Оглавление Введение




Скачать 98.44 Kb.
НазваниеОглавление Введение
Дата07.03.2013
Размер98.44 Kb.
ТипЛитература
Оглавление

Введение 7

глава 1. Определения аттракторов 12

глава 2. Странные аттракторы и классические определения

неустойчивости 24

  1. Основные определения в классической теории устой
    чивости движения 24

  2. Взаимоотношения между основными понятиями устой
    чивости 27




  1. Чувствительность траекторий к начальным данным и
    основные понятия неустойчивости 32

  2. Сведение задачи к исследованию нулевого решения . . 38

глава 3. Характеристические показатели и ляпуновские экс­-
поненты 40

  1. Характеристические показатели 40

  2. Ляпуновские экспоненты 42

  3. Оценки нормы матрицы Коши 44

  4. Контрпример Немыцкого-Винограда [9] 47

глава 4. Эффекты Перрона 49

глава 5. Матричное уравнение Ляпунова 56

глава 6. Критерии устойчивости по первому приближению 62

6 оглавление

глава 7. Критерии неустойчивости 70

  1. Метод триангуляции Перрона-Винограда 71

  2. Теоремы о неустойчивости 75

  3. Заключительные выводы 88

глава 8. Устойчивость по Жуковскому……………………… 90

глава 9. Функции Ляпунова в оценках размерности аттрак­
торов 107

глава 10. Частотный критерий слабой экспоненциальной неустойчивости на аттракторах дискретных систем . . . 129

  1. Леммы Якубовича-Калмана и Калмана-Сеге .. 131

  1. Определение длины кривой и слабой экспоненциаль­
    ной неустойчивости 136

  1. Частотный критерий неустойчивости 140

глава 11. Частотные оценки периода колебаний нелинейных
дискретных систем 150

Литература 157

Предметный указатель....………………………………………… 166

;




Введение

Другое, более точное название этой книги — «О пользе клас-сической теории устойчивости движения для изучения хаотической динамики».

Безусловно, в каждом серьезном обзоре или книге по хаотиче­ской динамике можно встретить такие понятия классической теории устойчивости как ляпуновская экспонента и ляпуновский показатель. Однако ни в одном из них нет хотя бы упоминания об открытом в 1930 году выдающимся немецким математиком Оскаром Перроном [108] эффекте инверсии знака ляпуновского показателя при прове-дении процедуры линеаризации. В настоящей книге изложены эти результаты О. Перрона и их дальнейшее развитие [22-24]. Здесь по-казано, что перроновские эффекты возможны только на границах устойчивого по первому приближению потока решений. Внутри по-тока устойчивость полностью определяется отрицательностью харак-теристических показателей линеаризованных систем.

Во многих книгах и обзорах сказано, что определяющим свой-ством странного аттрактора является чувствительность его траекто-
рий по отношению к начальным данным. Однако как это свойство связано с классическими понятиями неустойчивости? Многие извест­ные исследователи предполагают, что такая чувствительность по от­ношению к начальным данным адекватна неустойчивости по Ляпу­нову [3, 82]. Однако это справедливо только для дискретных дина­мических систем. Для непрерывных систем оказалось необходимым вспомнить почти забытое понятие неустойчивости по Жуковскому. Один из основателей современной аэродинамики, выдающийся рус­ский ученый Николай Егорович Жуковский ввел свое понятие устой­чивости движения в 1882 году [15, 16] — на десять лет раньше пуб­ликации исследований А. М. Ляпунова (1892 [42]). Понятие неустой­чивости по Жуковскому адекватно чувствительности траекторий

8 введение

по отношению к начальным данным для непрерывных динамиче­ских систем. В этой книге рассматриваются понятия неустойчивости по Жуковскому [16], по Пуанкаре [57] и по Ляпунову [42] и их аде­кватность чувствительности траекторий на странных аттракторах по отношению к начальным данным.

Для изучения устойчивости по Жуковскому здесь вводится но­вый инструмент исследования — подвижное сечение Пуанкаре. С его помощью проводится обобщение широко известных теорем Андро­нова — Витта, Демидовича, Борга, Пуанкаре.

В настоящее время проблема обоснования нестационарных ли­неаризации для сложных, непериодических движений на стран­
ных аттракторах поразительно напоминает ситуацию стодвадцати-летней давности. Основатели теории автоматического регулирова­
ния Д. К. Максвелл (1868 [1.04,43]) и И. А. Вышнеградский (1876 [10, 43]) смело проводили линеаризацию в окрестности стационар­
ных движений, оставив обоснование такой линеаризации А.Пуан-каре (1886 [57]) и А.М. Ляпунову (1892 [42]). В настоящее вре-
мя среди широкого круга специалистов по хаотической динамике возникло стойкое убеждение, что положительность старшего ха-рактеристического показателя линейной системы первого прибли­жения влечет за собой неустойчивость решений исходной систе-мы (см., например [48], стр.227, [106], стр.72, [90], стр.26, [75], стр.323, [20], стр. 141, [110]). Более того, существует огромное количество
компьютерных экспериментов, где используются различ­
ные численные методики вычисления характеристических показа-
телей и ляпуновских экспонент линейных систем первого при-
ближения. При этом авторы, как правило, совершенно игнорируя обоснование процедуры линеаризации, строят из полученных чис-
ленных значений показателей и экспонент различные численные характеристики аттракторов исходных нелинейных систем (ляпунов-ские размерности, метрические энтропии и т. д.). Иногда частичное обоснование процедуры линеаризации аргументируется компьютер-
ными экспериментами. Так, например, компьютерные эксперименты [111], [48] показывают совпадение ляпуновской и хаусдорфовой раз-мерности аттракторов Хенона, Каштана-Йорке и Заславского. Одна-

введение 9

ко для B-аттракторов Хенона и Лоренца такое совпадение не имеет места [25, 26].

Таким образом, линеаризации вдоль траекторий на странных ат-тракторах требуют своего обоснования. Эта задача является мощ-
ным стимулом для развития нестационарной теории неустойчивости по первому приближению. В настоящей книге описано современное состояние проблемы обоснования нестационарных линеаризации.

Эффективным аппаратом исследования в классической теории устойчивости является метод функций Ляпунова — так называемый прямой метод Ляпунова. Оказалось, что и в теории размерности странных аттракторов можно успешно продвинуться, развивая ана-
логи прямого метода Ляпунова. Это интересное направление иссле-дований также обсуждается в настоящей книге.

Для изучения хаоса в дискретных динамических системах ока-
зался весьма эффективным прямой метод Ляпунова, объединен-
ный с эффективным алгебраическим аппаратом современной тео-
рии управления. Для дискретных систем обычно нет той нагляд-
ности представлений в фазовом пространстве, которая характерна
для непрерывных систем с гладкими траекториями, заполняющими
это пространство. Однако этот недостаток может быть частично лик-видирован, если вместо наблюдения за изменением в дискретном
времени расстояния между двумя решениями рассматривать в на-
чальный момент времени отрезок прямой, связывающий начальные данные, и дальнейшие его итерации — последовательность непре-
рывных кривых. Уменьшение или увеличение длин этих кривых да-
ет информацию об устойчивости или неустойчивости и о других свойствах решений дискретных систем. Рассмотрение длин таких непрерывных кривых может быть положено и в основу определений устойчивости и неустойчивости, что особенно важно для неинъек-
тивных отображений, определяющих соответствующие дискретные системы (а именно они являются в настоящее время широко извест-

ными генераторами хаоса). Дело в том, что в некоторых случаях две траектории могут «слипнуться» за конечное число итераций. Однако итерируемый отрезок, связывающий начальные данные, может иметь все большую длину даже с учетом такого слипания. Оказалось, что

10 введение

механизм растягивания в ряде случаев является достаточно сильным и его можно обнаружить и оценить, применяя весь богатый арсенал прямого метода Ляпунова, который можно соединить с эффективным алгебраическим аппаратом: леммой Калмана-Сеге и леммой Шепелявого. Последние дают оценки растяжения длин итерируемых кривых в терминах частотных неравенств, эффективно проверяемых для конкретных динамических систем. Описанная здесь методика подробно излагается в настоящей книге.

За последние пятьдесят лет сформировалось еще одно интересное направление в теории устойчивости — метод априорных интегральных оценок, в основе которого содержится применение преобразований Фурье как унитарных операторов в некоторых функциональных пространствах. Здесь будет показано, что этот метод может дать содержательные оценки периодов колебаний дискретных динамических систем. Применение этого метода к различным одномерным отображениям дает оценки отсутствия колебаний с периодом 3. Широко известен тезис о том, что для одномерных дискретных динамических систем «период три влечет хаос». Поэтому нетривиальные оценки периодов колебательных движений позволяют сделать количественные суждения о сценариях перехода к хаотической динамике.

Автор пытался сделать изложение замкнутым и как можно более простым. Все используемые понятия сведены в точные опреде­ления, основные математические факты подробно доказаны. Многие классические результаты снабжены новыми, более простыми доказательствами. Основное содержание книги является развитием обзоров [24, 26].

Книга адресована прежде всего специалистам по теории динамических систем, дифференциальным уравнениям и их приложениям. В ней показано, как современные проблемы теории хаоса указывают естественные и простые пути модернизации классических методов теории устойчивости движения. Поскольку для ее понимания достаточно знакомства со стандартными курсами алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений, книга может быть полезна студентам и аспирантам математических специальностей.

введение 11

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики
математико-механического факультета Санкт-Петербургского госу- дарственного университета и в лаборатории управления сложными сстемами НИИ проблем машиноведения РАН при постоянной под-
держке их заведующих: В. А. Якубовича и А. Л. Фрадкова.

Традиции классической теории устойчивости движения бережно сохранялись и развивались на кафедре дифференциальных уравнений, руководимой В. А. Плиссом. Они оказали огромное влияние на автора этой книги.

Содержательные советы рецензентов А. X. Гелига и А. Н. Чурилова существенно улучшили содержание многих разделов книги.

Я благодарен Л. П. Виноградовой, Ю. К. Зотову и С. Н. Пакшину, которые подготовили рукопись к печати.

Частично работа над книгой финансировалась программой фундаментальных исследований Президиума РАН № 19 «Управление механическими системами» (проект 1.4 Управление колебаниями и хаосом в физико-технических системах), грантами РФФИ, грантом НШ-2257.2003.1 программы поддержки ведущих научных школ Министерства промышленности и науки России.

e-mail: leonov@math.spbu.ru Санкт-Петербург, 2005

Похожие:

Оглавление Введение iconОглавление оглавление 1 введение 2 постановка задачи 3 анализ методов решения задачи 3
Всемирная тенденция к объединению компьютеров в сети обусловлена рядом важных причин, таких
Оглавление Введение iconОглавление оглавление 2 введение 3
Так, в западной экономической системе сфера услуг играет главенствующую роль, а в промышленности на первый план выходят наукоемкие...
Оглавление Введение iconВведение в психолингвистику оглавление
Заключение
Оглавление Введение iconСоциология учебное пособие новосибирск 2006 оглавление
Введение. Учебные цели
Оглавление Введение iconОглавление введение 5
Правильная методика лечебного голодания различной длительности 133
Оглавление Введение iconОглавление 2 введение 3
Система мер по совершенствованию мотивации персонала организации на примере «…» 7
Оглавление Введение iconОглавление 2 введение 3
Пути, формы и методы активизации познавательной деятельности младших школьников 16
Оглавление Введение iconОглавление 1 введение 2
Создание таблиц MapInfo, содержащих векторные графические данные и атрибутивную информацию 18
Оглавление Введение iconОглавление введение
Анализ конфликтных ситуаций в деятельности организации «ооо» торговый дом «стм»
Оглавление Введение iconОглавление предисловие введение
Кто может заниматься биолокационной диагностикой и лечением биологической энергией
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница