (11)

µ §. (12)

Важнейшей статистической характеристикой случайного сигнала является его корреляционная функция. Она позволяет установить схему связей всех параметров сложной системы. В связи с этим возникает задача получения оценок корреляционных функций случайных сигналов. При отсутствии специализированных корреляторов нахождение оценок корреляционных функций может быть выполнено с помощью вычислительной техники.

Получим алгоритм вычисления оценки корреляционной функции, выраженной через отсчетные значения характеристической функции.

Известно, что корреляционная функция µ § случайного сигнала связана с двумерной плотностью вероятностей того же сигнала следующим соотношением:

µ §. (13)

Учитывая условие (3), в качестве оценки корреляционной функции случайного сигнала примем функционал

µ §, (14)

где µ § ЁC оценка двумерной плотности вероятностей сигнала µ §, а µ §, µ §µ §.

По аналогии с одномерной плотностью выразим оценку двумерной плотности вероятностей через отсчетные значения двумерной характеристической функции того же сигнала

µ §, (15)

где µ § и µ § ЁC оценки соответственно действительной и мнимой составляющих двумерной характеристической функции, вычисленные по реализациям сигналов; µ §, µ § ЁC отсчетные значения характеристической функции; µ §, µ § ЁC интервалы отсчетов характеристической функции.

Далее подставим (15) в соотношение (14), в результате будем иметь

µ §µ §. (16)

Найдем отдельно двойные интегралы:

µ §

Вычислим внутренний интеграл

µ §µ §µ §.

Найдем интеграл µ §:

µ §

µ §.

Вычисляя аналогично второй интеграл в выражении (16), можно показать, что он равен нулю, т.е.

µ §. (18)

Тогда с учетом (17) и (18) оценка (16) примет вид

µ §. (19)

Оценка действительной части двумерной характеристической функции стационарного сигнала, удовлетворяющего условиям эргодичности, может быть представлена в виде

µ §, (20)

где T ЁC промежуток усреднения.

Дискретным аналогом оценки (20) является алгоритм

µ §, (21)

который можно использовать для расчета на ЭВМ отсчетных значений двухмерной характеристической функции по реализациям сигналов. Нетрудно убедиться, что оценки (20) и (21) являются состоятельными и несмещенными. Оценка корреляционной функции стационарного сигнала, выраженная через оценку (20), имеет вид

µ §. (22)

Оценка (22), являющаяся элементарной функцией оценок отсчетных значений двухмерной характеристической функции, очевидно, является состоятельной. В общем случае она при реальной усредняющей системе является смещенной. Относительная систематическая ошибка определяется характеристической функцией сигнала и её можно сделать сколь угодно малой при неограниченном увеличении числа отсчетов.

Дисперсия оценки, характеризующая её статистическую точность, равна

µ §

µ §, (23)

где µ § ЁC оценка действительной части четырехмерной характеристической функции случайного сигнала.

Таким образом, полученные алгоритмы (11), (12), (23) могут быть использованы для расчета на ЭВМ математического ожидания, дисперсии корреляционной функции случайного процесса.


ЛИТЕРАТУРА

Бендат Д., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. ЁC М.: Мир, 1971.

Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. ЁC М.: Энергия, 1972.

Гольдберг Н.И., Шириков В.Ф. Расчет точности статистической оценки характеристических функций сигналов и помех. Сб. Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. ЁC Тула: ТПИ, 1982.


О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НА ОСНОВЕ БЕССЕТОЧНЫХ МЕТОДОВ В ЗАДАЧАХ  ПРОЧНОСТИ
Кукушкин А.В., Левин В.А.


Тульский Государственный Университет,

Московский Государственный Университет


Описываются бессеточные методы, пригодные для решения нелинейных задач теории упругости. Дается сравнение алгоритмов бессеточного метода и метода конечных элементов. Обсуждаются достоинства и недостатки применения этих методов для нелинейных задач теории упругости. Подробно рассматривается один из бессеточных алгоритмов, основанный на использовании метода Галеркина с применением аппроксимации перемещений методом наименьших квадратов. Рассматривается его использование для решения плоской задачи теории упругости [1,2].

Суть алгоритма заключается в следующем. По области и по границе произвольным образом распределяются точки, для которых будут искаться перемещения (узлы). В области и на границе распределяются «квадратурные» точки, которые используются в квадратурных формулах вычисления интегралов. Далее для всех квадратурных точек находятся значения функций формы, реализующие аппроксимацию перемещений по узлам методом наименьших квадратов. Подстановка аппроксимированных значений перемещений в выражение вариации работы приводит его к системе нелинейных (для нелинейной задачи) алгебраических уравнений, решение которой даёт перемещения в узлах. Затем с помощью найденных функций формы определяются перемещения, деформации и напряжения в квадратурных точках.

Приводятся примеры решения тестовых задач, дается их сравнение с решением задач другими методами. Обсуждается использование метода для динамических задач при отколе части тела.

ЛИТЕРАТУРА

Liu Giu-Rong. Mesh free methods: moving beyond the finite element method. CRC Press. New York, 2003.

Fracture and crack growth by element free Galerkin methods T. Belytschko, L. Gu, Y.Y.Lu // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. ЁC V.2, N.3A(01). ЁC PP.519-534, 1994

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. ЁC М.: Высшая школа, 1994.


МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНЫХ СВОЙСТВ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ И ИХ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИИ
Бредихин И.О., Зингерман К.М., Левин В.А., Лохин В.В.


Тульский Государственный Университет, Тверской Государственный Университет,

Московский Государственный Университет


Рассматриваются методы и алгоритмы оценки эффективных свойств пористых материалов при конечных деформациях и их перераспределении. Определение эффективных свойств основывается на осреднении по ансамблю [3]. Данное осреднение применялось для нелинейно-упругого материала. Для вязкоупругого материала эффективные свойства определяются в течение времени деформирования тела. При разработке методов учтены результаты, полученные для нелинейно-упругого пористого материала [4,6,8,9]. Для постановки и решения задач используется аппарат теории многократного наложения больших деформаций [3,7].

Анализируются результаты решения задачи для несжимаемого вязкоупругого материала в виде модельного определяющего соотношения. Данное соотношение представляет собой «обобщение» соотношений нелинейной теории упругости. Ядром является четырехпараметрическое ядро Колтунова [2].

Конкретные расчеты проведены с использованием специализированного программного комплекса «Наложение», для которого разработан программный модуль для определения эффективных свойств (программная реализация в среде Delphi 7.0) [5,6]. Также применялся пакет символьных вычислений Mathematica 5.0. В качестве исходного материала использовались соотношения, предложенные А.А. Адамовым для полидибууритана [1].

Анализируется влияние начальных данных задачи (свойства исходного материала, пористость, параметры осреднения по ансамблю) на время получения результатов, ресурсы вычислительной техники.


ЛИТЕРАТУРА

Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. ЁC Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411с.

Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. ЁC М.: Высшая школа, 1976.- 277 с.

Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, Физматлит, 1999. - 224 с.

Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН, 2002. ЁC Т. 382, № 4. ЁC С. 482.

Левин В.А, Калинин В.В., Зингерман К.М., Вершинин А.В. (Под редакцией В.А. Левина) Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. ЁC М.: Физматлит. 2007. - 392с.

Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М., Бредихин И.О. Эффективные свойства упругих материалов, содержащих поры и включения, при конечных деформациях и их наложении // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2006. ЁC Т. 12. ЁC Вып. 2. ЁC С.75.

Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. (Под редакцией В.А. Левина) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. ЁC М.: Физматлит, 2004. - 407с.

Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective elastic properties of porous materials with randomly disposed pores. Finite deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. Vol. 67. №4. P. 667-670.

Levin V.A., Zingerman K.M. Effective constitutive equations for porous elastic materials at finite strains and superimposed finite strains // Trans. ASME. (The American Society of Mechanical Engineers). Journal of Applied Mechanics. 2003. V. 70, No. 6. р. 982-985.


АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ
Джураев А.М.

Ошский государственный университет


Создание математических моделей реальных процессов является важным направлением современной прикладной математики. Для анализа этих моделей часто используются асимптотические методы. В настоящее время асимптотические методы имеют достаточно развитую теорию. В работе сделан анализ развития теории возмущений на примере сингулярно-возмущенного уравнения вида

µ § (1)

при еЎж+0. Здесь A(t) ЁC квадратная матрица порядка n. Матрицу A(t) структурно можно представить в одном из следующих направлений:

I.µ §, например, µ §.

Матрица диагонализуема, её собственные значения меньше нуля. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функции exp{µ §} и ставится начальная задача. Это направление изучено в работах А.Н. Тихонова, М.И. Иманалиева,

С.А. Ломова, К.А. Касымова, В.Ф. Сафонова, М.В. Федорюк и других.

II. лk(t)=л(t), k=1,ЎK,n, Re л(t)< 0, напр. µ §;

Матрица жордановой структуры имеет кратное собственное значение меньше нуля. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функцию (1/µ §)exp{µ §} и ставится начальная задача. Это направление изучено в работах Я.Д. Тамаркина, У. Трджинского, Х.Л. Территина, В.А. Треногина,

Н.Н. Шкиля, Н.Н. Моисеева, С.А. Ломова, А.Г. Елисеева и других.

III.µ §напр.µ §;

Матрица диагонализуема, её собственные значения ЁC различного знака. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функций exp{-t/ѓХ}, exp{(t-1)/ѓХ} и ставится краевая задача. Это направление изучено в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова и других.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

Похожие:

К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconРабочая учебная программа по дисциплине Теория вероятности и математическая статистика
Методы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов являются мощным средством решения прикладных задач....
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconРабочая программа дисциплины сд. Ф. 01 Теория случайных процессов Закреплена за кафедрой: математики. Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 230401(073000) «Прикладная математика (ПМ)»
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов базовых знаний по теории случайных процессов, позволяющих использовать...
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов icon1. Моделирование случайных процессов
Дискретные модели линейных стационарных систем и стационарных случайных процессов 32
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconИсследование предельного поведения функционалов от цепей Маркова является относительно новым направлением теории случайных процессов, интенсивно развивающимся и популярным в настоящее время.
Данная работа тематически относится к разделу теории случайных процессов, который исследует предельное поведение аддитивных функционалов...
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconУтверждаю декан фпмк а. М. Горцев "1" марта 2011 г
Изучение формального математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, возможности его использования в процессе...
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconТеория случайных процессов
Случайные элементы и их распределения. Случайный процесс как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconНаучного
О задачах скорейшего обнаружения момента изменения вероятностных характеристик наблюдаемого процесса
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconЗакономерные изменения формы гистограмм при исследовании случайных процессов
Закономерные изменения тонкой структуры статистических распределений в случайных процессах, как следствие арифметических и космофизических...
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconМоделирование случайных процессов как средство формирования готовности применения математических знаний при изучении дисциплин технологического профиля
Моделирование случайных процессов как средство формирования готовности применения
К оценке вероятностных характеристик случайных процессов iconПлан лекций 1 семестра для студентов лечебного, военно-медицинского педиатрического и медико-профилактического факультетов
Виды случайных событий, теоремы сложения и умножения. Формула Байеса. Виды распределения случайной величины. Принципы вероятностных...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница