Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8)




НазваниеЭконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8)
страница1/5
Дата26.04.2013
Размер0.66 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ФИЛИАЛ ВСЕРОССИЙСКОГО ЗАОЧНОГО ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА В ГОРОДЕ УФА


С.А. ГОРБАТКОВ


ЭКОНОМЕТРИКА

(авторский курс лекций)


Уфа -2008

УДК 330.43(075.8)

ББК 65в6я73

Э40


РЕЦЕНЗЕНТЫ:


Кафедра математического моделирования Башкирского государственного университета, заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор С.Н.Спивак.


Ведущий научный сотрудник Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, доктор физико-математических наук, профессор И.И.Голичев.


Курс лекций одобрен на заседании Научно-методической комиссии

филиала ВЭФЭИ в г. Уфа, председатель НМК доктор технических наук, профессор М.А.Анферов.


Горбатков С.А.

Э40 Эконометрика: авторский курс лекции. – Уфа: Филиал ВЗФЭИ в г. Уфа, 2008 г. – с.

Курс лекций посвящен «академической эконометрике», однако приводятся краткие сведения о перспективных, развивающихся направлениях в эконометрике и дан соответствующий список литературы. В них, излагаются основные разделы эконометрики в соответствии с программой этой дисциплины для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» (2-е высшее образование) для студентов ВЗФЭИ. Текст лекций адаптирован во времени (12 часов лекций и 4 часа самостоятельной работы студентов) строго структурирован. Изложение отличается доходчивостью в сочетании со строгостью терминов, определений и формул. По ходу изложения делаются ссылки на программные продукты.


ББК 65в6я73


 С.А. Горбатков, 2008





ПРЕДИСЛОВИЕ


Необходимость написания данного курса лекций для студентов заочных вузов экономического профиля вызвана тем, что существующие учебники и учебные пособия по экономике ориентированы на студентов I высшего образования для которых читаются две отдельные дисциплины: вначале «Экономика – математические методы и прикладные модели», затем «Эконометрика». Для студентов II высшего образования читается одна (совмещенная) дисциплина – «Эконометрика», и учебника по этой дисциплине, адаптированного к отведенным по программе часам, нет.

В методическом отношении курс лекций адаптирован к уровню студентов – заочников и фактическому времени отведенному на лекции по учебному плану, т.е. материал подвергнут компрессии. Основное внимание уделено концептуальным моментам тех или иных методов и инструментариев (границы применимости, возможность комбинации, приемы повышения качества модели и др.). Изложение формул основных разделов (множественного корреляционного анализа, регрессионного анализа, анализа временных рядов) ведется в достаточно общей матричной форме, причем охватывает нелинейные по незавимым переменным модели. Автор стремился к тому, чтобы общность и строгость изложения не противоречили доходчивости преподнесения материала. Материал иллюстрирован практическими примерами. Для большей наглядности широко используется графический материал.

Насколько позволило количество часов, отведенных на лекции, рассмотрены вопросы преодоления трудностей практического применения множественных регрессионных моделей в сложных условиях моделирования. Уровень детализации материала здесь ориентирован на практическое использование методов эконометрики в выпускных квалификационных работах (ВКР), а также, в определенной мере, в будущей профессиональной деятельности молодого специалиста.

Основой данного курса лекций послужил учебник Н.Ш. Кремера [5] и А.И.Орлова [7]. Однако автор посчитал полезным изложение не только основ «академической эконометрики», основанной на линейной парадигме, согласно которой каждое действие вызывает пропорциональную реакцию, но и обзор новых, быстро развивающихся направлений эконометрики:

  • фрактального анализа;

  • методов нелинейной динамики;

  • методы не четкой логики;

  • методы нейроматематики.

По этим направлениям дан краткий путеводитель по основным идеям и библиографический список литературы с тем, чтобы заинтересованный продвинутый студент мог изучить и практически применить те или иные новейшие методы эконометрики.

Автор будет благодарен за любые замечания и пожелания по курсу лекций, которые можно направить по адресу: 450015, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Мустая Карима 69/1, региональная кафедра математики и информатики.

С.А.Горбатков

Содержание


Предисловие 3


Введение

В.1.Определение эконометрики 6

В.2.Значение эконометрики в экономике 6

В.3.Задачи эконометрики 7


Глава I. Основные аспекты эконометрического моделирования

1.1. Понятие о модели, системе 8

1.2. Адекватность модели 8

1.3. Модель типа черного ящика 9

1.4. Основная предпосылка эконометрического анализа 10

1.5. Построение параметрической регрессионной модели 11

1.6. Классификация эконометрических моделей. 13

1.6.1. По структуре уравнений регрессии 13

1.6.2. По способу учета динамики 13

1.6.3. По виду связи между . 14

1.6.4. По алгоритму оценки параметров модели. 14

1.7. Типы данных 14

1.7.1. Данные пространственного типа 14

1.7.2. Временной (динамический) ряд 15

1.8. Этапы построения эконометрической модели 15


Глава II. Корреляционный анализ

2.1. Цель корреляционного анализа 16

2.2. Числовые меры корреляционной связи 16

2.2.1. Ковариация. 16

2.2.2. Выборочная оценка коэффициента линейной парной

корреляции 16

2.2.3. Математический смысл коэффициента линейной парной корреляции 17

2.2.4. Статистический смысл коэффициента линейной парной корреляции 18

2.2.5. Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции 18

2.3. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции 19

2.4. Множественный корреляционный анализ 19

2.4.1. Корреляционная матрица 19

2.4.2. Выборочный линейный коэффициент множественной корреляции 20

2.4.3. Частный коэффициент корреляции 20

2.4.4. Коэффициент детерминации 21

2.4.5. Оценка значимости множественного коэффициента

детерминации 21

2.4.6. Индекс корреляции при нелинейной связи двух случайных

величин 21

2.4.7. Индекс множественной корреляции 22

2.5. Коэффициент ранговой корреляции 23


Глава III. Множественный регрессионный анализ

3.1. Постановка задачи 24

3.2. Метод наименьших квадратов (МНК) в скалярной форме 24

3.3. Матричная форма метода наименьших квадратов. 25

3.3.1.Уравнение наблюдений в матричной форме 25

3.3.2.Нормальные уравнения регрессии и формула для параметров уравнения 26

3.4. Предпосылки метода наименьших квадратов 27

3.5. Свойства оценок, получаемых по методу наименьших квадратов 28

3.6. Оценка адекватности уравнения регрессии (проверка гипотез о предпосылках

метода наименьших квадратов) 29

3.6.1.Гипотеза о близости к нулю математического ожидания

остатков 29

3.6.2. Гипотеза о статистической значимости коэффициентов

регрессии bj 29

3.6.3. Гипотеза о статистической значимости всего уравнения

регрессии в целом 30

3.6.4. Оценка качества уравнения регрессии 30

3.6.5. Скорректированный коэффициент детерминации 32

3.6.6. Проверка гипотезы о чисто случайном характере остатков 32

3.6.7. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

остатков 35

3.7. Точечный прогноз и оценка доверительных интервалов прогноза 35

3.8. Оценка погрешностей расчета по уравнению регрессии 37

3.9. Коэффициент эластичности, бета-коэффициент и

дельта-коэффициент для линейного уравнения регрессии 37


Глава IV. Временные ряды

4.1. Понятие о динамических рядах их классификация. 39

4.2. Компонентный анализ временных рядов 39

4.3. Понятие случайного процесса 39

4.4. Понятие о коэффициенте корреляции во временном ряде, автокорреляционная функция (АКФ) 40

4.5. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции 41

4.6. Частный коэффициент автокорреляции. 41

4.7. Сглаживание временных рядов 42

4.8. Авторегрессионные модели. 42

4.9. Авторегрессионная модель скользящей средней. 43

4.10. Разностные уравнения с лаговыми переменными 43

4.11. Оценка коэффициентов регрессии. 44

4.12. Прогнозирование по разностной авторегрессионной модели 44


Глава V. Некоторые вопросы практического построения регрессионных моделей

5.1.Проблема спецификации переменных. Мультиколлинеарность 45

5.2.Способы устранения мультиколлинеарности 45

5.3.Метод пошаговой регрессии (конструктивный метод). 45

5.4. Деструктивный подход (“расщепления”) мультиколлинеарных пар 46

5.5.Случай нелинейных координатных функций 47

5.5.1.Формальная замена переменных 47

5.5.2. Специальное преобразование 47

5.6. Линейные уравнения регрессии с переменной структурой.

Фиктивные переменные 47

5.7. Способ устранения коррелированности регрессоров с остатками с помощью инструментальных переменных 49

5.8. Двух шаговый метод наименьших квадратов 50

5.9. Обобщенный метод наименьших квадратов 52

5.10. Трех шаговый метод наименьших квадратов 52


Литература 53

ВВЕДЕНИЕ


Определение эконометрики


Следует отметить, что единого общепринятого определения эконометрики в настоящее время нет. Сам термин «эконометрика» сложился для определения нового направления в экономической науке в 1930 г. [11].

Термин эконометрика состоит из двух слов: «экономика» и «метрика» – (от греческого metron – мера).

Эконометрика – это совокупность математико – статистических методов для моделирования количественных взаимосвязей между различными показателями в экономике, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией.


Значение эконометрики в экономике


Последние 40 лет эконометрика как научная дисциплина стремительно развивается. Свидетельством всемирного признания и значимости эконометрики является присуждение ряда нобелевских премий в области экономики за выдающиеся исследования в области эконометрики:


1969 г. – Рагнар Фриш и Ян Тинберген – «За создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов»;

1980 г. – Лоуренс Клейн – «За создание экономических моделей и их применение к анализу колебаний экономики и экономической политики»;

1989 г. – Трюгве Хаавельмо – «За его разъяснения в основах теории вероятностей и анализ одновременных экономических структур»;

2000 г. – Джеймс Хекман и Дэниел Макфадден – «За развитие теории и методов анализа»;

2003 г. – Роберт Ингл и Клайв Грэнджер – «За разработку метода анализа временных рядов в экономике на основе математической модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (ARCH)»; «За разработку метода коинтеграции для анализа временных рядов в экономике».

Растет число публикаций и исследований с применением эконометрических методов. В эконометрику все глубже проникают новейшие методы математики и информационные технологии:

  • нейроматематика;

  • теория нечетких множеств;

  • фрактальный анализ;

  • методы нелинейной динамики

Можно привести примеры эффективного применения теоретических и эконометрических разработок в научных исследованиях, в которых принимал участие [2,3,12,13]:

В [2,3,12] представленных в виде примера книгах, обобщающих научные исследования, выполненные в ВЗФЭИ, излагаются модели налогового контроля с использованием новейших методов нейроматематики в очень сложных условиях моделирования – сильного зашумления данных, отягченного дефицитом наблюдений. В [9] рассмотрены новейшие методы фрактальной теории, нечетных множеств, нелинейной динамики для исследования процессов обвала и последующего возрождения фондовых рынков.

Учитывая роль эконометрики в системе экономического образования академик В.Л.Макаров сказал, что «Современная экономическая наука держится на «трех китах» : макроэкономике, микроэкономике и эконометрике».


Задачи эконометрики


Задачами эконометрики как научной дисциплины являются:

  • анализ экономических связей;

  • прогноз экономических показателей;

  • оценка финансовой устойчивость экономических объектов;

  • кластеризация экономических объектов, ситуаций, данных наблюдений;

  • факторный анализ данных и др.

Что касается сфер экономики, то указанные задачи могут возникать везде: в маркетинге, банковском деле, инвестициях, инновациях, экономике предприятий, задачах управления экономическими объектами и процессами в бюджетировании, налоговом и финансовом контроле и и т.д.

Глава I. Основные аспекты эконометрического

моделирования


1.1. Понятие о модели, системе


Понятие о системе и модели – это фундаментальные понятия, которые носят междисциплинарный характер, и поэтому должны определяться на основе системного анализа. Единого определения понятия модели в настоящее время нет. Автор считает достаточно информативным и удобным для целей эконометрики следующее определение [8]:

Модель – это приближенное описание реальных объектов, процессов, явлений в аспектах, интересующих исследователя.

Комментарии к определению:

  • Модель – это всегда приближенное описание. Абсолютно точных моделей нет, ибо при получении модели какие- то факторы (второстепенные) не учитываются, иначе размерность модели была бы необозримой.

  • Модель описывает не все, а только отдельные аспекты предмета моделирования. Язык описания любой. В эконометрике применяется математический символьный язык.

Предметом эконометрического моделирования являются взаимосвязи показателей экономических систем (в широком понимании этого термина), включая динамические взаимосвязи (т.е. процессы в этих системах).

В настоящее время нет также единого определения термина «система».

Академик И.И.Прангишвили [10] дает следующее определение:

Система – это совокупность элементов (объектов, подсистем), находящихся в рациональных отношениях и связях между собой и образующих в процессе достижения общей цели функциональную целостность (интегративное или эмерджентное свойство), которое не сводится к сумме свойств элементов, причем границы целостности задаются пределами управления.

Данное определение, по-нашему мнению, очень удобно для «завязки» постановки задачи как определяющего этапа моделирования.

Примеры системы в различных областях:

  • Очки (простейшая оптическая система состоящая из линз, дужек и тд.)

  • Стабилизационный фонд группы банков, образующих банковскую систему. Свойство эмерджентности в этом случае превышение финансовой устойчивости системы к различным возмущениям: инфляции, коньюктурным колебаниям цен на энергоносители, стихийным бедствиям и др.


1.2. Адекватность модели


Понятие адекватности модели в литературе трактуется по разному, причем весьма нечетко, особенно в учебниках по эконометрике.

В книге Ф.И.Перегудова, Ф.П. Тарасенко [8] дано следующее определение адекватности модели:

Модель, с помощью которой достигается поставленная цель, называется адекватной поставленной цели.

В этом определении, которое не полностью совпадает с требованиями полноты, точности и правильности (истинности), адекватность означает, что эти требования выполнены не вообще (так сказать, безмерно), а лишь в той мере, которая достаточна для достижения цели.

Примером может служить геоцентрическая модель Птолемея, которая была неправильной (не истинной), но достаточно адекватной для цели расчета траектории движения планет. Следует добавить, что модель Птолемея не лишена истинности вовсе: ведь и солнце и планеты действительно движутся относительно Земли (если взять другую точку координат или отсчета).

Или другой пример с удобрениями, суть которого ясна из рисунка 1.1.





Видно, что в зоне b,c линейная модель в принципе не верна и не обеспечивает цель моделирования – анализ влияния удобрений на урожай. Модель I не адекватна, поскольку она не учитывает перенасыщение почвы удобрением. Модель II – адекватна, другой вопрос – на сколько она точна.

Подчеркнем, что адекватность модели и точность модели – это разные понятия.


1.3. Модель типа черного ящика


Эконометрическая модель, описывающая связи «вход-выход» объекта (процесса), для построения которой не требуется знания внутренней структуры объекта и сути процессов в нем, называется моделью черного ящик [8].



Здесь введены обозначения:

Y – зависимая (результативная, объясняемая, эндогенная) переменная, моделируемый показатель, выходная величина;

= (Х1, …, Х2) – вектор независимых (объясняющих, экзогенных переменных); иногда вектор называют вектором входных факторов, регрессоров.

Термин «эндогенная переменная» означает внутренняя по отношению к моделируемой системе (объекту), т.е. это реакция (состояние) объекта в ответ на внешние (экзогенные) воздействия, задаваемые вектором независимых переменных . Модели типа «черного ящика» очень широко применяются в эконометрике.


1.4. Основная предпосылка эконометрического анализа


Суть основной предпосылки построения эконометрической модели состоит в возможности разбиения Y на две части : объясненную и случайную:

. (1.1)


Объясненная часть случайной величины , формируется вариацией вектора независимых переменных ;

E – случайная составляющая (остаток).

Если случайная величина Y непрерывна, то объясненная часть представляет собой некоторую неизвестную непрерывную функцию от регрессоров :

(1.2)


Естественной аппроксимацией (описанием) случайной функции является оценка:


(1.3)

МХх1, х2,… хn,  - среднее значение случайной функции , т.е. условное математическое ожидание, полученное при условии, что вектор независимых переменных принял конкретное (фиксированное) значение:




Здесь и далее большими буквами X, Y будет обозначаться текущее значение случайных величин, а малыми буквами, x, y их конкретные (количественные) реализации.

В некоторых книгах используют более компактное обозначение:


(1.4)

Тогда основную предпосылку построения эконометрической модели можно записать так:

Y = Мх(Y) + E. (1.5)

Уравнение


Ye = Мх(Y) = 1, х2, …,хj,…, хn) (1.6)


называется уравнением регрессии. Заметим, что вид истинной функции в уравнении (1.6) нам пока неизвестен.

Замечание: Эконометрическая модель (1.6) не всегда является регрессионной, т.е. объясненная часть случайной величины не всегда равна своему условному математическому ожиданию:


Ye  Мх(Y).


Пример: Пусть независимые переменные измерены с систематическими ошибками. Тогда неизвестная нам случайная функция в наблюдениях будет деформирована (искажена). В эконометрике это встречается часто. Существуют специальные методы борьбы с этим неприятным обстоятельством, которые будут рассмотрены ниже.

Критерием того, что модель (1.6) является регрессионной, является условие Мх(E) = 0. Действительно, записав основную предпосылку эконометрического анализа (1.5), вычислим математическое ожидание от обеих частей уравнения:


Мх(Y) = Мх Мх(Y) + Мх(E);


 Мх(E) = 0


Условие (1.6) является наиболее существенным условием получения качественной модели. Статистически это условие означает отсутствие систематического смещения наблюдений , относительно линии (или поверхности в многомерном случае) регрессии.


1.5. Построение параметрической регрессионной модели


Будем аппроксимировать (приближено описывать) Мх(Y) некоторой заранее выбранной непрерывной функцией с параметрами


(1.7)


Пусть неизвестный вектор параметров находится (оценивается) каким-либо методом, например методом наименьших квадратов (МНК) [5].

Вид функции () выбирается заранее, а еще лучше подбирается с учетом имеющихся наблюдений с использованием «Мастера диаграмм» в программной среде Excel.


Пример:




Здесь подходящей аппроксимирующей функцией является парабола:


(1.8)


Подставляя уравнение (1.7) в уравнение (1.5) получаем конкретное уравнение регрессии (параметрическую модель):


(1.9)


где е – случайные ошибки аппроксимации (остатки), которые включают в себя как ошибки аппроксимации (неточного описания), так и случайные возмущения данных, в частности вызванные неучтенными в модели регрессорами.

В i – ом наблюдении



– расчетное значение по уравнению регрессии, а yi – наблюдаемое значение для Y.



Параметрическая регрессионная модель (1.9) описывает усредненную зависимость Y от в некотором коридоре своего случайного разброса (рис.1.4.). Другими словами – линия регрессии – это средняя линия трубки в случае одной переменной. В случае многих независимых переменных описывает серединную поверхность. Ее называют «поверхность отклика» (реакции объекта на воздействие ): – следствие; – причина (воздействие на объект).


1.6. Классификация эконометрических моделн.


Отметим, что существует множество классификаций эконометрических моделей в зависимости от выбранных признаков классификации. Ниже приводится достаточно простая и удобная классификация.


1.6.1. По структуре уравнений регрессии


1). Аддитивные (полиноминальные) уравнения регрессии представляются в виде суммы базисных функций с соответствующими коэффициентами:


(1.10)


где jj) - совокупность базисных (координаторных) функций, и задаваемых априорно.


Пример:





2). Мультипликативная форма в виде произведения базисных функций


(1.11)


Примером такой модели является модель Брандона:





– математическое ожидание (экспериментальное среднее).


1.6.2. По способу учета динамики:


1). Динамические многофакторные, с явным выделением временного фактора t:


(1.12)


2). Динамические с неявным заданием временных зависимостей через регрессоры:


(1.13)


3). Динамические с лаговыми переменными.


(1.14)


здесь  – временной лаг (запаздывание); m – число тактов запаздывания.


4). Статические.

(1.15)

Замечание: Введение в модель лаговых переменных – весьма эффективный прием, который позволяет наряду с основным («быстрым») временем t, учесть динамические процессы с большей постоянной времени, т.е. «медленное» время а, значит, предысторию процесса, что важно в эконометрических объектах [ 1,5,6].


1.6.3. По виду связи между


Можно выделить модели:

1. Регрессионные (аддитивные и мультипликативные).

2. Системы одновременных уравнений – когда модель состоит не из одного уравнения, а нескольких, т.е. в правой части этих уравнений стоят компоненты векторов , и следовательно четко не разделены причины и следствия.

3.Рекурсивные – частичный случай системы одновременных уравнений. В рекурсивных моделях система одновременных уравнений «расщепляются » по рекуррентному алгоритму.


1.6.4. По алгоритму оценки параметров модели


1. Неадаптивные (метод наименьших квадратов, поисковые методы, алгоритмы нечеткой регрессии, и др.)[1].

2. Адаптивные (обучаемые, включая нейросетевые модели).

Замечание: На практике классификационные признаки могут «переплетаться», т.е. использоваться комбинированные (гибридные) модели, например нейро-нечеткие [14], нечеткие регрессионные [15] и др.


1.7. Типы данных


1.7.1. Данные пространственного типа


База данных состоит из кортежей:





которые образуют матрицу. Каждая строка матрицы – это кортеж (или вектор -строка таблицы исходных данных).

Здесь основное требование – независимость наблюдений yj между собой, т.е. yj – случайные (измеренные независимо) величины в данном фиксированном временном срезе, где t=const, это влечет за собой условие отсутствие коррелированности возмущений.


(1.16)


– коэффициент либо индекс корреляции.

Как определить, является ли база данных серией независимых наблюдений? Однозначного ответа нет, т.е. это условие реально труднопроверяемо. Считается, что Yi не должны быть связаны причинно [5].

Совокупность кортежей для всех наблюдений i= (таблица) в фиксированном временном срезе есть входные данные пространственного типа.


1.7.2. Временной (динамический) ряд


Здесь наблюдения упорядочены во времени: Уt, t=t1,t2,….ti,…tn, где ti>ti-1.

а). Чаще всего t = ti - ti-1 = const. Тогда в записи указывается только номер временного интервала; Уt- временной ряд.

б). Временной ряд может быть многомерным: Уt, х1t,…xnt (), т.е. другими словами, если наблюдаются одновременно несколько независимых случайных величин в каждом временном срезе, t=t0, то имеем многомерный временной ряд:


Данные типа многомерного временного ряда


Таблица 1.1.

ti

t1

t2

….

tn

yi

y1

y2

….

yn

хi

х1

х2

….

хn

zi

z1

z2

….

zn


Данные типа многомерных временных рядов имеют место в многофакторных прогнозных моделях.


1.8. Этапы построения эконометрической модели


Можно условно выделить следующие основные этапы построения эконометрической модели:

  • описание проблемы экономической ситуации;

  • спецификация переменных;

  • мониторинг данных (наблюдение с целью контроля и управления);

  • идентификация – выбор структуры модели и определение ее параметров;

  • оценка адекватности модели;

  • верификация модели;

  • проверка модели на практике;

  • внесение поправок, для корректировки модели на основе данных, полученных при практическом использовании.

  1   2   3   4   5

Похожие:

Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconМировая экономика курс лекций Кемерово 2002 удк: 330 (075)
Рецензенты: доктор экономических наук, профессор, академик рэа и раен, декан экономического факультета ксхи зотов В. И., кандидат...
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКультурных растений курс лекций минск 2002 удк 663/635(075. 8)
Яротов А. Е. Введение в географию культурных растений: Курс лекций – Мн.: Бгу, 2002. – 62 с
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКурс лекций Москва «Альтаир» 2010 удк 502(075) ббк 20. 1 Я 7
В. Б. Устьянцева д ф н., проф.; С. Л. Аборина к э н., доцента; М. И. Персица к э н
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКурс лекций 2-е издание Минск 2004 удк 17(075. 8) Б
Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКонцепции современного естествознания курс лекций Новосибирск 2011 удк 50(075. 8)
Розов С. М. Концепции современного естествознания: Курс лекций / Новосиб гос ун-т. Новосибирск, 2011. 226 с
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconТеория организаций москва Инфра-м 2006 удк 330(075. 8)
Корецкая Л. К., директор филиала Всероссийского заочного финансово-экономического института в г. Владимире, д-р экономических наук,...
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКурс лекций Волгоград 2006 ббк удк авторский коллектив: Анисимов А. П
Анисимов А. П. – заведующий кафедрой гражданского права и процесса Волгоградского филиала оу впо центросоюза РФ «Московский университет...
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКурс лекций минск бгу 2004 удк 553. 3+553. 4 Ббк
Месторождения металлических полезных ископаемых. Часть I. Черные цветные металлы: Курс лекций/ Э. А. Высоцкий
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconТекст лекций Таганрог 2002 удк 681. 518. 3(075) Николаев С. В
Николаев С. В. Основы сапр измерительных систем: Текст лекций. Таганрог: Изд-во трту, 2002. с
Эконометрика (авторский курс лекций) у фа -2008 удк 330. 43(075. 8) iconКонспект лекций Челябинск 2005 удк 621. 311. 1(075. 8)+621. 311. 1(09)(075. 8) Аннотация учебно-методический комплекс (умк) предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Электроэнергетические системы и сети»
«сапр и модели оптимального развития энергосистем», «асу и оптимизация режимов энергосистем» и «Методы исследования операций», инициатором...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница