Решение систем линейных алгебраических уравнений




Скачать 241.58 Kb.
НазваниеРешение систем линейных алгебраических уравнений
Дата31.08.2012
Размер241.58 Kb.
ТипРешение

Informācijas Sistēmu Menedžmenta Augstskola






MA 0312

Высшая математика


1. Описание курса



Augstākā matemātika

Higher Mathematics

Высшая математика




1.

Уровень учебного курса

A

2.

Кредитные пункты

4

3.

Авторы курса

Доцент, Dr. math. E. Козьмина

4.

Форма проверки знаний

Зачет, экзамен.

5.

Предварительные знания

Элементарная математика.

6.

Аннотация


Цели и задачи курса:

  • познакомить студентов с математической символикой, развить умение корректно осуществлять математическую формализацию;

  • развить аналитические способности студентов при работе с математическими формулами и математическими моделями;

  • дать возможность студентам освоить основные понятия высшей математики, используя четкие определения, их геометрическую, физическую и экономическую интерпретацию, логическую связь между разными понятиями;

  • познакомить студентов с возможностями применения методов линейной алгебры и математического анализа,

  • подготовить студентов к изучению предметов, использующих высшую математику.

Компетенции:

  • действия с матрицами;

  • решение систем линейных алгебраических уравнений;

  • алгебраические преобразования математических выражений;

  • нахождение пределов числовых последовательностей и функций;

  • дифференцирование функций,

  • применение пределов и производных к исследованию функций и построению графиков функций;

  • применение дифференциалов для приближенного вычисления значений функции;

  • интегрирование функций,

  • применение интегралов к вычислению площади фигур;




7.

Код курса

MA 0312


8. Содержание курса




Название темы




Часть 1.

  1. Матрицы. Линейные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц.

  2. Определители второго порядка. Определители третьего порядка, приавило Саррюса. Свойства определителей третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей третьего порядка разложением по строке или столбцу.

  3. Квадратнае матрицы.Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы.

  4. Системы линейных алгебраических уравнений. Запись системы линейных уравнений в матричном виде. Методы решения систем линейных алгебраичесих уравнений: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.

  5. Применение линейной алгебры в экономике: использование матричной алгебры, использование систем линейных алгебраических уравнений, модель Леонтьева многоотраслевой экономики, продуктивные модели Леонтьева.

  6. Функция одной переменной. Область определения функции. Множество значений функции. График функции. Четные и нечетные функции. Периодическая функция. Обратная функция. Классификация элементарных функций.

  7. Линейная функция. Линейные неравенства с двумя переменными. Задачи линейного программирования и их применение в экономике.

  8. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над пределами. Вычисление предела числовой последовательности, раскрытие неопределенностей.

  9. Предел функции в точке.

  10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Раскрытие неопределенностей.

  11. Замечательные пределы.

  12. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва, их классификация. Вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты.







Часть 2.

  1. Производная функции. Геометрический, физический и механический смысл производной. Правила вычисления производных. Производные элементарных функций. Производная сложной функции.

  2. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

  3. Производные более высоких порядков.

  4. Интервалы возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Необходимое условие существования точки экстремума дифференцируемой функции.

  5. Достаточные условия возрастания и убывания функции. Достаточные условия существования точек экстремума функции.

  6. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции.

  7. Общая схема исследования и построения графика функции.

  8. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке.

  9. Применение понятия производной в экономике: максимальная прибыль, эластичность функции, эластичность спроса относительно цены.

  10. Первообразная и неопределенный интеграл.Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла.

  11. Задача, приводящая к определенному интегралу. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла.

  12. Применение определенного интеграла к вычислению плошадей фигур, ограниченных заданными функциями.




9.

Требования к слушателям

Для получения кредитных пунктов необходимо:

  • 5 домашних работ40%

  • теоретический минумум10%

  • зачет и экзамен50%

10.

Литература

  1. Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1. ISMA, Рига, 2002.

  2. Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 2. ISMA, Рига, 2004.

  3. Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.Питер,2008, 464 стр.

  4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. Юнити. Москва. 2000. 471 стр.

  5. Кудрявцев В.А, Демидович Б.П, Краткий курс выcшей математики, М, “Наука”, 1996. 575 стр.

  6. Макаров С.И. Математика для экономистов. Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.





2. Методический план курса




Название темы

Литература:


книги, лекции, e-books, web-sites и т. д.




Часть 1.




1.

Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами.


Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 1). ISMA, Рига, 2002.

Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 1) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 8). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.


2.

Определители второго порядка. Определители третьего порядка, правило Саррюса. Свойства определителей третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей третьего порядка разложением по строке или столбцу.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 1). ISMA, Рига, 2002.

Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 1) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 8). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.

3.

Квадратные матрицы. Определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.


Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 1). ISMA, Рига, 2002.

Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 1) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 8). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.

4.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы с помощью формул Крамера. Запись системы линейных уравнений в матричном виде. Решение системы с помощью обратной матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Решение системы методом Гаусса.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 1). ISMA, Рига, 2002.

Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 1) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 8). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.

5.

Применение линейной алгебры в экономике: использование матричной алгебры, использование систем линейных алгебраических уравнений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики: балансовые соотношения, линейная модель многоотраслевой экономики, продуктивные модели Леонтьева.


Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 2) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 8). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.

6.

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей. Арифметические операции над пределами. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Вычисление предела числовой последовательности, раскрытие неопределенностей.


Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 4). ISMA, Рига, 2002.

7.

Функция одной переменной. Область определения функции. Множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Четные и нечетные функции. Периодическая функция. Элементарные функции. Обратная функция. Сложная функция.


Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 4). ISMA, Рига, 2002.

8.

Применение функций в экономике: производственные функции, кривые спроса и предложения, точки равновесия, паутинная модель рынка. Линейная функция. Линейные неравенства с двумя переменными. Задачи линейного программирования и их применение в экономике.


Кросс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов (глава 4) Питер,2008, 464 стр.

Макаров С.И. Математика для экономистов (глава 1). Кнорус. Москва. 2008. 264 стр.

9.

Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции в точке. Замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычислении пределов.


Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 4). ISMA, Рига, 2002.

10.

Непрерывность функции в точке и на интервале. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 4).ISMA, Рига, 2002.




Часть 2.




11.

Приращение функции. Производная функции в точке. Геометрический, физический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Производные некоторых элементарных функций. Таблица производных. Производная от суммы,

разности, произведения и частного функций.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 5). ISMA, Рига, 2002.

12.

Производная от сложной функции. Односторонние производные. Бесконечные производные. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 5).ISMA, Рига, 2002.

13.

Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции на интервале. Достаточные условия монотонности функции. Точки экстремума функции. Необходимое условие существования точки экстремума функции. Достаточное условие существования точки экстремума функции.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 5). ISMA, Рига, 2002.

14.

Производные высших порядков. Выпуклость и вогнутость функции на промежутке. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба функции.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 5). ISMA, Рига, 2002.

15.

Общая схема исследование функции и построение графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 1 (глава 5).ISMA, Рига, 2002.

16.

Применение понятия производной в экономике: максимальная прибыль, эластичность функции, эластичность спроса относительно цены.


Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов (глава 7). Юнити. Москва. 2000. 471 стр.

17.

Первообразная и неопределенный интеграл.Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Свойство инвариантности неопределенного интеграла. Простейшие приемы интегрирования.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 2 (глава 6). ISMA, Рига, 2004.

18.

Задачи, приводящая к определенному интегралу. Определенный интеграл, определение. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.


Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 2 (глава 6). ISMA, Рига, 2004.

19.

Применение определенного интеграла к вычислению плошадей фигур, ограниченных заданными функциями.

Кудрявцев В.А, Демидович Б.П. Краткий курс выcшей математики. М. “Наука”, 1996. 575 стр.

Кованцов А.Н. Основы выcшей математики, Книга 2 (глава 6). ISMA, Рига, 2004.




  1. Методические рекомендации



Часть 1.

  1. Подготовить ответы на вопросы теоретического минимума, часть 1.

  2. Выполнить домашнюю работу № 1.

  3. Сдать выполненные задания (теоретический минимум и домашнюю работу) на проверку.

  4. Выполнить домашнюю работу № 2 и сдать ее на проверку

  5. Выполнить зачетную работу линейной алгебре и теории пределов.

  6. Для получения зачета должны быть выполнены пункты 1)-5).


Часть 2.

  1. Подготовить ответы на вопросы теоретического минимума, часть 2.

  2. Выполнить домашнюю работу №3.

  3. Сдать выполненные задания (теоретический минимум и домашнюю работу) на проверку.

  4. Выполнить домашнюю работу №4.

  5. Сдать выполненную домашнюю работу на проверку.

  6. Выполнить домашнюю работу №5.

  7. Сдать выполненную домашнюю работу на проверку.

  8. Итоговая проверка: экзамен (см. примеры экзаменационных заданий). Итоговая оценка зависит не только от результатов экзамена, но и от результатов домашних работ.


Получить и отослать выполненные задания можно по электронной почте: jelena.kozmina@isma.lv

  1. Задачи для самостоятельного решения


Часть 1.


Домашняя работа 1.


    1. Выполнить действия с матрицами.

    2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.


Домашняя работа 2.

  1. Вычислить пределы, раскрыв неопределенности вида и.

  2. Вычислить пределы с помощью эквивалентных бесконечно малых.

  3. Найти точки разрыва функции.


Часть 2.


Домашняя работа 4.


  1. Нахождение производной функции.

  2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

  3. Вычислоить приближенно с помощью дифференциала функции.


Домашняя работа 4.


  1. С помощью первой производной найти интервалы возрастания и убывания функции, точки минимума и максимума. Схематично изобразить график функции.

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

  3. Провести полное исследование и построить график функции.


Домашняя работа 5.


  1. Вычислить неопределенные интегралы.

  2. Вычислить определенные интегралы.

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными функциями (с помощью определенного интеграла).




  1. Вопросы теоретического минимума



Теоретический минимум по высшей математикечасть 1.



Матрица (определение, пример)




Сложение матриц (правило, пример)





Вычитание матриц (правило, пример)




Умножение матрицы на число (правило, пример)






Умножение матриц (правило, пример)






Определитель 2-го порядка (в общем виде и пример)






Определитель 3-го порядка

(правило Саррюса, пример)






Система линейных уравнений 2-го порядка, формулы Крамера






Система линейных уравнений 3-го порядка, формулы Крамера






Система линейных уравнений 2-го

порядка в матричной форме






Определение обратной матрицы






Решение системы динейных уравнений в матричном виде (формула)






Элементарные преобразования строк матрицы






Функция (определение, пример).






Линейная функция. График линейной функции.






Квадратичная функция. Координаты вершины параболы






Числовая последовательность (определение, пример).





Предел числовой последовательности (определение, пример)





Непрерывность функции в точке (определение)






Предел функции в точке





Вертикальная асимптота (определение)






Наклонная асимптота y = kx + b (определение и формулы для вычисления k и b)






1-й замечательный предел (формула)






2-й замечательный предел (формула)








Теоретический минимум по высшей математикечасть 2.


Производная функции (определение, интерпретация).





Производная суммы и разности функций (формула, пример).






Производная произведения функций (формула, пример)






Производная частного функций (формула, пример)






Сложная функция (пример)





Производная сложной функции (формула, пример)





Дифференциал функции (формула, пример)




















































Первообразная (определение и пример)




Неопределенный интеграл (определение).














































Определенный интеграл (определение).





Формула Ньютона-Лейбница.






Площадь криволинейной трапеции

(рисунок, формула).






Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f(x), y=g(x),

x=a, x=b, при условии, что f(x)≥g(x) на [a,b]





6. Зачетные и экзаменационные задания


Часть 1.

Зачетная работа по высшей математике (пример)

Вариант 1


Часть 2.


Экзаменационное задание по высшей математике (пример)


Вариант 1


  1. Найти производную функции

y = ctg (x5·2x).


  1. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) и экстремумы функции

.

Схематично построить ее график.

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 3 - 3 x2 - 4 x3

на отрезке [-1; 2].

  1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

y = x4- 12x3 + 30x2 - 41.

  1. Найти асимптоты графика функции

.

Схематично изобразить поведение функции.

  1. Найти неопределенный интеграл

.


  1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

y = 2x - 5, y = -x2 + 4x – 2.


Автор курса: Елена Козьмина





Похожие:

Решение систем линейных алгебраических уравнений iconВопросы к вступительному экзамену в аспирантуру по специальности
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconПрямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 68 Математика Программа обсуждена на заседании кафедры ит
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Определитель матрицы. Свойства определителя. Метод Крамера...
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconОбласть применения компьютеров для решения разнообразных задач по обработке информации быстро расширяется. Можно выделить три вида информации и соответственно
Вычислительные задачи, связанные с обработкой числовой информации, например, решение систем линейных алгебраических уравнений
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconТематический план изучения дисциплины
Задачи линейной алгебры. Прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconНаучных и учебно-методических работ
Специализированный процессор для решения систем линейных алгебраических уравнений в реальном масштабе времени
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconТическое моделирование”
Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений (слау). Метод исключения Гаусса и lu-разложение. Вычисление...
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconОбразования российской федерации
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Лабораторная работа для студентов дневного отделения. Специальность:...
Решение систем линейных алгебраических уравнений iconА. Н. Тихонов о нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений
Если или при детерминант, то условия разрешимости формулируются в виде точных равенств. Вследствие этого приближенная система при...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница