«Абсолютная величина» (модуль)




Скачать 486.24 Kb.
Название«Абсолютная величина» (модуль)
страница1/4
Дата26.02.2013
Размер486.24 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3   4


Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа д. Лаврово

Демянского муниципального района

Новгородской области


Научно-исследовательская работа


«Абсолютная величина»

(модуль)




Выполнила

Ермилова Ксения ученица 10 класса МОУ СОШ д. Лаврово


Руководитель

Борисова Мария Федоровна учитель математики



Лаврово

2009


Содержание


1. Введение 3

2. Определение и свойство модуля 5


3. Способы решения уравнений, содержащих модуль 8


4. Решение уравнений, содержащих модуль 18


5. Решение неравенств, содержащих модуль 33


6. Решение тригонометрических уравнений, содержащих модуль 40


7. Построение графиков функций и уравнений, 46

содержащих модуль


8. Решение логарифмических выражений, содержащих модуль 54


9. Нахождение наибольшего и наименьшего значения 56

с элементами модуля


10. Различные виды заданий, содержащих модуль 58


11. Приложение 60


12. Заключение 65


13. Литература 66


Введение


Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик

числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в XIX веке.

Слово модуль произошло от латинского modulus, что в переводе означает мера. Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В архитектуре это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике это термин, применяемый в различных областях технике, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и ЕГЭ. Но программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах. Поэтому задачи такого типа вызывают трудности у школьников. Я оказалась не исключением. Подготовиться к этому вопросу индивидуально достаточно сложно, т.к. систематизированного пособия или хорошего методического издания мне найти было сложно. В справочной литературе можно найти по 2-3 примера, что не способствовало систематизации моих знаний, а чтобы усовершенствовать свои умения, надо решать хотя бы 5 – 10 заданий по данному вопросу. В глобальной сети Интернет практически нет материала по данной теме.
Справиться со всеми трудностями мне помог учитель. Он мне предложил с начала учебного года заняться исследовательской работой. Перед собой я поставила цели:

  • обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»;

  • обретение практических навыков выполнения заданий с модулем;

  • повышение уровня математической подготовки.



Достижение целей происходит путем реализации следующих задач:


  • вооружение системой знаний по теме «Абсолютная величина»:

  • формирование навыков применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

  • подготовка к ЕГЭ;

  • формирование навыков самостоятельной работы;

  • формирование навыков работы со справочной литературой, с компьютером;

  • формирование умения и навыков исследовательской работы;

  • способствие развитию алгоритмического мышления;

  • способствие формированию познавательного интереса к математике.


Систематизация решений модульных выражений привела к выявлению следующих методов:

    1. по определению модуля

    2. по свойствам модуля

    3. с помощью нахождения модульных нулей

    4. с помощью геометрической характеристике

    5. с помощью графиков.



Определение и свойство модуля.


Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное. Модуль числа а обозначается так │а│.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: |а ≥ 0.

2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -|а|≤а≤|а|.

3. Если число а ≥ 0 и для числа Х справедливо одно из неравенств х ≥ а или х ≤ а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству |x|≥а. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству |x|≥а, удовлетворяет одному из неравенств x≥а или x≤а.

4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству ха, то модуль числа х удовлетворяет неравенству |х|а. Если |х|а, то справедливо неравенство: -а≤х≤а.

5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: |а + b| ≤ |a|+|b|.

6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел |a - b| ≥ |a|-|b|.

7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: |ab|=|a|•|b|.

8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: |a/b|=|a|/|b|.

9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: |a|n=│an причем если n = – четное число, то a2k = а.

10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: |a - b|=p(a,b). Из этого свойства следует важное равенство: |a - b|=|b - a|. В частности, |a|=|-a|.

11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю.

12 .Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: ||a|-|b||≤|a - b|.

13 .Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: √а2 = │а│.

Доказательство теорем.


Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа а равна большему из двух чисел а или – а.

Доказательство.

1. Если число а положительно, то –а отрицательно, т.е. – а < 0 < а. Отсюда следует, что – а < а.
Например, число 5 положительно, тогда -5 – отрицательно и – 5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.
В этом случае, | а | = а, т.е.  | а |  совпадает с большим из двух чисел а  и – а.


2. Если а отрицательно, тогда – а положительно и  
а < - а, т.е. большим числом является – а. По определению, в этом случае,  | а | = - а – снова равно большему из двух чисел – а и а.

Следствие 1. Из теоремы следует, что    | - а |  =  | а |.
В самом деле, как  | - а |. так и   | а |  равны большему из чисел – а и а, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа а справедливы неравенства а <  | а |   на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства:    а <  | а |,  а >  - | а |,  справедливые для любого действительного числа а. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:
- | а |  <   а   <   | а |.


Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из а2/│a│= √a2

Доказательство.

В самом деле, если а ≥ 0 то, по определению модуля числа, будем иметь │а│= а. С другой стороны, при а ≥ 0, √а2 = а, значит |a| = √а2.

Если a < 0, тогда |a| = -a и √а2 = -а, и в этом случае |a| = √а2.

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на √а2.

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если а ≠ 0,  то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

                                       


Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3.

Решение:

Аналитическое решение.

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x – 2 ≥ 0, тогда оно "выйдет" из - под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: - (х – 2) = 3  или x – 2 = -3

Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: х1 = 5, х2 = -1. 

Ответ: х1 = 5, х2 = -1. 

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо - а.

Графическое решение.

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: х – 2= 0, х = 2.

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение.

- +



2 х

Получим две смешанных системы:

(1)  (2)

Решим каждую систему:

(1) (удовлетворяет данному промежутку)

(2)  (удовлетворяет данному промежутку)

Ответ: х1 = -1, х2 = 5.


Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций у =│х - 2│ и у = 3.

Для построения графика функции у =│х - 2│, построим график функции у = х - 2 - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке (0;-2), а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX.

Графиком функции у = 3 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY .




Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y = 3 пересеклась с графиком функции y = |x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: x = -1, x = 5.

Ответ: х1 = -1, х2 = 5.


Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + | x | = 0,5.

Решение:

Аналитическое решение.

Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5

| x | =0,5-1

| x |= -0,5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение.

Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5

| x | =0,5-1

| x |= -0,5

Графиком функции у = │х│ являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции у = -0,5 является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.




Графики не пересекаются, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитическое решение.

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е.  

Таким образом, область допустимых значений модуля М = х є [-1; ∞)

Теперь можно рассуждать так же, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1)  и (2)

Решим каждую систему:

(1)   (удовлетворяет условию)

(2)   (не удовлетворяет условию)



Ответ:


2-й способ

Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль:

Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение

- +



2 х


В результате будем иметь совокупность смешанных систем:

 

Решая полученные системы, находим:

(1)    (удовлетворяет условию)

(2)  (не удовлетворяет условию)



Ответ:


Решение при помощи зависимостей между числами a и b,

их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

a = b или a = -b  |a|=|b| (1)

a = b или a = -b  a2=b2 (2)

Отсюда в свою очередь получим, что

a2=b2  |a| = |b|

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

x + 1 = 2x – 5 или x + 1 = -2x + 5

x – 2x = -5 – 1 x + 2x = 5 – 1

-x = -6 3x = 4

x = 6 x = 4/3


Корень первого уравнения x = 6, корень второго уравнения x = 4/3

Таким образом, корни исходного уравнения x1 = 6, x2 = 4/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2 = (2x – 5)2, или x2 + 2x + 1 = 4x2 – 20x + 25

x2 – 4x2 + 2x +1 + 20x – 25=0

-3x2 + 22x – 24 = 0 |(:-1)

3x2 – 22x + 24=0

D = 484 – 288 = 196 > 0, => 2 р.д.к.

x1= (22 + 14)/6 = 6

x2= (22 – 14)/6 = 4/3

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6

Ответ: x1 = 6, x2 = 4/3.

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2 = (x – 1)2.

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу предыдущего примера (и по соотношению (1)):

2х + 3 = х – 1 или 2х + 3 = -х + 1

2х – х = -1 – 3 2х+ х = 1 – 3

х = -4 х = -2/3.

Таким образом, корнями уравнения являются х1 = -4, и х2 = -2/3.

Ответ: х1 = -4, х2 = -2/3.

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|

Пользуясь соотношением (1), получим:

х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)

2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x2 – 4x + 3=0

D = 36 – 60 < корней нет. D = 16 – 12 = 4 > 0, => 2 р.д.к.

x1=(4- 2) /2 =1

x2=(4 + 2) /2 =3

Ответ: x1 =1; x2 = 3.


Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.

Пример 9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Решение.

Рассмотрим два случая.



Ответ: (– 4; – 1).


Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

так как


2)



3)

4)

4)

Ответ: 3.

Графический способ.

Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x– 4|

1) y = |(x–1)(x–3)| подставим значение х =1 и х = 3. Мы получим у = 0, то есть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у = 3, то есть график пересекается с осью ОУ в точке (0;3). И при х = 4 у также равен 3. Мы получили первый график.

2) y =1–|x–4 |. Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-| x-4|=0

|x-4 |=1

x – 4 =1 или x – 4 = -1

x =5 x = 3.

Следовательно, данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При х = 4 у =1 и как видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3





Ответ: 3


Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).

Решение.

Уравнение равносильно системе



Ответ:

Пример 12. Решить уравнение 3│х + 2│- 8 – х = (√-х2 – 7х - 10)2.

Решение:

Напишем равносильную смешанную систему:

 

Ответ: х=-4

  1   2   3   4

Похожие:

«Абсолютная величина» (модуль) iconСловарь терминов
Абсолютная погрешность – абсолютная величина разности данной величины и ее приближенного значения
«Абсолютная величина» (модуль) icon1 Электроды для биомедицинских измерений
При этом измеряет­ся абсолютная величина биопотенциала. При биполярном отведении оба электрода располагаются в активной области и...
«Абсолютная величина» (модуль) iconЛабораторная работа №3 Химический эквивалент
Абсолютная и относительная атомные массы. Абсолютная и относительная молекулярные массы. Моль. Молярная масса. Качественный и количественный...
«Абсолютная величина» (модуль) iconПрограмма дисциплины теория управления и системный анализ для направления 10500. 62
«Математический анализ» (1-й, 2-й модуль 1-го курса), «Дискретная математика» (1-й, 2-й модуль 2-го курса). «Теория вероятностей...
«Абсолютная величина» (модуль) iconМатематические модели макроэкономики для проекта «абсолютная валюта» Миленин А. В., Миленин Ю. В., Рассадин А. Э
Рассмотрена модель Гудвина циклов капиталистической экономики под действием случайных возмущений. Предложено её обобщение на взамодействующих...
«Абсолютная величина» (модуль) iconТема : Работа с массивами и матрицами в языке программирования
Представим массив в виде квадратной таблицы, в которой для элемента массива A[i,j] величина I является номером строки, а величина...
«Абсолютная величина» (модуль) iconТема : Работа с массивами и матрицами в языке программирования
Представим массив в виде квадратной таблицы, в которой для элемента массива A[i,j] величина I является номером строки, а величина...
«Абсолютная величина» (модуль) iconРазработчики программы Антонец В. А. д ф. м н., профессор (раздел 3 и модуль 7) Бакунов М. И. д ф. м н., профессор (модуль 1) Бедный А. Б. к с. н., доцент (модуль 7)
Курс предназначен для повышения квалификации аспирантов и научно-педагогических работников вузов соискателей ученой степени кандидата...
«Абсолютная величина» (модуль) iconМодуль I. Информационная справка об Амгинской гимназии 2 стр
Модуль II. Анализ социокультурной ситуации и качества образовательной деятельности
«Абсолютная величина» (модуль) iconРуководство по Гигиене и Санитарии в Авиации Третье издание
Модуль 1: Вода; Модуль 2: Чистка (Уборка) и дезинфекция Сантехнического Оборудования
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница