Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени»




Скачать 171.74 Kb.
НазваниеИсследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени»
Дата24.02.2013
Размер171.74 Kb.
ТипИсследовательская работа


МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей


Секция: математики - алгебра и теория чисел


Исследовательская работа

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»


Автор работы: ученица 11 «А» класса Симонян Альбина Левоновна МОУ СОШ №7

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна


Г.Сальск 2010


Содержание:

  1. Введение …………………………………………………………………………….3

  2. Основная часть…………………………………………………………………….4

  3. Практическая часть……………………………………………………………10-13

  4. Заключение………………………………………………………………………….14

  5. Литература…………………………………………………………………………..15

  6. Приложения



1.Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?


2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах ,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

  • установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;

  • в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х3+2 - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а)33+2 а+3а2х+а3. Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х2 в 3х2а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2 = 3х2а. Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х3+2-5х-6=0

3+3х2 а+ 3х. + ) - 3х. - - 5х - 6= (х+)3 - 6х - 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у - у3 - 6(у - ) - 6=0; у3 - 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у3 - 6у - 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а)33+3х2 а+2х+ а3. Отыскала такое а, чтобы 2х = -5х; т.е. чтобы а2 = - Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у3 - 6у - 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах3+вх2+сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х3+рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х3+рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х3+рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть - ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких - же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: (- )3 +3 (- )=q. Раскрыли скобки: t - 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = ()3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t2 +2tu +u2 =q2 +4()3; (t+u)2=4()+()3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х3+рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Вот она!

Выражение, стоящее под корнем - дискриминант. D=()2 + ()3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у3 - 6у - 2=0, где р= - 6=-; q = - 2 = - . Легко подсчитать, что ()3 = =- и ()2 = =, ()2 + ()3 = = - = - . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D<0 квадратное уравнение тоже не имело корней. Но вся проблема в том, что рассматриваемое уравнение имеет три корня! Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

  • составила уравнение, имеющее корень х= - 4.

х3+15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4)3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила , можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

  • составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

  • подобрала уравнение х3+6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = - И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = ()2 + ()3 = ()3 + (-)3= 9 - < 0

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х3+рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

  • Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=()2 +()3=()2+()3=64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х3+рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=()2 +()3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D<0, то уравнение имеет 3 решение.

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод: формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х3+рх+q=0.


3. Практическая часть.

Работа над проектом «… очень помогла мне при решении некоторых задач с параметрами. Например: 1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х3-3х+4=а имеет 1 решение? Уравнение переписали в виде х3-3х+4-а=0; р= -3; q=4-а. По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0 Найдем D. D=()2 +(-)3= +(-1)3= == а2 -8а+12>0

_+__-___+___ а (-∞;2) (6; ∞)

2 6

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х32-8х+2-а=0 имеет три корня?

Уравнение х3+3х2-24х+6-3а=0 приводим к виду у3+ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q= - + и 3 p= q=32-3а; р=-27. Для данного вида уравнения D=()2 + ()3 =()2+(-9)3= -729 =; D<0. Решим неравенство <0. D=(-192)2-4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 3242 а1 = ==28, а2 == - = -7.

+_.__-___._+

-7 28

а ( -7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала : 28.

Ответ.28

3. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а. D=()2 + ()3 =(-)2+(-1)3= -1=.

_+.__-__._+

-2 2

При а (-∞;-2) (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

1.Сколько корней имеют уравнения:

1) х3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2) х3-9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х3 +рх+8=0 имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

2.в) 3.

3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет (1540-1603) за 400 лет до нас (Приложение 4) смог установить связь корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

х12=-р;

х1 ∙х2=q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова эта связь? Так возник мой мини – проект. Я решила использовать имеющиеся навыки работы в области квадратных уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии. Взяла уравнение х3+рх2+qх+r =0. Если обозначим корни уравнения х1, х2, х3 , то уравнение можно записать в виде (х-х1) (х-х2) (х-х3)=0 Раскрыв скобки, получим: х3-( х12 32 +( х1 х2 + х1 х3 2х3)х - х1 х2 х3=0. Получили следующую систему:

х12 3= - р;

х1 . х2 + х1 х3 2х3 = q;

х1 х2 х3= - r.

Таким образом, можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами. Что же в интересующем меня вопросе можно извлечь из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х3+2-5х-6=0. Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение х3+2х2-5х-6=0 разложением на множители. х3+2х2-5х-6=х3+(3х2- х2 )-3х-2х-6=х2(х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)( х2 –х-2)= =(х+3)(х2+х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2) Исходное уравнение равносильно такому: (х+2)(х+1)(х-2)=0. А у этого уравнения три корня: -3;-1;2. Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета я решила такое уравнение: х3-12х+16=0 х1 х2 х3 = -16. Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16. х3-12х+16= х3-4х-8х+16= (х3-4х)-(8х-16)=х(х2-4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х2+2х-8) (х-2)(х2+2х-8)=0 х-2=0 или х2+2х-8=0 х=2 х1=-4; х2=2. Ответ. -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты уравнения.

Тесты:

1. Уравнение х3 +рх2 + 19х - 12=0 имеет корни 1, 3, 4. Найти коэффициент р; Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8 2. Уравнение х3 – 10 х2 + 41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r; Ответ. а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.

Задания на применение результатов данного проекта в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

6.354


4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения: где D==()2 + ()3 D>0, 1 решение. Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического уравнения

х12 3= - р;

х1 . х2 + х1 х3 2х3 = q;

х1 х2 х3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.


5. Литература:


1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.


Похожие:

Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconТема: Решение тригонометрических уравнений (Т. У.)
Методические приёмы: сообщения учащихся, представление нового материала путём поиска решений уравнений, самостоятельная работа по...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconНаучно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика
Уравнения третьей степени решаются формулой Кордано. Уравнения четвёртой степени методом Феррари. Кроме того, что в теории алгебры...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconФормула для нахождения корней кубического уравнения. Уравнения четвертой степени и методы их решения
Исследовательская работа посвящена изучению способов решения уравнений третьей и четвертой степеней
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconТики в 5-м классе по теме: «Решение уравнений и задач с помощью уравнений»(Обобщение материала)
Учебник: Математика: учеб для 5 кл общеобразоват учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. М.: Мнемозина,...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconКраткое содержание проекта Проект "Уравнения-помощники" направлен на обобщение и систематизацию знаний по теме «Решение тригонометрических, показательных, логарифмических и иррациональных уравнений, сводящиеся к квадратным»
«Решение тригонометрических, показательных, логарифмических и иррациональных уравнений, сводящиеся к квадратным»; результатом проекта...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconРазработка урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»
Цель: создание условий для обобщения знаний и умений по решению квадратных уравнений
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconНаучно-исследовательская работа по теме: Психология терроризма: мотивы и особенности
Фактически в значительной степени утрачены такие дисциплинирующие и цементирующие общественную жизнь начала, как патриотизм, чувство...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconЛабораторная работа №1 (3 часа) Тема: решение уравнений
Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Указать точность решения
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconКонтрольная работа по теме «Уравнения»
Цель работы: определение уровня усвоения учащимися основных знаний и умений за курс основной школы по «Повторение. Решение уравнений»,...
Исследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени» iconКонспект занятия элективного курса в 9 классе по теме «Повторение свой ств кв адратичной функции. Решение уравнений с параметрами»
Конспект занятия элективного курса в 9 классе по теме «Повторение свойств квадратичной функции. Решение уравнений с параметрами»
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница