Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика




Скачать 91.88 Kb.
НазваниеНаучно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика
Дата18.04.2013
Размер91.88 Kb.
ТипНаучно-исследовательская работа


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №64» г. Брянска


Городская научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»


Научно-исследовательская работа

«Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени»


Математика


Выполнил: ученик 11б класса

Шанов Илья Алексеевич


Научный руководитель:

учитель математики,

кандидат физ.-мат. наук

Быков Сергей Валентинович


Брянск 2012

Содержание



  1. Введение ………………………………………………………………… 3




  1. Цели и задачи …………………………………………………………… 4




  1. Краткая историческая справка ………………………………………… 4




  1. Квадратное уравнение …………………………………………………. 5




  1. Кубическое уравнение …………………………………………………. 6




  1. Уравнение четвертой степени ………………………………………… 7




  1. Практическая часть ……………………………………………………. 9




  1. Список литературы …………………………………………………… 12




  1. Приложение …………………………………………………………… 13



Введение


Основная теорема алгебры утверждает, что поле является алгебраическим замкнутым, другими словами, что уравнения n-ой степени с комплексными коэффициентами (в общем случае) над полем имеет ровно n комплексных корней. Уравнения третьей степени решаются формулой Кордано. Уравнения четвёртой степени методом Феррари. Кроме того, что в теории алгебры доказано, что если - корень уравнения, то так же является корнем этого уравнения. Для кубического уравнения возможны следующие случаи:

  1. все три корня – действительные;

  2. два корня комплексных, один действительный.

Отсюда следует, что любое кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень.

Для уравнения четвертой степени:

  1. Все четыре корня различные.

  2. Два корня действительных, два – комплексных.

  3. Все четыре корня комплексные.

Данная работа посвящена тщательному изучению теоремы Виета: её формулировке, доказательству, а так же решению задач с применением этой теоремы.

Проделанная работа направлена помощь ученика 11-х классов, которым предстоит сдача ЕГЭ, а так же для юных математиков, которым небезразличны более простые и эффективные методы решений в различных областях математики.

В приложении к этой работе предоставляется сборник задач для самостоятельного решения и закрепления нового материала, исследуемого мной.

Этот вопрос нельзя оставлять без внимания, так как он важен для математики как для науки в целом, так и для учащихся и интересующихся решение подобных задач.

Цели и задачи работы:

  • Получить аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.

  • Доказать аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.

  • Получить аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.

  • Доказать аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.

  • Рассмотреть применения данных вопросов к решению практических задач.

    • Убедиться в практичности применения данной теоремы.

  • Углубить математические знания в области решения уравнений.

  • Развить интерес к математике.


Краткая историческая справка

По праву достойна в стихах быть воспета 

О свойствах корней ТЕОРЕМА ВИЕТА...



ФРАНСУА ВИЕТ(1540—1603) - французский математик. По профессии юрист. В 1591 году ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, схожий с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Франсуа Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos  и sin  по степеням cos х и sin х.  Он впервые рассмотрел бесконечные произведения. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили в свое время меньшее распространение, чем заслуживали.


Квадратное уравнение

Для начала вспомним формулы Виета для уравнения второй степени, которые мы узнали в программе школьного курса обучения.


Теорема Виета для квадратного уравнения (8 класс)

Если и – корни квадратного уравнения то


т. е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.


Так же, вспомним теорему, обратную теореме Виета:

Если числа -p и q таковы, что





то и - корни уравнения


Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения.


Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.


Кубическое уравнение

Теперь перейдём, непосредственно, к постановке и решению кубического уравнения с помощью теоремы Виета.


Формулировка

Кубическое уравнение - это уравнение третьего порядка, вида

где a ≠ 0.

Если а = 1, то уравнение называют приведённым кубическим уравнением:

Итак, нужно доказать, что для уравнения




справедлива следующая теорема:

пусть корни данного уравнения, тогда


Доказательство

Представим многочлен

в виде

выполним преобразования:


Итак, получим, что


Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.

Это значит, что


Что и требовалось доказать.


Теперь рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения третьей степени.


Формулировка

Если числа таковы, что





то эти числа являются корнями уравнения


Уравнение четвертой степени

Теперь перейдём к постановке и решению уравнения четвертой степени с помощью теоремы Виета для уравнения четвертой степени.


Формулировка

Уравнение четвертой степени - уравнение вида


где a ≠ 0.

Если а = 1, то уравнение называют приведённым

Итак, докажем, что для уравнения

справедлива следующая теорема: пусть корни данного уравнения, тогда


Доказательство

Представим многочлен

в виде

выполним преобразования:


Итак, получим, что


Мы знаем, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.

Это значит, что


Что и требовалось доказать.


Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения четвёртой степени.

Формулировка

Если числа таковы, что





то эти числа являются корнями уравнения


Практическая часть

Теперь рассмотрим решения задач, с помощью теорем Виета для уравнений третьей и четвертой степени.


Задача №1

  1. Найти сумму и произведение корней уравнения

  2. Решение: воспользуемся теоремой Виета, тогда получим, что



Ответ: 4, -4.


Задача №2

  1. Найти сумму и произведение корней уравнения

  2. Решение: воспользуемся теоремой Виета, тогда получим, что


Ответ: 16, 24.

Для решения данных уравнений можно использовать формулы Кардано и метод Феррари соответственно, но, используя теорему Виета, мы заведомо знаем сумму и произведение корней этих уравнений.


Задача №3

  1. Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 6, по парное произведение корней равно 3, а произведение -4.

  2. Решение: пользуясь формулой Виета, получим



Составим уравнение, получим

Ответ:


Задача №4

  1. Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 8, по парное произведение корней равно 4, утроенные произведение равно 12, а произведение 20.

  2. Решение: пользуясь формулой Виета, получим







Составим уравнение, получим

Ответ:

С помощью теоремы Виета мы легко составили уравнения по их корням. Это самый рациональный способ решения данных задач.


Задача №5

  1. Найдите S треугольника, длины сторон которого есть корни уравнения

  1. Решение: воспользуемся формула Герона

где a, b, c – формулы Герона.

Раскроем скобки и преобразуем выражение, получим


Заметим, что подкоренное выражение является кубическим выражением. Воспользуемся теоремой Виета для соответствующего ему кубического уравнения, тогда имеем, что


Зная, что получим:




Ответ:

Из решения этой задачи видно, что теорема Виета применима к задачам из разных областей математики.


Заключение

В данной работе был исследован метод решения уравнения третьей и четвертой степеней с помощью теоремы Виета. Выведенные в работе формулы просты в использовании. В ходе исследования стало очевидно, что в некоторых случаях этот метод эффективен больше, чем формула Кордано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степеней соответственно.

Теорема Виета была применена на практике. Был решён ряд задач, которые помогли лучше закрепить новый материал.

Это исследование было для меня очень интересным и познавательным. Углубив свои знания в математике, я открыл много интересного и с удовольствием занимался данным исследованием.

Но мое исследование в области решения уравнений на этом не закончено. В будущем я планирую заняться исследованием решения уравнения n-ой степени с помощью теоремы Виета.

Хочу выразить огромную благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, а возможность такого необычного исследования и постоянное внимание в работе.


Список литературы

  1. http://ru.wikipedia.org

  2.  Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. М., 1977.

  3. В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин. Задачи по элементарной математике, Физматлит, 1980.



Приложение 1. (Презентация)

Для воспроизведения презентации нужно дважды щелкнуть на область картинки (воспроизводится через PowerPoint)).




Похожие:

Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconФормула для нахождения корней кубического уравнения. Уравнения четвертой степени и методы их решения
Исследовательская работа посвящена изучению способов решения уравнений третьей и четвертой степеней
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика icon“Теорема Виета”
Обучающие: доказать теорему Виета, показать ее применение; рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета, сформировать...
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconСанкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет кафедра национальная безопасность программа учебного курса «Подготовка к егэ по математике»
Решение квадратных уравнений; теорема Виета, применение ее при решении квадратных уравнений и в тождественных преобразованиях; разложение...
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconИсследовательская работа «Заглянем в мир формул» по теме «Решение уравнений 3 степени»
Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные...
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconРабочая программа Научно-исследовательская работа в семестре направление ооп
Научно-исследовательская работа в семестре является обязательным подразделом (М 1) раздела «Практика и научно-исследовательская работа»...
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconИсследовательская работа. Математика при расследовании дорожно-транспортных происшествий
Доказательство уравнений, относящихся к скорости и их использование
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconНаучно-исследовательская работа Научно-исследовательская работа проводилась с участием ппс и увп окю по договорам подряда на базе ООО «Электромехатронные системы»
Подготовка и защита диссертаций (технические и экономические науки)
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика icon«Научно-исследовательская работа студентов»
Цели освоения дисциплины. Курс «Научно-исследовательская работа студентов»
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconКонсультация для родителей
Ожоги первой степени: красная воспаленная кожа. Ожоги второй степени: очень болезненная влажная кожа, волдыри. Ожоги третьей степени:...
Научно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика iconНаучно-исследовательская работа по теме: Психология терроризма: мотивы и особенности
Фактически в значительной степени утрачены такие дисциплинирующие и цементирующие общественную жизнь начала, как патриотизм, чувство...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница